趙珧冰 金波 趙躍宇 黃超輝

摘 要：引入與張拉力和垂度相關的無量綱參數，可推導出整體溫度變化影響下懸索面內非線性運動微分方程.首先利用Galerkin法得到離散后的無窮維方程，然后運用多尺度法求解其二階和三階單模態(tài)超諧波共振響應的近似解，并得到幅頻響應方程，最后通過數值算例探究三種垂跨比的懸索，溫度變化對其單模態(tài)超諧波共振響應的影響.研究結果表明：當垂跨比較小時，一定程度的溫度變化會導致其超諧波共振響應發(fā)生定性和定量的改變，改變系統(tǒng)軟硬彈簧的性質和程度，即改變其幅頻響應曲線的偏轉方向和程度；溫度變化會改變激勵-響應幅值曲線的單值/多解情況.然而當垂跨比逐漸增大后，溫度變化對其共振響應僅會產生定量的影響，且溫度變化與幅頻響應曲線向左偏轉程度呈正比，即溫度上升，曲線向左偏轉程度加劇，軟彈簧特性增強，反之則減弱.由于懸索存在初始張拉力，升高和降低相同溫度對超諧波共振特性影響呈現出不對稱性.

關鍵詞：懸索；溫度變化；多尺度法；超諧波共振；幅頻響應曲線

中圖分類號： 文獻標志碼：A

Investigation of Super-harmonic Resonances of Suspended Cables Considering Temperature Variation Effects

ZHAO Yaobing 1?， JIN Bo 2， ZHAO Yueyu 2， HUANG Chaohui 1

（1.College of Civil Engineering， Huaqiao University， Xiamen 361021 China；

2. College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082 China）

Abstract： By introducing two non-dimensional parameters on the cable tension force and sag， the in-plane nonlinear equations of motion of the suspended cable considering the temperature effects were derived. Firstly， the nonlinear partial differential equation was discretized by the Galerkin method. Then， the approximate solutions of the second and third order single mode super-harmonic resonances of the suspended cable were obtained by the multiple scales method， and the corresponding frequency response equations were also derived. Finally， the effects of temperature variations on the single mode super-harmonic resonances of the suspended cable with three different sag-to-span ratios were illustrated by the numerical calculations. The numerical results show that： in the case of the small sag-to-span ratio， the nonlinear vibration characteristics would be changed by a certain degree of the temperature change quantitatively and qualitatively， and the softening and hardening spring behaviors are changed， and it means that the degree and direction of the frequency response curves are changed. The single/multi-valued of the excitation-response amplitude curves are also varied by the temperature variations. However， with the increasing of the sag-to-span ratio， only some quantitative changes are found under the thermal effects. With the increase of the temperature changes， the frequency response curves are bent to the left much more， and the softening spring characteristic is also increased. Moreover， due to the initial tension force of the suspended cable， the effects of warming and cooling conditions on the vibration characteristics of the suspended cable are not symmetric.

Key words： suspended cable； temperature variations； multiple scales method； super-harmonic resonance； frequency response curves

在土木建筑、水利水電、機械工程、橋梁工程、海洋工程和航空航天領域中廣泛應用的索結構，其結構特性受周圍環(huán)境因素（如太陽輻射、溫度變化、濕度、風以及降水等）影響非常明顯，而其中以溫度變化的影響較為突出.研究表明，索結構的振動頻率、模態(tài)振型、阻尼系數、材料彈性模量，甚至是邊界條件等，都或多或少與溫度變化相關[1].研究發(fā)現：溫度效應與損傷效應對索結構振動特性的影響處于同一個數量級[2].由此不難看出研究溫度變化影響下索結構的振動特性意義重大.近年來，在索結構健康監(jiān)測、損傷識別和索力測試等實際工程中[3]以及大跨度斜拉橋的非線性動力學等理論研究中[4]，研究人員越來越重視溫度效應對索結構振動特性的影響.

由于存在垂度和初始張拉力，使得懸索成為一類典型的、運動方程中同時包含平方和立方非線性項的柔性結構[5-6].在各類荷載或支座運動激勵下，懸索很容易發(fā)生各類共振響應，導致結構發(fā)生大幅運動，比如：主共振、超諧波共振、次諧波共振、聯(lián)合共振、組合共振、參數共振和內共振等[7-8].對于懸索的非線性動力學方程，其穩(wěn)態(tài)響應有可能由與激勵相同頻率的特解及自由振動項所組成.而由于運動方程中平方和立方非線性項的存在，其自由振動項的頻率有可能恰好變?yōu)榧铑l率的2倍或3倍，此時懸索將發(fā)生二階或三階超諧波共振[9].已有研究針對考慮溫度效應影響下索和索梁結構的頻率、張拉力、非線性自由振動和主共振等特性開展了相關研究[10-21]，但是對于常見的二階及三階超諧波共振的情況，溫度變化的影響仍值得進一步深入探討.

綜上所述，由于非線性項的次數將改變超諧波共振的階數，因此本文針對考慮溫度變化影響下的懸索非線性運動微分方程，首先利用Galerkin法將方程離散，然后采用多尺度法求得懸索單模態(tài)超諧波共振響應的二階近似解，并得到其幅頻響應方程.最后通過數值算例，從幅頻響應曲線和激勵-響應幅值曲線等方面，探究三種垂跨比的懸索，溫度變化對其二階和三階超諧波共振響應的影響.

1 數學模型

圖1所示為水平懸索構型及其特性，以O為坐標原點，OB連線的方向為x方向，重力加速度g的方向為y方向，建立O-xy坐標系.其中懸索跨徑為L，跨中垂度為b，x處的位移分別用u（x，t）和v（x，t）表示，P（x，t）為外激勵的分布函數.根據增量熱場理論，當周圍溫度發(fā)生整體變化時，懸索會形成新的熱應力構型，此時懸索的張拉力和垂度均會發(fā)生變化，從而影響其線性和非線性振動特性.懸索在溫度變化狀態(tài)下的靜力學特性可參考文獻[15-16]，不贅述.

1.1運動微分方程

本文不考慮溫度變化對懸索阻尼系數、線密度、彈性模量、橫截面面積以及邊界條件的影響.研究表明[12]：溫度效應可通過引入兩個量綱為1的參數2和來體現.具體而言，和2分別表示溫度變化后與溫度變化前的懸索張拉力的比值和垂度的比值[12，18].

基于上述假設，引入擬靜態(tài)假設，利用哈密頓變分原理建立懸索面內非線性運動微分方程[18]：

2.2 超諧波共振（≈）

同理，對于三階超諧波共振，令：$$$$

.

3 算例研究

假設懸索彈性模量、線重和阻尼系數等均與溫度變化無關，其余各項物理參數分別為：L=200.0 m、A=7.069×10-2 m2、E=200 GPa、ρ=7 800.0 kg/m3、=1.2×10-5 /℃以及g=9.81 m/s2，無量綱的激勵幅值及阻尼系數分別為0.02和0.005.溫度變化越劇烈，系統(tǒng)振動特性受溫度效應的影響也就越明顯，結合實際工程情況，本文溫度變化的范圍選擇為℃.當溫度發(fā)生改變時，利用直接力法對懸索展開靜力分析，從而求得兩個無量綱參數2和大小[12，18]，結果見表1.

表1給出了溫度變化條件下，兩個無量綱參數的大小.由于懸索的垂跨比f大小對其非線性動力學特性影響明顯，因此本文研究三類垂跨比的懸索.由表1可知：當不考慮溫度變化時，兩個無量綱參數恒等于1，此時本文所有推導的方程可以退化到已有文獻的計算結果[22]；隨著垂跨比由小到大，溫度變化對張拉力和垂度的影響會出現峰值，溫度效應并不會隨著垂跨比增加而一直增強[15]；由于懸索存在初始張拉力，升高和降低相同溫度對其張拉力和垂度的影響不對稱[16].

研究表明：溫度變化與懸索固有頻率之間的正、反比例關系及初始張拉力有關[16]，而平方和立方非線性項的系數大小則與溫度變化基本呈正比例關系.圖2和圖3分別描繪了對于上述三類垂跨比懸索，發(fā)生單模態(tài)超諧波共振時，整體溫度變化對其幅頻響應曲線的影響.懸索發(fā)生超諧波共振響應時，會出現多值和跳躍現象，而初始條件決定了系統(tǒng)在物理上最終的穩(wěn)態(tài)解.溫度變化對懸索超諧波共振的影響非常明顯，其影響程度與垂跨比密切相關.

圖2給出了當外激勵頻率≈時，懸索發(fā)生超諧波共振時的幅頻響應曲線.根據李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可以對所得穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進行判斷，其中實線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解.圖2（a）中，懸索垂跨比非常?。╢=0.006），此時相比于自由振動和主共振而言[17-18]，溫度變化對超諧波共振不僅僅是定量的影響.當不考慮溫度變化時，曲線向右偏轉，展現出硬彈簧特性；溫度下降時，曲線向右偏轉加劇，硬彈簧特性增強；然而當溫度上升時，幅頻響應曲線向左偏轉，此時由硬彈簧特性轉變?yōu)檐洀椈商匦?

而圖2（b）中，懸索的垂跨比為0.01，當不考慮溫度變化影響時，曲線向左偏轉；溫度升高，曲線向左偏轉加劇，軟彈簧特性增強；當溫度下降時，曲線向右偏轉.不難看出，對于垂跨比較小的懸索（f=0.006和f=0.01），溫度變化會導致其超諧波共振響應發(fā)生定性和定量的改變，改變幅頻響應曲線的偏轉方向和偏轉程度.

對于圖2（c），此時垂跨比的大小為0.015，不難看出在溫度變化影響下，振動特性并沒有發(fā)生定性的改變.從定量角度看，當溫度上升時，幅頻響應曲線向左偏轉加劇，軟彈簧特性增強；當溫度下降時，曲線向左偏轉程度減弱，軟彈簧特性降低.假如懸索的垂跨比繼續(xù)增加（如f=0.02），與f=0.015類似，溫度變化僅會導致幅頻響應曲線發(fā)生定量改變，此處不再贅述.

（a） f=0.006

（b） f=0.01

（c） f=0.015

圖3 溫度變化影響下懸索超諧波共振幅頻響應曲線（≈）

Fig.3 Frequency response curves of the super-harmonic resonances of the suspended cable with thermal effects （≈）

圖3給出了當外激勵頻率≈時，考慮溫度變化影響下，懸索超諧波共振時的幅頻響應曲線.同理，通過研究方程奇點的性狀決定穩(wěn)態(tài)運動的穩(wěn)定性，圖中虛線和實線分別為不穩(wěn)定解和穩(wěn)定解.由圖3（a）可知（f=0.006），定性而言，當溫度上升時，曲線會由原本的向右偏轉變?yōu)橄蜃笃D；從定量的角度而言，當溫度下降時，共振響應的幅值急劇減小，當溫度上升時，共振響應的幅值會明顯增大.

圖3（b）中（f=0.01），當溫度下降時，共振曲線幾乎不發(fā)生偏轉和跳躍，曲線為單值曲線.同理從圖3（c）不難看出，當懸索的垂跨比進一步增加時（f=0.015），溫度變化僅會導致共振響應發(fā)生定量改變，跳躍點的位置和共振響應幅值會發(fā)生明顯改變.此時溫度變化與幅頻響應曲線向左偏轉的程度呈正比，溫度上升，軟彈簧特性增強.

圖4描繪了當調諧參數-0.05時，懸索發(fā)生二次超諧波共振的激勵幅值和響應幅值的關系曲線與溫度變化的關系.穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性判斷方法與之前一致，圖中虛線表示不穩(wěn)定解，實線表示穩(wěn)定解，而最終系統(tǒng)的真實響應則取決于初始條件.如圖4所示，受溫度變化的影響，激勵-響應幅值曲線有可能存在多解或者單值.具體而言，當f=0.006時，若懸索周圍溫度上升（T=+40 ℃），則曲線會出現跳躍現象，不再是單值曲線.當f=0.01時，曲線在溫度下降的情況下（T=-40 ℃），是單值曲線，在不考慮溫度變化及溫度上升時，曲線均為多值曲線，存在明顯的跳躍現象.當懸索垂跨比為0.015時，與幅頻響應曲線類似，此時溫度變化僅僅產生定量的改變，曲線均會產生跳躍現象，存在多值區(qū)域.從激勵-響應幅值曲線亦可看出，溫度變化會定性和定量地改變懸索的非線性振動特性.從上述分析結果來看，無論是從定量還是定性的角度，在懸索非線性動力學分析中，溫度變化是一個不容忽視且極其重要的影響因素.

（a） f=0.006

（b） f=0.01

（c） f=0.015

圖4 溫度變化影響下懸索超諧波共振激勵-響應幅值關系曲線（≈）

Fig.4 Relationship between the excitation and response amplitudes of the super-harmonic resonances of the suspended cable with thermal effects （≈）

4 結論

溫度變化會直接影響懸索的張拉力及垂度，從而改變其非線性運動方程中線性項、平方和立方非線性項的系數大小.無論是二階還是三階，懸索單模態(tài)非線性超諧波共振響應受溫度變化影響明顯.當垂跨比較小時，一定程度的溫度變化會導致其超諧波共振響應發(fā)生定性和定量的改變，即改變其幅頻響應曲線的偏轉方向和偏轉程度大小，影響激勵-響應幅值關系曲線的多值和單解性.當垂跨比進一步增加時，溫度變化對其共振響應會產生定量的影響，且溫度的變化與幅頻響應曲線向左偏轉的程度呈正比，溫度上升，軟彈簧特性增加.由于懸索存在初始張拉力，相同程度的升溫和降溫條件對其超諧波共振響應特性的影響不對稱.

參考文獻

[1] XIA Y， CHEN B， WENG S， et al. Temperature effect on the vibration properties of civil structures： a literature review and case studies [J]. Journal of Civil Structure Health Monitoring， 2012， 2（1）： 29-46.

[2] 陳波， 鄭瑾， 王建平. 橋梁結構溫度效應研究進展[J]. 武漢理工大學學報， 2010， 32（24）： 79-83.

CHEN B， ZHENG J， WANG J P. State-of-the-art of the temperature effects of bridges[J]. Journal of Wuhan University of Technology， 2010， 32（24）： 79-83. （In Chinese）

[3] 李愛群， 丁幼亮， 王浩， 等. 橋梁健康監(jiān)測海量數據分析與評估——“結構健康監(jiān)測”研究進展[J]. 中國科學： 技術科學， 2012， 42（8）： 972-984.

LI A Q， DING Y L， WANG H， et al. Analysis and assessment of bridge health monitoring mass data—progress in research/ development of Structural Health Monitoring[J]. Scientia Sinica （Technologica）， 2012， 42（8）： 972-984. （In Chinese）

[4] 康厚軍， 郭鐵丁， 趙躍宇， 等. 大跨度斜拉橋非線性振動模型與理論研究進展[J]. 力學學報，2016， 48（3）： 519-535.

KANG H J， GUO T D， ZHAO Y Y， et al. Review on nonlinear vibration and modeling of large span cable-stayed bridge [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2016， 48（3）： 519-535. （In Chinese）

[5] REGA G. Nonlinear vibrations of suspended cable—Part I： modeling and analysis[J]. Applied Mechanics Reviews， 2004， 57（6）： 443–478.

[6] 康厚軍， 解維東， 郭鐵丁. CFRP索斜拉梁面內自由振動建模及參數分析[J]. 湖南大學學報（自然科學版）， 2016， 43（9）： 18-25.

KANG H J， XIE W D， GUO T D. Modeling and parameters analysis on in-plane free vibration of cable stayed beam [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences）， 2016， 43（9）： 18-25. （In Chinese）

[7] 康厚軍， 趙躍宇， 朱志輝，等. 強迫激勵下CFRP斜拉索面內分叉特性[J]. 湖南大學學報（自然科學版）， 2014， 41（9）： 8-13.

KANG H J， ZHAO Y Y， ZHU Z H， et al. In-plane bifurcation behavior of inclined CFRP cable subject to external excitation [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2014， 41（9）： 8-13. （In Chinese）

[8] REGA G. Nonlinear vibrations of suspended cable—Part II： deterministic phenomena[J]. Applied Mechanics Reviews， 2004， 57（6）： 479–514.

[9] NAYFEH A H， MOOK D T. Nonlinear oscillations [M]. Hoboken， New Jersey： John Wiley & Sons， Inc， 1979： 198-201.

[10] IRVINE H M. Cable structures [M]. Cambridge，NJ：The MIT Press，1981： 82-83.

[11] 楊志安， 劉鵬飛， 席曉燕. 溫度場中輸電線在諧擾力作用下的1/3 次亞諧共振研究[J]. 工程力學， 2007， 24（8）： 182-187.

YANG Z A， LIU P F， XI X Y. 1/3 sub-harmonic resonance of suspended cable subjected to harmonic excitation in temperature field[J]. Engineering Mechanics， 2007， 24（8）： 182-187. （In Chinese）

[12] LEPIDI M， GATTULLI V. Static and dynamic response of elastic suspended cables with thermal effects [J]. International Journal of Solids and Structures， 2012， 49： 1103-1116.

[13] TREYSSEDE F. Free vibrations of cables under thermal stress [J]. Journal of Sound and Vibration， 2009， 327（1）： 1-8.

[14] 汪峰， 陳福青， 文曉旭， 等. 考慮溫度影響的斜拉索參數振動模型及響應分析[J] 重慶交通大學學報（自然科學版）， 2016， 35（2）： 1-5.

WANG F， CHEN F Q， WEN X X， et al. Analysis of cable parametric vibration model and response with consideration of temperature effect [J]. Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Science）， 2016， 35（2）： 1-5. （In Chinese）

[15] 趙珧冰， 孫測世， 彭劍， 等. 溫度變化對拉索頻率與索力的影響[J]. 應用力學學報， 2013， 30（6）： 904-908.

ZHAO Y B， SUN C S， PENG J， et al. The effects of temperature changes on the frequencies and tension forces of cable [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics， 2013， 30（6）： 904-908. （In Chinese）

[16] 趙珧冰， 孫測世， 彭劍， 等. 不同初拉力拉索對溫度變化的敏感性分析[J]. 中南大學學報（自然科學版）， 2014， 45（5）： 1680-1685. ZHAO Y B， SUN C S， PENG J， et al. Sensitivity analysis of different initial tension forces of suspended cable to temperature changes [J]. Journal of Central South University（Science and Technology）， 2014， 45（5）： 1680-1685. （In Chinese）

[17] 金波， 趙珧冰， 張定方， 等. 溫度變化對懸索非線性自由振動特性影響[J]. 應用力學學報， 2017， 34（1）： 64-68.

JIN B， ZHAO Y B， ZHANG D F， et al. Temperature effects on nonlinear free vibration of the suspended cable [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics， 2017， 34（1）： 64-68. （In Chinese）

[18] 趙珧冰， 彭劍. 溫度變化對懸索主共振響應影響分析[J]. 振動與沖擊， 2017， 36（15）： 240-244.

ZHAO Y B， PENG J. Effects of temperature changes on primary resonances of suspended cables [J]. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36（15）： 240-244. （In Chinese）

[19] 趙珧冰， 黃超輝， 金波. 懸索面內次諧波共振受溫度效應影響研究[J]. 振動與沖擊， 2018， 37（6）： 1-6.

ZHAO Y B， HUANG C H， JIN B. Investigation of temperature effects on the in-plane sub-harmonic resonances of suspended cables [J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（6）： 1-6. （In Chinese）

[20] ZHAO Y B， WANG Z Q， ZHANG X Y， et al. Effects of temperature variation of a cable stayed beam [J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics， 2017， 17（10）： 1-18.

[21] WANG Z W， LI T J. Nonlinear dynamic analysis of parametrically excited space cable-beam structures due to thermal loads [J]. Engineering Mechanics， 2015， 83： 50–61.

[22] BENEDETTINI F， REGA G. Planar nonlinear oscillations of elastic cables under super-harmonic resonance conditions [J]. Journal of Sound and Vibration， 1989， 132（3）： 353-366.