魏靜 王剛強(qiáng) 秦大同

摘要： 斜齒輪的嚙合剛度與輪齒誤差的求解是三維空間問題，其修形后的嚙合剛度計(jì)算方法不同于直齒輪，而傳統(tǒng)解析方法在計(jì)算斜齒輪嚙合剛度時(shí)沒有考慮斜齒輪嚙合線和嚙合位置的三維空間位置，無法準(zhǔn)確得到修形后的斜齒輪系統(tǒng)嚙合剛度激勵(lì)與誤差激勵(lì)。建立綜合考慮齒廓修形和齒向修形的剛度與誤差非線性耦合激勵(lì)模型，研究不同齒廓修形參數(shù)與齒向修形參數(shù)對(duì)斜齒輪嚙合剛度以及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律；以系統(tǒng)振動(dòng)加速度幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)，確定斜齒輪系統(tǒng)的最佳修形值，利用數(shù)值方法得到斜齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)加速度幅頻響應(yīng)曲線，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：選取的最佳修形參數(shù)可有效降低斜齒輪齒數(shù)交替區(qū)嚙合剛度的波動(dòng)，大幅度降低共振點(diǎn)附近的振動(dòng)加速度幅值；最后通過建立的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了理論模型及分析結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞： 斜齒輪； 齒廓修形； 齒向修形； 非線性激勵(lì)； 動(dòng)力學(xué)特性

中圖分類號(hào)： TH132.4； O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）04-0561-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.003

引言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由于在齒數(shù)交替區(qū)載荷波動(dòng)較大，會(huì)引起系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲[1]；另一方面由于齒輪受載后產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形，造成輪齒沿齒寬方向接觸不均勻，出現(xiàn)偏載現(xiàn)象[2-3]。而齒廓修形可以補(bǔ)償齒輪實(shí)際嚙合過程中的基節(jié)偏差，減緩嚙合剛度波動(dòng)，減小嚙合沖擊[4-5]；齒向修形能有效改善載荷沿輪齒接觸線的不均勻分布，避免邊緣接觸，從而提高齒輪承載能力。

剛度激勵(lì)計(jì)算方法主要有材料力學(xué)方法、近似代替法、切片法、有限元方法等。Chaari等[6]利用材料力學(xué)方法，考慮直齒輪彎曲變形、剪切變形、徑向壓縮變形、赫茲接觸變形和輪體變形計(jì)算直齒輪的嚙合剛度。Liu等[7]采用近似代替法，利用斜齒輪嚙合線時(shí)變性代替嚙合剛度的變化。由于近似代替法存在較大誤差，Ajmi等[8]采用切片法，將斜齒輪沿齒寬方向離散成一片片薄片斜齒輪，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程求得每片薄片斜齒輪彈性變形和嚙合剛度，并與有限元方法所得結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證。

齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型按自由度數(shù)可以分為：純扭轉(zhuǎn)模型[9-10]、彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型[11]、彎扭軸擺耦合動(dòng)力學(xué)模型[12]。其中彎扭軸擺耦合動(dòng)力學(xué)模型比其他模型考慮的自由度更多，因此更能反映齒輪系統(tǒng)的真實(shí)情況。在早期的齒輪動(dòng)力學(xué)建模過程中，將誤差激勵(lì)和剛度激勵(lì)分別代入動(dòng)力學(xué)模型中進(jìn)行齒輪動(dòng)力學(xué)分析[13]。隨著研究的深入，Chen等[14]基于材料力學(xué)方法提出了新型的綜合嚙合剛度與傳遞誤差耦合的非線性激勵(lì)解析計(jì)算模型，建立了考慮輪齒誤差影響的直齒輪嚙合剛度模型。王奇斌等[15]在Chen的基礎(chǔ)上，拓展了該模型，建立了考慮齒向修形的直齒輪嚙合剛度解析模型，并與有限元方法作對(duì)比，結(jié)果表明在不同修形量下兩種方法求解的嚙合剛度相對(duì)誤差不超過5%。

現(xiàn)有文獻(xiàn)多關(guān)注于單一修形方式對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)特性的影響，且研究對(duì)象一般為直齒輪。斜齒輪的嚙合剛度與輪齒誤差是一個(gè)三維空間問題，其修形后嚙合剛度的計(jì)算方法不同于直齒輪，而傳統(tǒng)解析計(jì)算方法在計(jì)算斜齒輪嚙合剛度時(shí)沒有考慮斜齒輪嚙合線和嚙合位置的三維空間位置，無法計(jì)算修形后的斜齒輪嚙合剛度與輪齒誤差。

齒廓和齒向綜合修形示意圖如圖3所示。僅考慮齒廓修形時(shí)，斜齒輪修形后端面示意圖如圖3（a）所示，虛線表示斜齒輪理論齒廓，實(shí)線表示斜齒輪實(shí)際齒廓，齒廓修形曲線為直線。修形后齒廓曲線上任一點(diǎn)修形量為Cax=Ca（xLa）（6）式中Ca表示最大齒廓修形量，La表示齒廓修形長(zhǎng)度，x為該點(diǎn)到齒廓修形起始點(diǎn)的距離。

隨著修形量的增大，斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，傳遞誤差隨之增大；在齒數(shù)交替區(qū)域，嚙合剛度波動(dòng)先逐漸變小到定值后又隨著修形量增加剛度波動(dòng)逐漸變大。

先逐漸變平緩到趨于直線后又隨著齒廓修形長(zhǎng)度增加剛度曲線斜率逐漸變大。結(jié)合圖4（c）和（c）可知齒廓修形量為30 μm，修形長(zhǎng)度為6.4 mm時(shí)，嚙合剛度均方差最小，即嚙合剛度波動(dòng)最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為95.02%。

2.2僅考慮齒向修形參數(shù)對(duì)斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響圖6給出了齒向修形長(zhǎng)度Lc=10 mm，齒向修形量Cc分別為0，5，10，15，20，25 μm時(shí)， 斜齒輪綜合嚙合剛度，傳遞誤差以及剛度均方差。對(duì)比圖4和圖6可知，與齒廓修形相同的是隨著齒向修形量的增大，斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，傳遞誤差隨之增大；嚙合剛度波動(dòng)先逐漸變小到定值后又隨著修形量增加剛度波動(dòng)逐漸變大。不同的是雖然合適的齒向修形量也減小了嚙合剛度的波動(dòng)，但是對(duì)齒數(shù)交替區(qū)域嚙合剛度的影響沒有齒廓修形對(duì)齒數(shù)交替區(qū)域嚙合剛度的影響明顯。

圖7給出了齒向修形量Cc=15 μm，齒向修形長(zhǎng)度Lc分別為0，5，10，15，20，25 mm時(shí)，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及剛度均方差。 對(duì)比圖6和圖7可知，除幅值稍有不同之外，齒向修形長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度與誤差的影響與齒向修形量對(duì)嚙合剛度與誤差的影響變化趨勢(shì)一致，結(jié)合圖6（c）和圖7（c）可知，當(dāng)修形量為15 μm，修形長(zhǎng)度為10 mm時(shí)，剛度均方差最小，即嚙合剛度波動(dòng)最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為94.587%。

2.3綜合考慮齒廓和齒向修形參數(shù)對(duì)斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響以齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值，在此基礎(chǔ)上，研究不同齒向修形量和不同齒向修形長(zhǎng)度對(duì)斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響。

圖8給出了齒向修形長(zhǎng)度Lc=5 mm，齒向修形量Cc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 μm時(shí)，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及剛度均方差。從圖8（a）和（b）知：不同齒向修形量對(duì)少齒嚙合區(qū)剛度和傳遞誤差幾乎沒有影響，但對(duì)齒數(shù)交替區(qū)和多齒區(qū)剛度和傳遞誤差影響較大；隨著齒向修形量增加，嚙合剛度波動(dòng)先減小到定值后增大，而傳遞誤差變化趨勢(shì)與嚙合剛度相反。

圖9 給出了齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長(zhǎng)度Lc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 mm時(shí)，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及嚙合剛度均方差。對(duì)比圖8和9可以看出，在同一齒廓修形參數(shù)下，除幅值不同之外，不同齒向修形長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度與傳遞誤差的影響與不同修形量對(duì)嚙合剛度與傳遞誤差的影響變化趨勢(shì)一致。結(jié)合圖8（c）和圖9（c）可知，以齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值，齒向修形量為5.0 μm，修形長(zhǎng)度為5 mm時(shí)，嚙合剛度均方差最小，即嚙合剛度波動(dòng)最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為96.69%。

3考慮修形的斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)3.1斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型用有限元法[17]建立如下式所示的斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程M+C+KX=F（10）式中M為質(zhì)量矩陣；X為廣義坐標(biāo)；C為阻尼矩陣，包括轉(zhuǎn)子陀螺力矩；K為剛度矩陣；F為外載荷向量。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程建立12自由度平行軸系斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖10所示，由大小齒輪、一級(jí)平行軸系、軸承組成?？蓪⑾到y(tǒng)分為軸段單元、斜齒輪嚙合單元以及軸承單元，為考慮軸段單元的剪切變形，用改進(jìn)的Euler-Bernoulli梁作為軸段單元的理論模型，詳細(xì)單元模型和矩陣形式可參考文獻(xiàn)[17]，其中軸1共由7個(gè)軸段組成，一共8個(gè)節(jié)點(diǎn)，軸2共由10個(gè)軸段組成，共11個(gè)節(jié)點(diǎn)。

將求得的齒輪嚙合剛度均值K12=5.98×108 N/m代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，耦合系統(tǒng)的無阻尼固有頻率如表2所示。

齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm，修緣量Ca分別為0，10，20，30，40，50 μm時(shí)，特殊節(jié)點(diǎn)主齒輪節(jié)點(diǎn)的x和θz方向隨轉(zhuǎn)速變化的振動(dòng)加速度幅頻曲線如圖11所示。θz方向振動(dòng)加速度可由θz方向振動(dòng)角加速度變換可得。主動(dòng)輪x方向振動(dòng)加速度幅頻曲線在嚙合頻率fN等于系統(tǒng)第14，16和21階固有頻率時(shí)出現(xiàn)共振峰；當(dāng)嚙合頻率等于f16/2時(shí)，出現(xiàn)二次諧波共振峰。主動(dòng)輪θz方向振動(dòng)加速度幅頻曲線在嚙合頻率fN等于系統(tǒng)第13，14和16階固有頻率時(shí)出現(xiàn)共振峰；當(dāng)嚙合頻率等于f14/3，f14/2和f16/2時(shí)，出現(xiàn)高次諧波共振峰。隨著齒廓修形量的增加，主動(dòng)輪振動(dòng)加速度幅值整體呈減小的趨勢(shì)，修形量為30 μm時(shí)，振動(dòng)加速度幅值減小幅度最大，此時(shí)系統(tǒng)的共振峰也減少了。修形量繼續(xù)增大時(shí)，振動(dòng)加速度幅值反而上升。與未修形相比，修形后系統(tǒng)的共振峰出現(xiàn)了偏移，而且隨著修形量的增加，偏移趨勢(shì)越趨于明顯。

齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La分別為0，1.6，3.2，4.8，6.4，8.0 mm時(shí)，特殊節(jié)點(diǎn)主齒輪節(jié)點(diǎn)的x和θz方向隨轉(zhuǎn)速變化的振動(dòng)加速度幅頻曲線如圖12所示。對(duì)比圖11和12可以看出，在相同位置、不同齒修形量和修形長(zhǎng)度下，主動(dòng)輪振動(dòng)加速度幅頻曲線整體變化趨勢(shì)一致，只是幅值大小略有所不同。修形長(zhǎng)度為6.4 mm時(shí)，振動(dòng)加速度幅值降低幅度最大。

3.3僅考慮齒向修形的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

齒向修形長(zhǎng)度Lc=10 mm，齒向修形量Cc分別為0，5，10，15，20，25 μm時(shí)，特殊節(jié)點(diǎn)主齒輪節(jié)點(diǎn)的x和θz方向隨轉(zhuǎn)速變化的振動(dòng)加速度幅頻曲線如圖13所示。不同齒向修形量下主動(dòng)輪振動(dòng)加速度幅值變化曲線與不同齒廓修形參數(shù)下得到的振動(dòng)加速度幅值曲線變化規(guī)律大致相同。齒向修形量為15 μm時(shí)，振動(dòng)加速度幅值減小幅度最大。

3.4綜合齒廓修形和齒向修形的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

取齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值， 在此基礎(chǔ)上，研究不同齒向修形量和不同齒向修形長(zhǎng)度對(duì)斜齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。

通過圖11和12可知，經(jīng)過合適的齒廓修形，斜齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能已經(jīng)得到很大的改善，因此齒向修形值不宜過大。取齒向修形長(zhǎng)度Lc=5 mm，齒向修形量Cc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 μm時(shí)，特殊節(jié)點(diǎn)主齒輪節(jié)點(diǎn)的x和θz方向隨轉(zhuǎn)速變化的振動(dòng)加速度幅頻曲線如圖15所示。綜合齒向修形和齒廓修形與只進(jìn)行齒廓修形相比，主動(dòng)輪振動(dòng)加速度幅頻曲線變化趨勢(shì)一致；隨著齒向修形量的增加，振動(dòng)加速度幅值整體降低，當(dāng)修形量為5.0 μm時(shí)，振動(dòng)加速度幅值最小，修形量繼續(xù)增大時(shí)，振動(dòng)加速度幅值反而上升。

齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長(zhǎng)度Lc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 mm時(shí)，特殊節(jié)點(diǎn)主齒輪節(jié)點(diǎn)的x和θz方向隨轉(zhuǎn)速變化的振動(dòng)加速度幅頻曲線如圖16所示。對(duì)比圖15和16可知，不同齒向修形量和齒向修形長(zhǎng)度下主動(dòng)輪振動(dòng)加速度幅頻曲線變化較為一致，當(dāng)修形長(zhǎng)度為5.0 mm時(shí)，振動(dòng)加速度幅值最小。由此確定齒輪綜合最佳修形值為：齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm，齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長(zhǎng)度Lc=5 mm。

4斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性實(shí)驗(yàn)研究

4.1實(shí)驗(yàn)臺(tái)搭建和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)根據(jù)高鐵牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)行工況，設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)工況，并進(jìn)行穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)，從而得到不同負(fù)載、不同轉(zhuǎn)速下的斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性和規(guī)律。高鐵牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建和布置如圖17所示。由于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的額定輸出轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)低于實(shí)驗(yàn)所需的高鐵牽引齒輪箱的輸入轉(zhuǎn)速，所以增加陪試齒輪箱，作為增速器使用。

為減少信號(hào)在傳遞過程中的衰減，應(yīng)在靠近振動(dòng)源的地方布置振動(dòng)加速度測(cè)點(diǎn)，如齒輪箱軸承座處。布置振動(dòng)加速度測(cè)點(diǎn)在輸入軸承座處和兩邊的輸出軸承座處，如圖18所示。每個(gè)測(cè)點(diǎn)有3個(gè)方向（橫向、垂向、軸向），測(cè)點(diǎn)編號(hào)為1x，1y，1z，2x，2y，2z，3x，3y，3z。其中測(cè)點(diǎn)1在輸入軸承座處，測(cè)點(diǎn)2和測(cè)點(diǎn)3為輸出軸承座處。

分別進(jìn)行兩組實(shí)驗(yàn)：（1） 空載實(shí)驗(yàn)：除去負(fù)載激勵(lì)的影響，此時(shí)可以忽略電機(jī)轉(zhuǎn)速波動(dòng)影響，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)可認(rèn)為僅由齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)造成的；（2） 穩(wěn)定工況實(shí)驗(yàn)：獲得不同實(shí)驗(yàn)工況下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。穩(wěn)定工況實(shí)驗(yàn)又可分為轉(zhuǎn)速平穩(wěn)工況和扭矩平穩(wěn)工況，高鐵牽引齒輪箱分為正轉(zhuǎn)（從輸入軸方向看，逆時(shí)針為正轉(zhuǎn)）、反轉(zhuǎn)兩個(gè)方向，小齒輪軸額定輸入轉(zhuǎn)速4100 r/min，額定輸出轉(zhuǎn)速1688 r/min，額定輸入扭矩為1300 N·m，額定輸出扭矩為3160 N·m。

4.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析對(duì)比驗(yàn)證

由于理論模型沒有對(duì)箱體進(jìn)行有限元建模，而實(shí)驗(yàn)得到的振動(dòng)加速度有效值是從箱體表面所測(cè)的，需做如下處理：實(shí)驗(yàn)結(jié)果取所有測(cè)點(diǎn)的總振動(dòng)加速度平均值，理論計(jì)算結(jié)果取軸承和齒輪上具有代表性的節(jié)點(diǎn)總的振動(dòng)加速度平均值，然后通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果來驗(yàn)證理論模型及分析結(jié)果的正確性。

轉(zhuǎn)速平穩(wěn)實(shí)驗(yàn)工況下，測(cè)點(diǎn)1，2和3的x，y和z各方向的振動(dòng)加速度平均值隨負(fù)載的變化如圖19所示。將齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長(zhǎng)度La=6.4 mm，齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長(zhǎng)度Lc=5 mm作為齒輪最佳修形量代入動(dòng)力學(xué)模型，得到斜齒輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)速平穩(wěn)工況下的振動(dòng)加速度幅頻曲線，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖20所示。隨著負(fù)載的增加，理論振動(dòng)加速度幅頻曲線和實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果振動(dòng)加速度曲線變化趨勢(shì)一致，均呈下降趨勢(shì)。不同的是空載到額定負(fù)載區(qū)間，實(shí)驗(yàn)值大于理論值；超過額定負(fù)載時(shí)，理論值大于實(shí)驗(yàn)值。理論值與實(shí)驗(yàn)值振動(dòng)加速度誤差如表3所示。在額定轉(zhuǎn)速和額定負(fù)載情況下，理論值與實(shí)驗(yàn)值振動(dòng)加速度誤差約為5.4%，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

扭矩平穩(wěn)實(shí)驗(yàn)工況下，測(cè)點(diǎn)1，2和3的z方向的振動(dòng)加速度有效值隨轉(zhuǎn)速的變化如圖21所示。在轉(zhuǎn)速為3500 r/min時(shí)，振動(dòng)加速度幅值曲線出現(xiàn)了共振峰?，F(xiàn)對(duì)比空載工況下和扭矩平穩(wěn)工況下理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖22（a）可知，空載工況下，理論得到的振動(dòng)加速度幅值是隨著轉(zhuǎn)速的上升而近似線性上升，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：當(dāng)轉(zhuǎn)速小于3000 r/min時(shí)，振動(dòng)加速度幅值呈近似線性上升趨勢(shì)，當(dāng)轉(zhuǎn)速從3000 r/min至3500 r/min時(shí)，振動(dòng)加速度幅值上升幅度增加，這與實(shí)驗(yàn)測(cè)得轉(zhuǎn)速為3500 r/min時(shí)箱體向加速幅值曲線出現(xiàn)共振峰結(jié)果是一致的。由圖22（b）可知，扭矩平穩(wěn)工況下振動(dòng)加速度幅值隨轉(zhuǎn)速增加而增加，在轉(zhuǎn)速為2500和3500 r/min時(shí)出現(xiàn)了峰值；理論計(jì)算得到振動(dòng)加速度幅值曲線整體趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，在轉(zhuǎn)速為2500 r/min時(shí)，理論振動(dòng)加速度幅值曲線出現(xiàn)了峰值，但卻沒有在3500 r/min時(shí)出現(xiàn)共振峰。主要原因由于建模時(shí)沒有考慮箱體等結(jié)構(gòu)件對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)一定的偏差。

5結(jié)論

（1） 建立斜齒輪剛度與誤差非線性激勵(lì)耦合模型，研究不同齒廓修形量和齒廓修形長(zhǎng)度以及不同齒向修形量和齒向修形長(zhǎng)度對(duì)斜齒輪嚙合剛度和傳遞誤差的影響。選取合適的修形值可有效減小斜齒輪齒數(shù)交替區(qū)嚙合剛度波動(dòng)。

（2） 考慮系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)，研究不同齒廓修形量和齒廓修形長(zhǎng)度以及不同齒向修形量和齒向修形長(zhǎng)度時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律；隨著修形值的增加，系統(tǒng)振動(dòng)加速度幅值減小，共振峰減少；當(dāng)修形量繼續(xù)增加至一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)加速度幅值上升，說明系統(tǒng)存在最佳修形量。

（3） 通過建立的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性實(shí)驗(yàn)研究，得到不同工況下振動(dòng)加速度幅頻曲線并進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了理論模型及分析結(jié)果的正確性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Ni Gaoxiang， Zhu Caichao， Song Chaosheng， et al. Tooth contact analysis of crossed beveloid gear transmission with parabolic modification[J].Mechanism and Machine Theory，2017，113（07）：40—52.

[2]International Organization for Standardization. ISO 6336-1-2006，Calculation of load capacity of spur and helical gears-part1：basic principles， introduction and general influence factors[S].Geneva，Switzerland，2006.

[3]Alfonso Fuentes-Aznar， Ignacio Gonzalez-Perez. Mathematical definition and computerized modeling of spherical involute and octoidal bevel gears generated by crown gear [J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 106（12）： 94—114.

[4]Liu Hui， Zhang Chen， Xiang Chang L， et al. Tooth profile relief based on lateral-torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model of gear system[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 105（11）：606—619.

[5]Lin Tengjiao， He Zeyin. Analytical method for coupled transmission error of helical gear system with machining errors， assembly errors and tooth modifications [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017， 91（07）： 167—182.

[6]Chaari Fakher， Fakhfakh Tahar， Haddar Mohamed. Analytical modelling of spur gear tooth crack and influence on gearmesh stiffness [J]. European Journal of Mechanics - A/Solids， 2009， 28（3）：461—468.

[7]Liu Changzhao， Qin Datong， Lim C， et al. Dynamic characteristics of the herringbone planetary gear set during the variable speed process [J]. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（24）： 6498—6515.

[8]Ajmi M， Velex P. A model for simulating the quasi-static and dynamic behaviour of solid wide-faced spur and helical gears [J].Journal of Sound and Vibration， 2005， 40（2）：173—190.

[9]Hidaka Teruaki， Terauchi Yoshio， Fujii Makoto. Analysis of dynamic tooth load on planetary gear [J]. Bulletin of JSME， 1980， 23（176）： 315—323.

[10]Kahraman Ahmet. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets [J]. Mechanism and Machine Theory， 2001， 36（8）： 953—971.

[11]Kahraman Ahmet. Load sharing characteristics of planetary transmissions [J]. Mechanism and Machine Theory， 1994， 29（8）： 1151—1165.

[12]魏靜， 孫清朝， 孫偉， 等. 高速機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及非線性因素影響研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2012， 31（17）： 38—43.

Wei Jing， Sun Qing-chao， Sun Wei， et al. Dynamic analysis and effects of nonlinear factors of a gear transmission system for high speed locomotive[J].Journal of Vibration Shock， 2012， 31（17）：38—43.

[13]Jia S， Howard I， Wang J. The dynamic modeling of multiple pairs of spur gears in mesh， including friction and geometrical errors [J]. International Journal of Rotating Machinery， 2003， 9：437—442.

[14]Chen Zaigang， Shao Yimin. Mesh stiffness calculation of a spur gear pair with tooth profile relief and tooth root crack[J]. Mechanism and Machine Theory， 2013， 62：63—74.

[15]王奇斌，張義民.齒向修形直齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2016，29（1）：61—68.

Wang Qibin， Zhang Yimin.Dynamic characteristics analysis of a spur gear system with the lead crown relif[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29（1）：61—68.

[16]Lin J， Parker R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness variation [J].Journal of Sound and Vibration， 2002， 249（1）： 129—145.

[17]魏靜，張愛強(qiáng)，秦大同，等. 考慮結(jié)構(gòu)柔性的行星輪系耦合振動(dòng)特性研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2017， 53（1）：1—12.

Wei Jing， Zhang Aiqiang， Qin Datong， et al. Coupling vibration analysis for planetary gear system considering flexible structure[J].Journal of Mechanical Engineering， 2017，53（1）：1—12.

Abstract： Meshing stiffness and tooth error of helical gears are three-dimensional space problem， the calculation method of mesh stiffness after modification are different with spur gears. However， the traditional analytical method in the calculation of the helical gear meshing stiffness without considering the three-dimensional space position of helical gear meshing line and the meshing position， stiffness excitation and error excitation of a helical gear system after modification cannot be accurately obtained. A nonlinear coupling excitation model of stiffness and error considering profile relief and crown relief is established.Based on the model，the influences of profile relief parameters and crown relief parameters on the meshing stiffness of the helical gear and the dynamic characteristics of the helical gear transmission system are studied respectively. Taking the minimum amplitude of the vibration acceleration as the optimization objective， the optimum modification values of the system are determined. The amplitude and frequency response curves of vibration acceleration of helical gear system are obtained by numerical method. The research results show that selecting the optimum modification parameters can effectively slow down the meshing stiffness fluctuation of the alternating area of teeth， and greatly reduce the amplitude of system vibration acceleration near the resonance point. Finally， the dynamic characteristics of the helical gear are researched with the experimental platform of high speed rail traction gearbox transmission system， and the correctness of the theoretical model is verified.

Key words： helical gear； profile relief； crown relief； nonlinear excitation； dynamic characteristics