倪勝利，陳 霞，鄒艷龍，劉 芳，李文凱

(武漢科技大學 鋼鐵冶金及資源利用省部共建教育部重點實驗室，武漢 430081)

0 引言

弧齒錐齒輪為一種局部點接觸的不完全共軛的齒輪副，幾何模型相當復雜，使用UG等三維建模軟件卻無法建立其精確的三維模型。對一些高端精密應用的弧齒錐齒輪，齒根過渡曲面對輪齒的強度和使用壽命有重要的影響。

李兆文等[1]利用展成法的原理，用VB編程獲得弧齒錐齒輪的齒面點，借助于Pro/E軟件建立弧齒錐齒輪實體模型。張武剛等[2]用切齒原理和實際切齒過程建立幾何仿真模型。任燕[3]和楊宏斌[4]用展成法原理推導弧齒球面漸開線方程，結合MATLAB和SolidWorks軟件建立了弧齒錐齒輪模型。Litvin[5]推導出刀具外側方程和刀尖圓角方程及齒面展成原理，卻沒有給出齒根過渡曲面的推導過程。唐進元[6]運用嚙合方程和切齒原理推導出弧齒錐齒輪工作齒面和過渡曲面方程，在MATLAB中計算出齒面的數(shù)據(jù)點，再導入到Pro/E中建立了含有過渡曲面的弧齒錐齒輪。劉光磊[7]根據(jù)齒輪加工的展成法，通過坐標轉(zhuǎn)換順序，從刀具方程得到了齒輪的齒面方程和齒根過渡曲面方程。以上所述主要是以近似球面漸開線齒形的設計與加工研究為主，而球面漸開線理論在弧齒錐齒輪設計中卻起步比較晚。傳統(tǒng)方式加工的齒輪難以獲得理想的球面漸開線齒形，該齒輪傳動體系屬于局部點接觸，它采用了一種近似球面漸開線的齒形，接近于共軛傳動，造成了齒輪嚙合不理想的現(xiàn)實問題。正因為如此，李丹紅[8]用球面漸開線理論應用于建模中，借助CAD曲面設計功能為主進行建模，但其中沒有設計到齒根過渡曲面的設計。

為了得到理想嚙合的弧齒錐齒輪模型，本文基于球面漸開線理論，推導出弧齒錐齒輪的參數(shù)化方程，不僅給出了球面漸開線方程，還推導出了齒形方程，最后還給出了齒根過渡曲面方程。整個模型的設計都在MATLAB環(huán)境中實現(xiàn)，不存在數(shù)據(jù)丟失等問題。輪齒由端面、齒廓面、齒頂面和齒根面組成，齒廓面分成齒面、齒根圓錐面、齒根過渡曲面3部分，輪齒的齒面由球面漸開線和齒向曲線組成。輪齒端面分成6個子區(qū)域，每個區(qū)域通過球面漸開線、齒頂、齒根、齒根過渡等部分的網(wǎng)格數(shù)目協(xié)調(diào)地連接起來。

1 弧齒錐齒輪嚙合原理

弧齒錐齒輪齒形理論上為球面漸開線，為便于制造，在實際生產(chǎn)中將弧齒錐齒輪大端齒形展成平面，把大端球面漸開線轉(zhuǎn)化成平面漸開線，從而得到近似的齒形，精確的弧齒錐齒輪模型必須使用球面漸開線。

當平面在基圓錐上滾動時，平面上的一點運動軌跡稱為球面漸開線。如圖1所示，圓平面T與基圓錐OKoO1相切并在錐面上作純滾動，圓平面上的動點K在空間的運動軌跡為漸開線。由于動點K在球面漸開線上任意位置到基圓錐頂點O的距離始終相等，故該漸開線是以O點為球心的球面上。當圓平面由初始OK位置滾動到ON位置時，動點K的軌跡為球面漸開線K0K。

圖1 球面漸開線的形成原理

過點K作軸線OO1垂直的平面，交軸線OO1于Q點，交母線OK0于P點。在直 角 三 角 形OKQ、OKP、OPN中，存在如下關系：

(1)

通過漸開線的性質(zhì)可知：

(2)

(3)

由上述方程可推導出：

(4)

由球面三角學和邊角關系可得出：

(5)

球面漸開線上任意一點K的偏角可求出：

(6)

在圖1中的球面坐標系中，可表示為：

(7)

式中，δk為球面漸開線上任意點所對應錐角，δb為基圓錐角。

在產(chǎn)形線K0Kt上分別取等分點Kn(n=0,1,...,t)，當大端面上的點Kn=0每次旋轉(zhuǎn)θ角度，就完成一條球面漸開線曲線，線段OK0作為純滾動時的切線就自動轉(zhuǎn)過一定的角度θn，以下一點Kn=1再作空間球面漸開線運動形成一條球面漸開線曲線，循環(huán)上述操作，直到產(chǎn)形線起點K0指向末點Kt，則所有球面漸開線曲線構成了整個齒面，如圖2所示。當球面半徑R和旋轉(zhuǎn)角度θ變化時，曲線K0Kt點Kn(n=0,1,...,t)所形成的曲線便可形成球面漸開線齒面。

圖2 球面漸開線齒面形成原理圖

2 弧齒錐齒輪齒面的基本組成

2.1 弧齒錐齒輪球面漸開線

如圖3所示，節(jié)平面為產(chǎn)形面，所繪制的圓為齒寬的中點圓；O1為刀盤中心位置，刀盤半徑是RD，O是錐頂，螺旋角為LXJ。

通過余弦定理可求得：

(8)

對于外錐距為R，齒寬為B的弧齒錐齒輪，弧齒錐齒輪中的任意一條球面漸開線所對應的球面半徑如下式表示：

Rbi=R-(i-1)B/(n-1)

(9)

弧齒錐齒輪球面漸開線上點Si角度為 ：

(10)

圖3 刀盤位置及幾何關系

球面漸開線中的點所對應的偏角ZJi為：

(11)

(12)

在坐標系中從大端到任意一條齒形曲線所轉(zhuǎn)過角度為φi，δ為齒輪分度圓錐角，δa為齒頂角。

與其對稱一側球面漸開線如式(13)所示：

(13)

其它參數(shù)與式(12)相同。

上面公式是根錐角大于基錐角的情況；當根錐角小于基錐角時，根錐角到基錐角這段曲線用公式表示如下：

θ=δk=δf+(δb-δf)t

(14)

式中,δb為基錐角。

基錐角到齒頂角的這段曲線用式(15)表示：

θ=δk=δf+(δa-δb)t

(15)

式中,δa為齒頂角。

2.2 齒根曲線和齒頂曲線公式

齒根曲線是齒根圓上的一段圓弧，公式如下：

(16)

另一側齒根曲線表示：

(17)

其它參數(shù)與上相同。而齒頂?shù)那蠼馀c齒根類似，只需將根錐角換成頂錐角，將根錐齒厚角換成頂錐齒厚角。

2.3 齒形曲線

弧齒錐齒輪的齒面與節(jié)錐的交線稱之為節(jié)線，所有節(jié)線是齒輪的縱向齒形。齒面上沿縱向分成h等分，這樣齒面上有h條齒形曲線，每條齒形曲線分成t等分，則每條齒形曲線上的i等分的點的偏角為：

Si=S1+(i-1)(Sn-S1)/t

(18)

式中,i從1～t，S1、Sn分別是式(10)中i=1和i=n的取值。

(19)

(20)

另一側的齒形曲線可表示為：

DYi=FYCHJ+2(β-βi)

(21)

φi=βi-(Q1-ZJ(i)/sin(δ))+DYi

(22)

FYCHJ為分度圓齒厚角，β為分度圓偏角，其它參數(shù)與式(20)相同。

上述是根錐角大于基錐角情況，當根錐角小于基錐角，則根錐角到基錐角這段曲線公式為：

θ=δfi=δb+(δa-δb)(i-1)/(h-1)

(23)

基錐角到齒頂角的這段曲線公式與根錐角大于基錐角相同。

2.4 齒根過渡曲面

連接齒面和齒根的過渡曲面部分，可以通過倒角圓方法進行優(yōu)化處理：

(1)當基錐角小于根錐角時，球面漸開線是與齒根曲線相交，則齒根過渡曲面可以采用變半徑倒圓角[10]的方法來處理。

Rf=0.3mne

(24)

式中，mne為法向模數(shù)。

(2)當基錐角大于根錐角時，弧齒錐齒輪在基圓內(nèi)沒有球面漸開線，則弧齒錐齒輪過渡部分圓角曲線的起點為基圓與球面球面漸開線的交點，終點為基圓與齒根曲線的交點。

3 輪齒有限元網(wǎng)格劃分方法

圖4 弧齒錐齒輪的輪齒端面 分塊圖

根據(jù)輪齒的端面齒廓形狀，可以將整個端面劃分為6大子塊，網(wǎng)格劃分的方法如下所述：B點和I點是齒面和齒根過渡曲面分界點，先連接齒頂和齒根的中點K點和L點，然后根據(jù)端面的形狀確定KL線段中的O點，最后確定輪轂上的側面的D點和G點的位置，B點和I點是齒面和齒根過渡曲面分界點，分別連接OB、OI、OG、OD、OL、OK，如圖4所示。

根據(jù)齒廓上漸開線分成的n等分，可將KO分成相應的n等分；齒輪嚙合時齒根過渡部分應力集中，這時齒根過渡部分網(wǎng)格劃分相對比較密集，OG、DO、EL、LF劃分數(shù)目與齒根以及齒根過渡部分BC和IH數(shù)目相同；將BO、OI、CD、HG劃分的等分與齒頂AK與KJ所劃分數(shù)目相同。

4 實例

以表1中“小輪左旋、大輪右旋”的弧齒錐齒輪副為例，在MATLAB環(huán)境下按照上述方法參數(shù)化地建立起了弧齒錐齒輪網(wǎng)格模型。

表1 齒輪副的基本參數(shù)

Step1:繪出弧齒錐齒輪一個齒面。齒面上沿齒廓方向球面漸開線劃分n等分，沿齒向方向劃分h等分，本文中n取11，h取9。在MATLAB中根據(jù)公式(8)～公式(15)編寫參數(shù)化程序，將表1中的數(shù)據(jù)齒數(shù)z1、z2等參數(shù)代入到上述公式畫出11條球面漸開線。在MATLAB中根據(jù)公式(18)～公式(23)編寫參數(shù)化程序，將表1中的數(shù)據(jù)代入到上述公式畫出9條齒形曲線。由11條球面漸開線和9條齒形曲線畫出的一個齒面如圖5所示。

Step2:確定齒根的過渡曲面。根據(jù)公式(24)可以將齒根的過渡曲面畫出來。齒面和齒根的過渡曲面如圖6所示。

圖5 弧齒錐齒輪的工作齒面 圖6 弧齒錐齒輪的工作齒面與齒根的過渡曲面

Step3:對應的齒面與齒根圓角部分如圖7所示。球面漸開線與對應一側球面漸開線公式區(qū)別在于轉(zhuǎn)過角度φi不同，齒形曲線與對應一側齒形曲線公式區(qū)別在于轉(zhuǎn)過角度φi不同，通過公式(8)～公式(15)與公式(18)～公式(23)可以對應的齒面。

圖7 一對弧齒錐齒輪的齒面與齒根的過渡曲面 圖8 齒面、齒根的過渡曲面與齒頂面

Step4：確定齒頂面。將表1中的參數(shù)代入到公式(16)、公式(17)中，繪出齒頂面，如圖8所示。

Step5：確定齒根面。將表1中的參數(shù)代入到公式(16)、公式(17)中，繪出齒根面，如圖9所示。

圖9 齒面、過渡曲面、齒頂面、齒根面和側面

Step6：確定齒輪的體網(wǎng)格?；↓X錐齒輪的齒頂面、齒根面、齒面與倒圓角部分劃分網(wǎng)格如圖9所示，齒輪大小端面的網(wǎng)格可以按照圖4確定，最后由齒向方向所劃分的數(shù)目可以將齒輪的體網(wǎng)格參數(shù)化劃分，如圖10所示。

圖10 弧齒錐齒輪的網(wǎng)格劃分

由圖10看出，齒根過渡曲面與齒根曲面以及齒面光滑地連接起來，不存在干涉問題。

5 結論

本文提出的球面漸開線形成理論，易于編程，實用性強。本模型完全可以在MATLAB環(huán)境中進行編程建模，減少了以前復雜繪圖的時間。只需輸入齒輪副的基本參數(shù)程序自動繪制出弧齒錐齒輪模型。

(1)用MATLAB參數(shù)化建模能得出弧齒錐齒輪的空間點的坐標，為齒輪設計和加工提供了便利。

(2)其精確地參數(shù)化齒輪模型能提供有效的齒面信息，為進一步TCA等分析打下基礎。

(3)該程序能為有限元分析提供前處理網(wǎng)格信息，對弧齒錐齒輪進行加載嚙合分析，計算出齒輪嚙合時的應力和應變大小。

(4)根據(jù)齒輪嚙合噪聲的大小對齒面進行修形，在MATLAB環(huán)境里修改齒面空間點的坐標，即在齒廓方向上對齒頂和齒根進行修形，在齒向上對大端和小端進行修形。