丁宸宇， 岳瑞華， 李遠東， 顧 凡

(火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

0 引言

基于MAP(Measurement Assurance Program)的導(dǎo)彈綜合測試設(shè)備的計量保證方案解決了傳統(tǒng)計量中逐級向上溯源以及大型設(shè)備的原位計量問題，而且使計量檢定過程處于閉環(huán)狀態(tài)，保證了測試的精度與可靠性，滿足了導(dǎo)彈時刻遂行作戰(zhàn)任務(wù)的需求。

在MAP方案中，為了計算核查標準值的統(tǒng)計特性，用核查標準值的標準偏差來表征其隨機誤差大小，因此需要每兩次測量之間的時間間隔足夠長，以確保測量的觀測值具有完全獨立性。只有這樣，才能對核查標準值的測量進行統(tǒng)計計算[1]。統(tǒng)計過程控制(SPC)是一種用于監(jiān)視和管理過程質(zhì)量的工具集合，控制圖是SPC工具箱中最流行、最有效的工具。傳統(tǒng)SPC方案都是假設(shè)觀測結(jié)果相互獨立，基于這樣的假設(shè)，休哈特控制圖已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個行業(yè)。對于具有自相關(guān)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)控制圖不能有效地進行工作，會誤導(dǎo)錯誤判斷監(jiān)測狀態(tài)，而休哈特控制圖則會因為上下控制限過窄，產(chǎn)生大量的虛發(fā)警報，使控制圖的使用效果大為降低[2-3]。文獻[4]分析的235個實際案例，分別使用傳統(tǒng)控制圖方法和考慮了序列相關(guān)的控制圖方法，前者相較于后者超出控制限的數(shù)據(jù)點多了584個，并且后者超出控制限的數(shù)據(jù)點中有33個點是前者沒有檢測出來的[4]。

自相關(guān)過程廣泛地存在于各種自動化生產(chǎn)。學(xué)術(shù)界具有自相關(guān)性的數(shù)據(jù)處理主要有模型和無模型兩種方法[5-6]。其中：有模型的處理方式是利用受控數(shù)據(jù)估計出正確的時間序列模型，求出每一個觀測值的殘差，用求得的殘差建立控制圖；無模型方法就是利用基平策略和對數(shù)據(jù)分組求均值，但是并不能完全消除時序相關(guān)，增大樣本容量可以降低時序相關(guān)，但是會導(dǎo)致失控時平均步長增大，無法及時預(yù)警。

現(xiàn)有文獻大都是用事先假設(shè)的時間序列結(jié)合殘差控制圖來解決自相關(guān)過程中出現(xiàn)的控制問題[7-10]，繼而進行分析，這顯然不符合工程應(yīng)用實際。就本文中的具體問題來說，時間序列模型是無法事先知道的，必須根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)下的觀測值模擬出時間序列模型。針對以上特點，本文提出依據(jù)受控狀態(tài)下的數(shù)據(jù)估計出時序模型，根據(jù)時序模型求出殘差，建立控制圖，并與傳統(tǒng)休哈特控制圖進行對比。

1 控制圖基本原理

1.1 休哈特控制圖

休哈特控制圖對較大的漂移和異常點檢測效率較高，而且操作簡便，因此得以廣泛使用。

xi=μi+εi

(1)

(2)

(3)

當樣本大小為1，過程標準差需要通過前后兩個觀測值的極差來計算，即

(4)

(5)

1.2 控制圖判異準則

控制圖的主要作用是判斷統(tǒng)計過程是否受控，在過程控制當中，可能存在過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，但是控制圖卻顯示出現(xiàn)異常報警，這被稱為第Ⅰ類錯誤，犯此類錯誤的概率記為σ；同時也存在另一種錯誤，即過程控制已經(jīng)失控，但是控制圖卻沒有發(fā)出警報，這類錯誤被稱為第Ⅱ類錯誤，犯此類錯誤的概率記為β。一般認為小概率事件不會發(fā)生，所以σ的取值特別小，通常取為0.002 7。在此種概率下，“點出界即異常”。犯第Ⅰ類錯誤的概率減小會導(dǎo)致犯第Ⅱ類錯誤的概率增大，此時認為只要點在控制圖中不是隨機排列即判定控制圖異常。所以，判斷控制圖異常的兩條準則如下：1) 點出界即異常；2) 點沒有出界但排列不隨機即異常。

2 殘差控制圖基本原理

2.1 時間序列模型理論

自回歸AR(p)模型是時間序列模型中使用最為廣泛的模型，可表示為

(6)

在不失一般性情況下，以一階自回歸AR(1)模型具體闡述殘差控制圖，即

(7)

式中:μ為過程均值;|φ|<1是模型保持穩(wěn)定的必要條件。

傳統(tǒng)質(zhì)量控制圖應(yīng)用于自相關(guān)過程時，會因監(jiān)控限過窄導(dǎo)致虛假警報頻生[11-12]?？紤]使用滿足統(tǒng)計量獨立性假設(shè)的殘差控制圖。其中過程殘差ei的表達式為

(8)

式中，參數(shù)μ和φ由統(tǒng)計過程處于受控狀態(tài)下的樣本數(shù)據(jù)估計得到，而式(8)成立的條件就是這兩個參數(shù)必須估計準確。

如果在過程中出現(xiàn)異常波動導(dǎo)致過程均值出現(xiàn)偏移，過程均值將會隨時間發(fā)生改變。式(8)變?yōu)?/p>

Yi=μ+φ(Yi-1-μ)+εi

Yi=μi+φ(Yi-1-μi-1)+εi=
μi+φYi-1-φμi-1+εi。

(9)

假設(shè)在t-1時刻過程均值因異常波動變?yōu)棣?δσy，那么變動將發(fā)生在i=t-1和i=t之間，殘差序列ei為

(10)

(11)

綜上，可得殘差序列ei為

(12)

分析式(10)、式(11)可知，在均值發(fā)生變化后，第一個E(Ri)為δσy,但是自相關(guān)過程隨之對均值變化做出反應(yīng)，E(Ri)變?yōu)?1-φ)δσy。

由上文知殘差ei～i，i，d(μ,σ2)，所以可以用休哈特控制圖對殘差進行控制，建立殘差—休哈特控制圖，其滿足

(13)

通過殘差建立的控制圖因數(shù)據(jù)間已經(jīng)沒有相關(guān)性故不再適用一般控制圖的判異規(guī)則。殘差控制圖的判異準則僅在超出控制限的情況下才予以報警。

2.2 自相關(guān)過程及其辨識

自相關(guān)過程也稱作序列相關(guān)，指的是在自動化條件下采集到的觀測值時間間隔太短，導(dǎo)致前后質(zhì)量特性存在相互依賴。自相關(guān)系統(tǒng)的辨識通常采用繪制自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)的方式來甄別。

(14)

式(14)是用來計算自相關(guān)系數(shù)大小的，其中，θk∈[-1,1]，θk離1越近，表示相關(guān)的程度越大。

(15)

3 實驗分析

3.1 模型建立和參數(shù)估計

從采用MAP定期校準的某大型測控設(shè)備的標準28 V電壓源記錄中截取數(shù)據(jù)，該標準電壓源在受控的情況下，每周對其進行3次檢定，共收集到150周的電壓表校準觀測值，其時序圖用Minitab繪制,如圖1所示。橫坐標表示樣本序列，縱坐標表示標準電壓觀測值大小。從時序圖中并不能觀測出數(shù)據(jù)具有明顯相關(guān)性。

圖1 觀測值時序圖Fig.1 Sequence diagram of observed value

選取前150個數(shù)據(jù)，根據(jù)Minitab軟件繪制樣本序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，以檢驗樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)性,如圖2、圖3所示。

圖2 觀測值自相關(guān)函數(shù)Fig.2 ACF of the observed value

圖3 觀測值偏自相關(guān)函數(shù)Fig.3 PACF of the observed value

樣本ACF圖顯示延遲4階后，自相關(guān)系數(shù)都收斂到兩倍標準差范圍以內(nèi)，且呈余弦函數(shù)形式指數(shù)衰減到零值上下波動，表明樣本數(shù)據(jù)是一個短期的自相關(guān)。鑒于樣本數(shù)量以及隨機性，樣本的偏自相關(guān)系數(shù)不會和理論上的偏自相關(guān)系數(shù)一樣，嚴格意義上收斂到0，本文的樣本偏自相關(guān)系數(shù)2階顯著不為0,2階以后近似為0。如果樣本的自相關(guān)系數(shù)在d階明顯超過兩倍標準差，而后95%都收斂到兩倍標準差范圍之內(nèi)，并且由非零的自相關(guān)系數(shù)收斂到兩倍標準差范圍之內(nèi)且波動十分迅速，則視為截尾，可以判定為PACF截尾。另外，根據(jù)ACF拖尾綜合判定樣本值模型為AR(p)模型。

對樣本值做ADF檢驗，其在含截距項和趨勢項以及只含趨勢項的檢驗中，ADF值均小于顯著水平5%單位根臨界值，所以樣本值序列趨勢平穩(wěn)。根據(jù)PACF函數(shù)圖2階截尾，可以初步判斷模型是AR(2)模型，根據(jù)最小二乘法從最大滯后階數(shù)4階開始建立模型，并分別記錄AIC，SC和HQ準則值的大小，如表1所示。

表1 信息準則值

上述3個準則的數(shù)值越小說明模型越好。從表1中可以看出,AR(2)模型3個準則的參數(shù)值最小，所以選擇AR(2)模型。具體模型為

(16)

對估計出的模型的殘差使用拉格朗日乘數(shù)(LM)檢驗，結(jié)果見表2。

表2 LM檢驗結(jié)果

LM的統(tǒng)計量Obs*R-squard對應(yīng)的P(Prob)值為0.693,在5%的顯著水平下不拒絕原假設(shè)，即殘差序列不存在相關(guān)性。

根據(jù)估計出的模型繪出殘差序列的ACF和PACF，如圖4、圖5所示。

圖4 殘差自相關(guān)函數(shù)Fig.4 ACF of residual analysis

圖5 殘差偏自相關(guān)函數(shù)Fig.5 PACF of residual analysis

由圖4、圖5可以明顯看出，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標準差內(nèi)，而且在零值附近波動，所以殘差序列可以看作是一個白噪聲序列。

綜上，通過時間序列估計的模型適當，擬合效果較好。

3.2 分析驗證

圖6 單值控制圖Fig.6 Single value control chart

圖7 殘差控制圖Fig.7 Residual range control chart

由圖6可以觀察出有4個點明顯超出控制限，根據(jù)休哈特控制圖判斷穩(wěn)定的準則，一個點出界即為異常,判斷該過程失控，但是該控制圖中的數(shù)據(jù)是在測控設(shè)備處于穩(wěn)定狀態(tài)下獲得的，所以該控制圖發(fā)出的警報為虛假警報。觀察圖7，發(fā)現(xiàn)沒有點超出控制限，殘差控制圖的判穩(wěn)準則是只要沒有點出界即處于受控狀態(tài)，即判斷該過程處于受控狀態(tài)，沒有出現(xiàn)虛假警報。結(jié)果表明對存在自相關(guān)的數(shù)據(jù)使用殘差控制圖是有效的。

4 結(jié)束語

本文針對采用MAP的大型自動化測試設(shè)備獲得的校準值，因校準值本身存在自相關(guān)性，導(dǎo)致傳統(tǒng)休哈特控制圖上下間距過小，出現(xiàn)虛假警報過多的問題，提出滿足傳統(tǒng)休哈特控制圖數(shù)據(jù)間相互獨立假設(shè)的殘差控制圖。根據(jù)時間序列模型，利用受控狀態(tài)下的觀測值辨識并估計出自回歸模型。結(jié)合實例計算出數(shù)據(jù)的殘差并繪制殘差控制圖與傳統(tǒng)控制圖對比，其結(jié)果有力地說明在考慮數(shù)據(jù)自相關(guān)性后，殘差控制圖有效地減少了非異常原因造成的波動，減少了虛假警報，同時也為其他采用MAP的項目建立過程參數(shù)提供了一種可以參考的方法。