曼德爾布羅特——海岸線的長度

曹則賢

記得有一首很抒情的歌唱道：“林中的小路有多長？只有我們漫步度量。”林中的小路有多長？一般人不會認(rèn)為這是一個成問題的問題。翻開地理書，就能看到“我國有長達(dá)多少多少千米海岸線”的說法。海岸線真有確切的長度嗎？1967年，曼德爾布羅特在《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為《大不列顛的海岸線有多長》（How Long Is the Coast of Britain？ Statistical Selfsimilarity and Fractional Dimension）的論文，明確指出海岸線的長度是一個依賴于測量所用標(biāo)尺的量。相關(guān)問題的研究引入了一個嶄新的數(shù)學(xué)分支—分形幾何。

曼德爾布羅特（Benoit B. Mandelbrot，1927～2010），數(shù)學(xué)家，出生在波蘭，后來先后定居在法國和美國。受其數(shù)學(xué)家叔叔的影響，曼德爾布羅特從小就熱愛數(shù)學(xué)。在求學(xué)經(jīng)歷中，曼德爾布羅特曾受教于大數(shù)學(xué)家尤利亞（Gaston Julia）、馮·諾依曼（John von Neumann）。曼德爾布羅特后來在美國憑借替國際商業(yè)機(jī)器公司（IBM）工作的便利，成了最先使用計(jì)算機(jī)圖形功能創(chuàng)造分形幾何的人。當(dāng)然，這也與他的老師尤利亞引入的一種特殊的集合有關(guān)。

尤利亞集合與復(fù)函數(shù)的迭代有關(guān)。例如，考察函數(shù)fc（z） = z2 + c，其中c是一個常復(fù)數(shù)，z是復(fù)變量。把函數(shù)fc（z）當(dāng)成新的變量z代到方程的右邊去，可以研究這個函數(shù)的迭代性質(zhì)。如果某個區(qū)域內(nèi)的z經(jīng)過迭代算法還保留在這個區(qū)域內(nèi)，則這個區(qū)域?qū)儆趶?fù)平面內(nèi)的Fatou集合。Fatou集合以外的區(qū)域就是尤利亞集合。尤利亞集合是處處非稠的集合（通俗地說，就是麻將牌里的“十三不靠”），因此具有非常迷人的外觀。

對于fc（z） = z2 + c這樣的迭代函數(shù)，可引入曼德爾布羅特集合。從圖中可以看出，曼德爾布羅特集合的邊界具有越來越精細(xì)的、遞歸的細(xì)節(jié)，也就是說你將選定的部分不斷地放大，會發(fā)現(xiàn)同樣的細(xì)節(jié)會不斷再現(xiàn)。對局部的放大會重復(fù)發(fā)現(xiàn)圖形整體的形狀，即是說圖形具有自相似的結(jié)構(gòu)。

1975年，曼德爾布羅特創(chuàng)造了“分形”（fractal）一詞，用來描述那些具有自相似結(jié)構(gòu)的幾何體。聰明的讀者可能已經(jīng)注意到，因?yàn)槁聽柌剂_特集合是由迭代算法的結(jié)果加以定義的，因此所謂的曼德爾布羅特集合之圖形化表示具有自相似結(jié)構(gòu)是自然而然的事情，算法的迭代和所得圖形的自相似，這兩者是有內(nèi)在聯(lián)系的。具有自相似結(jié)構(gòu)的事物在菜市場就能見到，比如寶塔菜，可以看到幾個大小層次上的花瓣結(jié)構(gòu)都是一樣的螺旋狀的。當(dāng)然了，寶塔菜不僅有自相似結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)花樣還是斐波那契斜列螺旋（Fibonacci parastichous spirals），因此更顯神奇。

為了更好地理解分形的概念，我們考察一個簡單點(diǎn)的例子。如下圖，從一個正三角形出發(fā)，把其每邊的中間三分之一去掉，但以這去掉的部分為基準(zhǔn)往外構(gòu)造一個正三角形，則這新的兩邊就替代被去掉的部分完成了去掉部分的連接。對所有某個尺度上存在的線段進(jìn)行上述操作，不斷地重復(fù)下去，就能得到所謂的科赫曲線或者科赫雪花。明顯可看出，隨著構(gòu)造不斷往下個層面進(jìn)行，這個圖形的周長也在不斷增大。實(shí)際上，每往下一個層面，周長都增加到原來的4/3倍。

曼德爾布羅特注意到類似科赫雪花樣的曲線在別的領(lǐng)域也能見到，比如人們非常熟悉的海岸線。海岸線雖然不會像科赫曲線那樣具有嚴(yán)格的自相似結(jié)構(gòu)，但確實(shí)是足夠不規(guī)則的?？梢钥隙ǖ氖?，使用越小的尺子，量得的海岸線長度就越長。曼德爾布羅特引入了分形幾何和分?jǐn)?shù)維度的概念，認(rèn)為一類具有自相似結(jié)構(gòu)的幾何體，其維度是一個非整數(shù)，比如科赫雪花的維度就約是1.26。作為對照，直線、圓周是一維的，平面規(guī)則圖形如三角形、菱形是兩維的，而球體、四面體這樣的規(guī)則結(jié)構(gòu)是三維的，維度都是整數(shù)。分形幾何在物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、地球科學(xué)、氣象學(xué)等領(lǐng)域里都找到了許多有價值的應(yīng)用。

海岸線多長的問題，實(shí)際上牽扯到了測量這一物理學(xué)最重要的問題。以標(biāo)尺進(jìn)行的長度測量，測量對象在標(biāo)尺的尺度之上出現(xiàn)顯著變化才是允許的、可容忍的。一條海岸線，可以簡化為折線，它出現(xiàn)拐點(diǎn)的特征越小，則允許的標(biāo)尺尺度也應(yīng)該越小。這在提醒我們，不存在先驗(yàn)的測量設(shè)備和測量方法。那些能得出有價值結(jié)果的物理實(shí)驗(yàn)，其所使用的設(shè)備和方法是在對具體問題的研究過程中慢慢演化出來的。某種程度上可以說，實(shí)驗(yàn)和理論是一體的，都是物理知識體系的有機(jī)組成部分，是相互砥礪才獲得正確性的。

本文選自《一念非凡—科學(xué)巨擘是怎樣煉成的》。該書由外語教學(xué)與研究出版社出版，入選我社“中華優(yōu)秀科普圖書榜”2018年第一季度“成人原創(chuàng)”榜單。

溫馨提示：若你牽著蹣跚學(xué)步的小孩兒沿著羊腸小道這樣的分形結(jié)構(gòu)散步時，請你一定要耐心地等他，因?yàn)樵谒男∧_下，路確實(shí)更長。