對(duì)一道競賽題答案的質(zhì)疑與探究

廣東省佛山市樂從中學(xué) (郵編：528315)

題目(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽第11題)

x2+2y2+3z2≥k(xy+yz+zx).

試證明你的結(jié)論.

問題(1)比較簡單，在此略去.

對(duì)于問題(2)，網(wǎng)上傳出標(biāo)準(zhǔn)答案，摘錄如下：

下面給出問題(2)的兩種解法.

解法一

實(shí)際上，設(shè)f(k)=k3+6k2-24(k≥0),則f′(k)=3k2+12k≥0,所以f(k)在(0,+∞)上遞增，且有f(0)=-24<0,由零點(diǎn)定理可知f(k)=k3+6k2-24=0在(0,+∞)必有一個(gè)正根.

解法二已知嵌入不等式：若A+B+C=π,則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y、z,都有：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.于是

所以滿足

解答之余，自然想到：符合條件的k值不但存在，而且有無數(shù)個(gè)，如1.75,1.751,…,利用數(shù)學(xué)軟件Geogebra，畫出函數(shù)f(k)=k3+6k2-24(k≥0)的圖象，可知函數(shù)的零點(diǎn)約為1.75877,那么符合條件的k值中，有沒有最大值？若有，最大值是多少？

經(jīng)探究，符合條件的k值中是有最大值的，最大值的求解如下：