淺談“化復為實”思想在“復變函數(shù)”教學中的應(yīng)用

杭 俊， 張 燕

(安徽大學 電氣工程與自動化學院， 安徽 合肥 230601)

0 引言

“復變函數(shù)”不僅是數(shù)學專業(yè)的一門重要專業(yè)課，更是電氣、自動化、通信等工科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，這些專業(yè)很多的成果都以復變函數(shù)理論為基礎(chǔ)。近幾十年來，隨著科學技術(shù)的迅猛發(fā)展，復變函數(shù)的理論與方法也不斷得到擴充與完善，復變函數(shù)的理論與方法也越來越多地應(yīng)用到工程實踐中去，如流體力學、電磁學、熱學和彈性理論等[1]。因此，學好“復變函數(shù)”課程對于在校大學生和科學技術(shù)工作者是十分重要的。教學質(zhì)量的高低、教學效果的好壞直接影響到學生對這門課程以及后續(xù)課程的學習。因此，這就對“復變函數(shù)”課程教學提出了新的要求。

復變函數(shù)是在實變函數(shù)的基礎(chǔ)上延伸出來的，它們的聯(lián)系是很緊密的。復變函數(shù)中的許多理論、概念和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域的推廣，所以它的許多概念和性質(zhì)與實變函數(shù)內(nèi)容既有相同之處也有不同之處，它們的區(qū)別就在于前者是研究復數(shù)域上的函數(shù)，后者是研究實數(shù)域上的函數(shù)[2-5]。因此，這就要求在講授“復變函數(shù)”課程時要充分利用“高等數(shù)學”課程中實變函數(shù)的思想和方法來進行教學。這樣不僅可以提高學生學習的速度，而且能讓學生把握復變函數(shù)課程的核心思想。這對學生系統(tǒng)地掌握復變函數(shù)的基本理論有很大的幫助，對提高“復變函數(shù)”的教學效果有著深遠的影響。

筆者通過對電氣工程專業(yè)學講授復變函數(shù)這門課程，總結(jié)出一些有益的經(jīng)驗，讓學生始終在大腦中有一個將學習復變函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為實變函數(shù)的思想(簡稱“化復為實”思想)，可有效地提高學生學習的效果。本文的后續(xù)內(nèi)容將結(jié)合復變函數(shù)具體內(nèi)容和案例說明如何將“化復為實”思想貫穿于整個“復變函數(shù)”教學和學習過程中去。

1 復變函數(shù)定義

設(shè)有一復數(shù)z=x+iy的集合G，如果有一個確定的法則存在：對于集合G中的每一個復數(shù)z，就有一個或幾個相應(yīng)的復數(shù)w=u+iv隨之而定，那么稱復數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)，簡稱復變函數(shù)，記作w=f(z)[6]。

由于給定了一個復數(shù)z=x+iy就相當于給定了兩個實數(shù)x和y，而復數(shù)w=u+iv也同樣對應(yīng)著一對實數(shù)u和v，所以復變函數(shù)w和自變量z之間一定存在某種關(guān)系。w=f(z)相當于兩個關(guān)系式為

(1)

從式(1)中可以看出u和v皆伴隨x和y而定。此時

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

(2)

式中：u(x,y)和v(x,y)為二元實變函數(shù)。

為了加深對復變函數(shù)和自變量兩者關(guān)系的理解，舉“復變函數(shù)”授課中常用的一個函數(shù)w=f(z)=z2為例說明。令z=x+iy，w=u+iv，那么

w=u+iv=f(z)=(x+iy)2

(3)

根據(jù)恒等式原理，等式兩邊實部與虛部分別相等，因此，根據(jù)式(3)可得

(4)

從式(4)可以看出，函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個二元實變函數(shù)。從這個結(jié)果可以初步地看出，研究復變函數(shù)的性質(zhì)就轉(zhuǎn)換到研究復變函數(shù)的實部和虛部的性質(zhì)，而實部和虛部都是二元實變函數(shù)。因此，歸結(jié)為就是利用實變函數(shù)來研究復變函數(shù)。下面將就復變函數(shù)研究的內(nèi)容來更進一步闡述這一思想(將復變函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實變函數(shù)問題)，由于復變函數(shù)涉及的內(nèi)容很多，本文就選取幾個方面來闡述這種思想，主要包括復變函數(shù)的極限、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分和級數(shù)。

2 復變函數(shù)極限

關(guān)于極限有如下定理：

定理設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z0=x0+iy0，那么limf(z)=A的充要條件是

x→x0x→x0

y→y0y→y0

可以清楚地看出，這個定理將求復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的極限問題。為了加深對這個定理的理解和應(yīng)用，舉例說明。

證令z=x+iy，則

3 解析函數(shù)

關(guān)于解析函數(shù)有如下定理：

定理函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微，并且滿足柯西-黎曼方程

(5)

從定理可以清楚地看出，這個定理將求復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的解析問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的可微問題并且微分滿足一定的關(guān)系。為了進一步說明這個定理，舉例說明。

例設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)。問常數(shù)a, b, c, d取何值時，f(z)在復平面內(nèi)處處解析？

解由題可知

u=x2+axy+by2v= cx2+dxy+y2

根據(jù)實變函數(shù)的理論可知，u和v在整個平面內(nèi)處處解析，所以

從而，要使f(z)在復平面內(nèi)處處解析，還需要滿足柯西-黎曼方程，即

只需要2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by。因此，當a=2, b=-1, c=-1, d=2時，此函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析。

從定理和例子可以看出，在研究復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的解析問題時，其實就是轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的可微問題，然后再利用實變函數(shù)理論進行解決。

4 復變函數(shù)積分

1. 用兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算

(6)

2. 當光滑曲線C由參數(shù)方程

z=z(t)=x(t)+iy(t)ta≤t≤tβ

(7)

給出時(正方向為參數(shù)增加的方向，參數(shù)tα及tβ對應(yīng)光滑曲線的起點和終點，并且)，復變函數(shù)的積分可計算為

(8)

由式(6)和(8)可以看出，不管用哪種方式求復變函數(shù)的積分，歸根到底都要轉(zhuǎn)化到求實變函數(shù)積分的問題。下面舉例進一步說明這種思想。

解此例題采用第二種方式，采用第一種方式同樣可以求解。

直線段C的方程可寫作：

x=3t,y=4t,0≤t≤1

在C上，z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt。于是

從上述計算過程可以看出，求復變函數(shù)的積分就是轉(zhuǎn)化到實變函數(shù)求積分的問題。

5 級數(shù)

5.1 級數(shù)

設(shè){αn}={an+ibn}(n=1, 2…)為一復數(shù)列，表達式為

稱為無窮級數(shù)。

關(guān)于級數(shù)收斂有如下定理：

可以看出該定理將復數(shù)級數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。下面通過例題進一步說明這種思想。

解由級數(shù)可知

發(fā)散

收斂

故原級數(shù)發(fā)散。

5.2 冪級數(shù)

從上述兩個定理可以明顯地看出，求解冪級數(shù)的收斂半徑其實還是求實變函數(shù)極限的問題。下面通過例題進一步說明這種思想。

解1)用比值法計算

所以收斂半徑R=1，也就是原級數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。

2)用根值法計算

所以收斂半徑R=1，也就是原級數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。

可見，用兩種方式求的收斂半徑是相等，并且在求解過程中其實都是在求實變函數(shù)的極限問題。

因此，綜述上述內(nèi)容，從復變函數(shù)定義、復變函數(shù)極限、解析函數(shù)、復變函數(shù)積分和級數(shù)可以充分地看出，在解決復變函數(shù)問題都是將其轉(zhuǎn)化到實變函數(shù)問題，再利用實現(xiàn)函數(shù)的理論進行解決。

6 結(jié)語

“復變函數(shù)”是“高等數(shù)學”的后續(xù)課程，是在實變函數(shù)的基礎(chǔ)上延伸出來的一門課程。筆者根據(jù)講授“復變函數(shù)”的經(jīng)驗，探索了將“化復為實”思想融入到復變函數(shù)的整個教學過程。本文從復變函數(shù)定義、復變函數(shù)極限、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分和級數(shù)等角度闡述“化復為實”思想其實是貫穿于整個復變函數(shù)教學和學習過程中的。在“復變函數(shù)”教學過程中，傳遞這種思想，可以提高學生的學習速度，能讓學生把握復變函數(shù)的核心思想以及與實變函數(shù)的關(guān)聯(lián)性。從而培養(yǎng)學生利用已有知識學習新知識的能力，進而提高學生的學習能力。