胡振震,王亮,楊寶慶,胡玉理,楊文
(中國洛陽電子裝備試驗(yàn)中心,河南 洛陽 471000)
彈道導(dǎo)彈突防概率計(jì)算[1-3]主要有2種方法: 一是解析計(jì)算;二是仿真計(jì)算。解析計(jì)算主要基于概率論等構(gòu)建導(dǎo)彈突防概率解析計(jì)算表達(dá)式[4-9]。仿真計(jì)算通常利用蒙特卡羅方法構(gòu)建突防仿真模型[10-13]。一般情況下2種方法得到的計(jì)算結(jié)果是一致的,但一些情況特別是攻擊彈頭略飽和(攔截彈數(shù)量略不足) 時(shí),兩者會(huì)存在明顯的差異。
考慮一個(gè)簡單的算例(a): 真實(shí)攻擊彈頭數(shù)w=10,重誘餌數(shù)α=0,輕誘餌數(shù)β=0,彈頭可靠性PR=1.0,發(fā)現(xiàn)概率PD=0.9,跟蹤概率PT=1.0,識別概率PI=1.0,攔截彈數(shù)量N=9,1枚彈頭需求攔截彈數(shù)n=1,攔截彈可靠性Pr=1.0。分析這些數(shù)據(jù)很容易得到解析計(jì)算結(jié)果,攔截概率為1,攔截彈可靠性為1,彈頭的跟蹤識別概率都為1,彈頭的可靠性為1,那么彈頭都可靠且發(fā)現(xiàn)1枚就能攔截1枚,因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)概率是0.9,那么能夠發(fā)現(xiàn)9枚同時(shí)也能攔截9枚,即突防彈頭是1枚,突防概率是0.1,然而仿真計(jì)算結(jié)果為突防彈頭數(shù)1.349,突防概率為0.135。這2種方法哪一種是正確的,實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)該采用哪一種方法的結(jié)果作為參考,這是決策者很關(guān)心的問題,也是本文需要解決的問題。
彈道導(dǎo)彈突破反導(dǎo)系統(tǒng)[14]的各個(gè)階段(初、中、末段)可以用統(tǒng)一模型進(jìn)行計(jì)算,各階段的差異僅在于輸入?yún)?shù)的不同(比如:彈頭和誘餌是否分離,攔截策略等)。反導(dǎo)系統(tǒng)各階段都可分預(yù)警和攔截[15]過程,預(yù)警過程主要有發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別環(huán)節(jié),計(jì)算需考慮發(fā)現(xiàn)概率、跟蹤概率、識別概率,而攔截過程主要有攔截環(huán)節(jié),需考慮攔截(或毀傷)概率。對于某一階段的突防過程,假設(shè)有w個(gè)真實(shí)彈頭和α個(gè)重誘餌,β個(gè)輕誘餌,彈頭可靠性為PR,攔截彈的數(shù)量為N,可靠性為Pr。真實(shí)彈頭的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDw,PTw,PIw,PKw。重誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDα,PTα,PIα,PKα。輕誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDβ,PTβ,PIβ,PKβ。
突防過程首先考慮發(fā)現(xiàn)和跟蹤環(huán)節(jié),則彈頭和誘餌被發(fā)現(xiàn)和跟蹤的數(shù)量為
wPRPDwPTw+αPRPDαPTα+βPRPDβPTβ.
考慮識別環(huán)節(jié),彈頭被識別為真彈頭的概率為PIw,重/輕誘餌識別為彈頭的概率PIα,PIβ,則彈頭和誘餌識別為真彈頭的總數(shù)(即需攔截的總彈頭數(shù))為
A=Aw+Aα+Aβ=wPRPDwPTwPIw+
αPRPDαPTαPIα+βPRPDβPTβPIβ.
考慮攔截環(huán)節(jié),采用n攔1策略(即n枚攔截彈攔截1枚彈頭,n枚攔截彈攔截1枚彈頭的過程視為泊松流過程)。當(dāng)nA≤N時(shí),即攔截彈數(shù)量能滿足n攔1的需求,被攔截的彈頭和誘餌數(shù)量為
Aw[1-(1-PrPKw)n]+Aα[1-(1-PrPKα)n]+
Aβ[1-(1-PrPKβ)n].
當(dāng)nA>N時(shí),即攔截彈數(shù)量不足時(shí),被攔截的彈頭和誘餌數(shù)量為
因?yàn)榭紤]到誘餌和真實(shí)彈頭都已被識別為真實(shí)彈頭,不分彼此,所以攔截彈N/n對于彈頭和誘餌來說是平均分配的,不考慮彈頭和誘餌的不同導(dǎo)向概率[16],其比率為Aw∶Aα∶Aβ。因此,當(dāng)nA≤N時(shí),突防的真實(shí)彈頭數(shù)為
wPR{1-PDwPTwPIw[1-(1-PrPKw)n]}.
當(dāng)nA>N時(shí),突防的真實(shí)彈頭數(shù)為
總結(jié)起來,n攔1策略導(dǎo)彈突防概率的解析計(jì)算模型為
(1)
利用蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),突防的彈頭數(shù)量是最終的樣本期望,樣本則是一次突防實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。樣本值認(rèn)為是一些隨機(jī)變量的函數(shù),這些隨機(jī)變量則是定義在多個(gè)不同的事件空間上的實(shí)函數(shù),具有某一概率密度[17]。直接影響突防彈頭數(shù)量的事件包括彈頭可靠性事件和彈頭被攔截事件,而被攔截事件又與發(fā)現(xiàn)事件/跟蹤事件/識別事件相關(guān),還與攔截方的攔截彈數(shù)量和攔截策略有關(guān),也與攔截的是否為誘餌有關(guān),因?yàn)楸粩r截的可能是被識別為彈頭的誘餌,因而需考慮彈頭類型事件。
真實(shí)彈頭(或者攔截彈)可靠性事件是一個(gè)隨機(jī)二值事件,要么可靠,要么不可靠,依概率收斂于期望??煽啃院瘮?shù)hr為隨機(jī)變量xr的函數(shù)。即:
類似還存在: 彈頭發(fā)現(xiàn)事件的函數(shù)hdw為隨機(jī)變量xdw的函數(shù),彈頭跟蹤事件的函數(shù)htw為隨機(jī)變量xtw的函數(shù),彈頭識別事件的函數(shù)hiw為隨機(jī)變量xiw的函數(shù),一枚真實(shí)彈頭被一枚攔截彈攔截的事件的函數(shù)hkwone為隨機(jī)變量xkw的函數(shù),彈頭類型事件的函數(shù)htpw為隨機(jī)變量xtp的函數(shù)等。重誘餌和輕誘餌也存在與上述彈頭事件類似的事件。
突防概率有2種仿真方式:一種是對發(fā)射的所有彈頭在突防各環(huán)節(jié)進(jìn)行整體處理,即齊射式的仿真;第2種是對發(fā)射的所有彈頭逐個(gè)進(jìn)行完整突防過程處理,即順序式的仿真。下面分別給出仿真框架:
考慮齊射式攔截,發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截每一個(gè)環(huán)節(jié)都需要對所有彈頭進(jìn)行整體處理,處理完一個(gè)環(huán)節(jié)后再處理下一個(gè)環(huán)節(jié)。一次仿真過程包括步驟如下:
(1) 首先考慮可靠性事件,經(jīng)可靠性處理后原有彈頭w,α,β中可靠的彈頭數(shù)為m1w,m1h,m1l。
(2) 接著考慮發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別事件(即處理發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別環(huán)節(jié)),處理后得到成功識別的彈頭數(shù)為m2w,m2h,m2l。
(3) 接著考慮攔截事件(即處理攔截環(huán)節(jié)),分2種情況:當(dāng)m2n≤N(m2=m2w+m2h+m2l)時(shí),攔截彈足夠;當(dāng)m2n>N時(shí),攔截彈不足,需考慮彈頭類型事件。得到被攔截的彈頭數(shù)為m3w,m3h,m3l。
(4) 最后得到n攔1策略的突防真實(shí)彈頭數(shù)hw=m1w-m3w。
考慮順序式攔截,總的突防彈頭數(shù)由各枚突防彈頭累加得到。當(dāng)一枚彈頭是真實(shí)彈頭,可靠且沒有被攔截,則該枚彈頭實(shí)現(xiàn)突防。那么突防的真實(shí)彈頭總數(shù)為
(2)
式中:x為識別為彈頭的真實(shí)彈頭數(shù)量;y,z為識別為彈頭的重誘餌,輕誘餌的數(shù)量;htpwi為彈頭類型函數(shù)。
根據(jù)n攔1策略,彈頭被攔截事件的函數(shù)hki與可靠性函數(shù)、發(fā)現(xiàn)函數(shù)、跟蹤函數(shù)、識別函數(shù)、單枚攔截彈的攔截函數(shù)和可靠性函數(shù),以及攔截彈存在函數(shù)有關(guān)(max函數(shù)描述n攔1策略下n枚攔截彈只需其中有1枚實(shí)現(xiàn)攔住即可):
hki=max{hkwonejhrdfj,j=1,n}f(Ni).
(3)
而xd為未經(jīng)攔截過程直接突防的真實(shí)彈頭數(shù),與x,y,z取值有關(guān):
(4)
攔截彈存在函數(shù)f為
式中:Ni表示攔截第i枚彈頭前所剩余的攔截彈數(shù)量。剩余的攔截彈數(shù)與識別為彈頭事件的二值函數(shù)hisw相關(guān),它是隨機(jī)變量xtp和彈頭、誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別事件的函數(shù)。
考慮前述算例(a),根據(jù)式(1)計(jì)算得到突防概率為0.1。而仿真計(jì)算無論是齊射式仿真還是順序式仿真結(jié)果都是0.135。在齊射式仿真中,總彈頭10枚,因?yàn)榭煽啃詾?.0,那么10枚彈頭都可靠。對于發(fā)現(xiàn)概率0.9,因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)事件是隨機(jī)的,那么在一次實(shí)驗(yàn)中的發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)可能是9,也可能是其他值,而樣本集的均值能依概率收斂于9,但是對于單個(gè)樣本(單次實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果)來說,其值不一定是9,也有可能是10,8,7,又因?yàn)閿r截概率為1,攔截彈數(shù)為9,那么最多能攔截的彈頭數(shù)是9枚,所以可能被攔截的彈頭數(shù)會(huì)是9,8,7,而不可能是10,于是攔截過程會(huì)帶通地把所有發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)大于9的隨機(jī)事件排除,那么對于樣本集來說,發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)為10的情況相當(dāng)于僅發(fā)現(xiàn)9枚的情況,因此攔截彈不足(即攻擊彈頭的飽和)導(dǎo)致的結(jié)果相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)無法依概率收斂到9。說明攻擊彈頭飽和(當(dāng)攔截彈不足)時(shí),發(fā)現(xiàn)事件與攔截事件是相關(guān)的,而不是獨(dú)立的。
在順序式仿真中,總彈頭數(shù)10枚,對于第1枚彈頭,必然可靠,可能被發(fā)現(xiàn)也可能不被發(fā)現(xiàn),被發(fā)現(xiàn)后消耗一枚攔截彈并確定被攔截,第2~9枚彈頭類似,可能被發(fā)現(xiàn)也可能不被發(fā)現(xiàn),發(fā)現(xiàn)即被攔截,但對于第10枚彈頭來說,發(fā)現(xiàn)了也可能不被攔截,如果前面攔截彈已經(jīng)使用完了,那么自然就無法攔截。因此被攔截的彈頭數(shù)量最大只能是9,而且一定會(huì)存在小于9的情況,因?yàn)殡S機(jī)發(fā)現(xiàn)事件必然會(huì)出現(xiàn)發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)小于9比如8,7等情況,因此被攔截彈頭數(shù)的期望必然會(huì)小于9,突防彈頭數(shù)必然大于1。同樣說明了發(fā)現(xiàn)事件與攔截事件的非獨(dú)立性。
而對于解析計(jì)算來說,發(fā)現(xiàn)事件和攔截事件是確定獨(dú)立的,發(fā)現(xiàn)概率是0.9,那么解析計(jì)算一定是發(fā)現(xiàn)9枚彈頭,并且因?yàn)閿r截概率等于1,解析計(jì)算也一定是9枚彈頭被攔截,剩下1枚彈頭突防。
上述分析表明,預(yù)警過程發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)的事件與攔截過程的事件間的非獨(dú)立性會(huì)導(dǎo)致仿真結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果的差異,同樣可以推論: 跟蹤、識別等與發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)性質(zhì)類似的事件也會(huì)帶來相同影響。
仍然利用算例(a)來分析預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。圖1給出了攔截彈可靠性為0.9,其他概率為1時(shí)的突防概率,橫軸為攔截彈數(shù)量,縱軸為突防概率。隨著攔截彈頭數(shù)增加,突防概率逐漸下降到0.1,當(dāng)攔截彈數(shù)量達(dá)到10后,突防概率維持0.1不變,因?yàn)樗械膹楊^均已攔截,剩余的攔截彈不再使用。解析計(jì)算、齊射式仿真、順序式仿真三者結(jié)果完全一致,根據(jù)解析計(jì)算的獨(dú)立性,說明當(dāng)攔截彈可靠性為0.9,其他概率為1.0時(shí),預(yù)警和攔截過程各個(gè)環(huán)節(jié)是獨(dú)立的。圖2給出了攔截彈可靠性為0.9,攔截概率為0.9,其他概率為1時(shí)的突防概率,其結(jié)果與圖1類似,說明攔截彈可靠性和攔截概率的變化不影響各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。
圖1 突防概率(Pr=0.9)Fig.1 Penetration probability(Pr=0.9)
圖2 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9)Fig.2 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9)
圖3給出了攔截彈可靠性為0.9,攔截概率為0.9,彈頭可靠性為0.9,其他概率為1時(shí)的突防概率,圖中在攔截彈數(shù)為9時(shí),仿真結(jié)果和解析計(jì)算結(jié)果存在明顯差異,當(dāng)攔截彈數(shù)為8時(shí)存在細(xì)微的差異。說明攻擊彈頭略飽和時(shí)彈頭可靠性影響了各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。圖4給出了攔截彈可靠性為0.9,攔截概率為0.9,彈頭識別概率為0.9,其他概率為1時(shí)的突防概率,其結(jié)果與圖3類似,說明識別概率也帶來相同的影響。因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)、跟蹤與識別環(huán)節(jié)的性質(zhì)類似,可以推論發(fā)現(xiàn)、跟蹤概率也將產(chǎn)生同樣的影響。
圖3 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9,PR=0.9)Fig.3 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9,PR=0.9)
圖4 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9,PI=0.9)Fig.4 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9,PI=0.9)
圖5給出了彈頭識別概率為0.9,其他概率為1.0時(shí)的突防概率,進(jìn)一步驗(yàn)證識別概率會(huì)影響?yīng)毩⑿裕鴶r截概率和攔截彈的可靠性則不會(huì)??偟膩碚f:當(dāng)攻擊彈頭略飽和時(shí),彈頭的可靠性、發(fā)現(xiàn)概率、跟蹤概率、識別概率對預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性存在影響,而攔截概率和攔截彈可靠性則沒有。
圖5 突防概率(PI=0.9)Fig.5 Penetration probability(PI=0.9)
從上述算例可知,當(dāng)PR,PD,PT,PI存在小于1的情況時(shí),仿真和解析計(jì)算差異主要發(fā)生在N=n(A-1)附近,即攻擊彈頭略飽和(攔截彈頭略不足)時(shí)。利用一個(gè)更為簡化的算例(b)來對順序式仿真進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,考慮彈頭數(shù)w=3,誘餌數(shù)為0,PD=0.9,其他概率值都等于1,n=1,那么式(2),(3)可以改寫為
(5)
進(jìn)一步展開為
hw= 1-hdw1f(N)+1-hdw2f(N-hdw1)+
1-hdw3f(N-hdw1-hdw2).
(6)
計(jì)算得到A=2.7,即當(dāng)攔截彈數(shù)N=A-1=1.7附近會(huì)存在差異,因此考慮計(jì)算攔截彈數(shù)N為1~4的情況進(jìn)行分析。當(dāng)N=4時(shí),hw的數(shù)學(xué)期望(均值)為
E(hw)= 1-E(hdw1f(4))+1-E(hdw2f(4-
hdw1))+1-E(hdw3f(4-hdw1-hdw2)).
因?yàn)?≥1,4-hdw1≥1,4-hdw1-hdw2≥1;
所以E(hw)=1-E(hdw1)+1-E(hdw2)+1-E(hdw3),
E(hw)=1-PD+1-PD+1-PD=0.3,
P=E(hw)/w=0.1.
該結(jié)果與式(1)的結(jié)果一致。
當(dāng)N=3時(shí),得到類似的結(jié)果:
E(hw)= 1-E(hdw1f(3))+1-E(hdw2f(3-
hdw1))+1-E(hdw3f(3-hdw1-hdw2))·
因?yàn)?≥1,3-hdw1≥1,3-hdw1-hdw2≥1;
所以E(hw)= 1-E(hdw1)+1-
E(hdw2)+1-E(hdw3),
E(hw)=1-PD+1-PD+1-PD=0.3,
P=E(hw)/w=0.1.
當(dāng)N=2時(shí),情況有所不同:
E(hw)= 1-E(hdw1f(2))+1-E(hdw2f(2-
hdw1))+1-E(hdw3f(2-hdw1-hdw2)),
因?yàn)?≥1,2-hdw1≥1,2-hdw1-hdw2?≥1.
因?yàn)閒的參數(shù)值與hdw相關(guān),不全大于1,所以求期望時(shí)可利用全概率公式計(jì)算:
P(hdw1= 1,hdw2=1)E(hw)=
0.81×(1-1+1-1+1-0)=0.81;
P(hdw1= 1,hdw2=0)E(hw)=
0.09×(1-1+1-0+1-0.9)=0.099;
P(hdw1= 0,hdw2=1)E(hw)=
0.09×(1-0+1-1+1-0.9)=0.099;
P(hdw1= 0,hdw2=0)E(hw)=
0.01×(1-0+1-0+1-0.9)=0.021;
E(hw)=1.029;
P=E(hw)/w=0.343.
當(dāng)N=1時(shí),也有:
E(hw)= 1-E(hdw1f(1))+1-E(hdw2f(1-hdw1))+
1-E(hdw3f(1-hdw1-hdw2)),
1≥1,1-hdw1?≥1,1-hdw1-hdw2?≥1;
P(hdw1=1,hdw2=1)E(hw)=
0.81×(1-1+1-0+1-0)=1.62;
P(hdw1=1,hdw2=0)E(hw)=
0.09×(1-1+1-0+1-0)=0.18;
P(hdw1=0,hdw2=1)E(hw)=
0.09×(1-0+1-1+1-0)=0.18;
P(hdw1=0,hdw2=0)E(hw)=
0.01×(1-0+1-0+1-0.9)=0.021;
E(hw)=2.001;
P=E(hw)/w=0.667.
從式(1)計(jì)算得到N=2,N=1時(shí)的P為
P(N=2)=0.333 333 333,
P(N=1)=0.666 666 666.
說明當(dāng)N=2時(shí),兩者差異明顯;N=1時(shí),兩者有略微的差異。
從結(jié)果看,因?yàn)榉抡孢^程是1枚接1枚的攔截,所以前面處理的彈頭是否發(fā)射攔截彈會(huì)影響后面彈頭的攔截,這可能會(huì)構(gòu)成一種條件概率。當(dāng)攻擊彈頭數(shù)不飽和時(shí)(即攔截彈足夠多,比如N≥nA時(shí)),無論前面攔截過程是什么情況,后面的攔截彈頭都足夠,這樣識別事件和攔截事件互相獨(dú)立,那么期望計(jì)算不考慮條件概率。但在攻擊彈頭數(shù)略飽和時(shí)(即攔截彈數(shù)量略少于需求攔截彈數(shù),比如N=n(A-1)時(shí)),前面彈頭的攔截情況使得后面彈頭面臨的攔截彈有可能足夠,也有可能不足,這就導(dǎo)致期望值處于攔截彈足夠和不足2種情況之間,計(jì)算需要考慮條件概率,這進(jìn)一步體現(xiàn)了此時(shí)預(yù)警和攔截過程各個(gè)環(huán)節(jié)的非獨(dú)立性。相比之下,在解析計(jì)算中攔截彈不足就是不足,因?yàn)楦鳝h(huán)節(jié)是互相獨(dú)立的,其期望無需考慮條件概率。仿真計(jì)算和解析計(jì)算的差異就在于此,這也說明仿真計(jì)算能夠考慮預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)互相影響的事實(shí)。
本文建立了彈道導(dǎo)彈突防各階段統(tǒng)一的解析計(jì)算和蒙特卡羅仿真計(jì)算模型,通過算例比較,分析了攻擊彈頭略飽和時(shí)2種模型計(jì)算結(jié)果的差異,得出結(jié)論如下: 當(dāng)攻擊彈頭數(shù)不飽和(即攔截彈數(shù)量足夠時(shí)),預(yù)警和攔截過程的各個(gè)環(huán)節(jié)是獨(dú)立的,解析計(jì)算和仿真計(jì)算結(jié)果一致,但是當(dāng)攻擊彈頭數(shù)飽和時(shí),各環(huán)節(jié)不再具有獨(dú)立性,這導(dǎo)致了解析計(jì)算和仿真計(jì)算結(jié)果的差異。在實(shí)際應(yīng)用中,因?yàn)榉抡嬗?jì)算模型能考慮到各環(huán)節(jié)非獨(dú)立性問題,所以更接近真實(shí)情況,從結(jié)果正確性角度考慮,決策者應(yīng)以仿真結(jié)果作為參考依據(jù)。