導(dǎo)彈突防概率解析與仿真計(jì)算結(jié)果差異分析

胡振震，王亮，楊寶慶，胡玉理，楊文

(中國洛陽電子裝備試驗(yàn)中心，河南 洛陽 471000)

0 引言

彈道導(dǎo)彈突防概率計(jì)算[1-3]主要有2種方法： 一是解析計(jì)算；二是仿真計(jì)算。解析計(jì)算主要基于概率論等構(gòu)建導(dǎo)彈突防概率解析計(jì)算表達(dá)式[4-9]。仿真計(jì)算通常利用蒙特卡羅方法構(gòu)建突防仿真模型[10-13]。一般情況下2種方法得到的計(jì)算結(jié)果是一致的，但一些情況特別是攻擊彈頭略飽和(攔截彈數(shù)量略不足) 時(shí)，兩者會(huì)存在明顯的差異。

考慮一個(gè)簡單的算例(a): 真實(shí)攻擊彈頭數(shù)w=10，重誘餌數(shù)α=0，輕誘餌數(shù)β=0，彈頭可靠性PR=1.0，發(fā)現(xiàn)概率PD=0.9，跟蹤概率PT=1.0，識別概率PI=1.0，攔截彈數(shù)量N=9，1枚彈頭需求攔截彈數(shù)n=1，攔截彈可靠性Pr=1.0。分析這些數(shù)據(jù)很容易得到解析計(jì)算結(jié)果，攔截概率為1，攔截彈可靠性為1，彈頭的跟蹤識別概率都為1，彈頭的可靠性為1，那么彈頭都可靠且發(fā)現(xiàn)1枚就能攔截1枚，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)概率是0.9，那么能夠發(fā)現(xiàn)9枚同時(shí)也能攔截9枚，即突防彈頭是1枚，突防概率是0.1，然而仿真計(jì)算結(jié)果為突防彈頭數(shù)1.349，突防概率為0.135。這2種方法哪一種是正確的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)該采用哪一種方法的結(jié)果作為參考，這是決策者很關(guān)心的問題，也是本文需要解決的問題。

1 各階段統(tǒng)一的解析和仿真計(jì)算模型

彈道導(dǎo)彈突破反導(dǎo)系統(tǒng)[14]的各個(gè)階段(初、中、末段)可以用統(tǒng)一模型進(jìn)行計(jì)算，各階段的差異僅在于輸入?yún)?shù)的不同(比如:彈頭和誘餌是否分離，攔截策略等)。反導(dǎo)系統(tǒng)各階段都可分預(yù)警和攔截[15]過程，預(yù)警過程主要有發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別環(huán)節(jié)，計(jì)算需考慮發(fā)現(xiàn)概率、跟蹤概率、識別概率，而攔截過程主要有攔截環(huán)節(jié)，需考慮攔截(或毀傷)概率。對于某一階段的突防過程，假設(shè)有w個(gè)真實(shí)彈頭和α個(gè)重誘餌，β個(gè)輕誘餌，彈頭可靠性為PR，攔截彈的數(shù)量為N，可靠性為Pr。真實(shí)彈頭的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDw，PTw，PIw，PKw。重誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDα，PTα，PIα，PKα。輕誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截概率分別為PDβ，PTβ，PIβ，PKβ。

1.1 解析計(jì)算模型

突防過程首先考慮發(fā)現(xiàn)和跟蹤環(huán)節(jié)，則彈頭和誘餌被發(fā)現(xiàn)和跟蹤的數(shù)量為

wPRPDwPTw+αPRPDαPTα+βPRPDβPTβ.

考慮識別環(huán)節(jié)，彈頭被識別為真彈頭的概率為PIw，重/輕誘餌識別為彈頭的概率PIα,PIβ，則彈頭和誘餌識別為真彈頭的總數(shù)(即需攔截的總彈頭數(shù))為

A=Aw+Aα+Aβ=wPRPDwPTwPIw+

αPRPDαPTαPIα+βPRPDβPTβPIβ.

考慮攔截環(huán)節(jié)，采用n攔1策略(即n枚攔截彈攔截1枚彈頭，n枚攔截彈攔截1枚彈頭的過程視為泊松流過程)。當(dāng)nA≤N時(shí)，即攔截彈數(shù)量能滿足n攔1的需求，被攔截的彈頭和誘餌數(shù)量為

Aw[1-(1-PrPKw)n]+Aα[1-(1-PrPKα)n]+
Aβ[1-(1-PrPKβ)n].

當(dāng)nA>N時(shí)，即攔截彈數(shù)量不足時(shí)，被攔截的彈頭和誘餌數(shù)量為

因?yàn)榭紤]到誘餌和真實(shí)彈頭都已被識別為真實(shí)彈頭，不分彼此，所以攔截彈N/n對于彈頭和誘餌來說是平均分配的，不考慮彈頭和誘餌的不同導(dǎo)向概率[16]，其比率為Aw∶Aα∶Aβ。因此，當(dāng)nA≤N時(shí)，突防的真實(shí)彈頭數(shù)為

wPR{1-PDwPTwPIw[1-(1-PrPKw)n]}.

當(dāng)nA>N時(shí)，突防的真實(shí)彈頭數(shù)為

總結(jié)起來，n攔1策略導(dǎo)彈突防概率的解析計(jì)算模型為

(1)

1.2 蒙特卡羅仿真模型

利用蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，突防的彈頭數(shù)量是最終的樣本期望，樣本則是一次突防實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。樣本值認(rèn)為是一些隨機(jī)變量的函數(shù)，這些隨機(jī)變量則是定義在多個(gè)不同的事件空間上的實(shí)函數(shù)，具有某一概率密度[17]。直接影響突防彈頭數(shù)量的事件包括彈頭可靠性事件和彈頭被攔截事件，而被攔截事件又與發(fā)現(xiàn)事件/跟蹤事件/識別事件相關(guān)，還與攔截方的攔截彈數(shù)量和攔截策略有關(guān)，也與攔截的是否為誘餌有關(guān)，因?yàn)楸粩r截的可能是被識別為彈頭的誘餌，因而需考慮彈頭類型事件。

真實(shí)彈頭(或者攔截彈)可靠性事件是一個(gè)隨機(jī)二值事件，要么可靠，要么不可靠，依概率收斂于期望?？煽啃院瘮?shù)hr為隨機(jī)變量xr的函數(shù)。即:

類似還存在: 彈頭發(fā)現(xiàn)事件的函數(shù)hdw為隨機(jī)變量xdw的函數(shù)，彈頭跟蹤事件的函數(shù)htw為隨機(jī)變量xtw的函數(shù)，彈頭識別事件的函數(shù)hiw為隨機(jī)變量xiw的函數(shù)，一枚真實(shí)彈頭被一枚攔截彈攔截的事件的函數(shù)hkwone為隨機(jī)變量xkw的函數(shù)，彈頭類型事件的函數(shù)htpw為隨機(jī)變量xtp的函數(shù)等。重誘餌和輕誘餌也存在與上述彈頭事件類似的事件。

突防概率有2種仿真方式：一種是對發(fā)射的所有彈頭在突防各環(huán)節(jié)進(jìn)行整體處理，即齊射式的仿真；第2種是對發(fā)射的所有彈頭逐個(gè)進(jìn)行完整突防過程處理，即順序式的仿真。下面分別給出仿真框架:

考慮齊射式攔截，發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別、攔截每一個(gè)環(huán)節(jié)都需要對所有彈頭進(jìn)行整體處理，處理完一個(gè)環(huán)節(jié)后再處理下一個(gè)環(huán)節(jié)。一次仿真過程包括步驟如下:

(1) 首先考慮可靠性事件，經(jīng)可靠性處理后原有彈頭w，α，β中可靠的彈頭數(shù)為m1w,m1h,m1l。

(2) 接著考慮發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別事件(即處理發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別環(huán)節(jié))，處理后得到成功識別的彈頭數(shù)為m2w,m2h,m2l。

(3) 接著考慮攔截事件(即處理攔截環(huán)節(jié))，分2種情況：當(dāng)m2n≤N(m2=m2w+m2h+m2l)時(shí)，攔截彈足夠；當(dāng)m2n>N時(shí)，攔截彈不足，需考慮彈頭類型事件。得到被攔截的彈頭數(shù)為m3w,m3h,m3l。

(4) 最后得到n攔1策略的突防真實(shí)彈頭數(shù)hw=m1w-m3w。

考慮順序式攔截，總的突防彈頭數(shù)由各枚突防彈頭累加得到。當(dāng)一枚彈頭是真實(shí)彈頭，可靠且沒有被攔截，則該枚彈頭實(shí)現(xiàn)突防。那么突防的真實(shí)彈頭總數(shù)為

(2)

式中:x為識別為彈頭的真實(shí)彈頭數(shù)量;y，z為識別為彈頭的重誘餌，輕誘餌的數(shù)量；htpwi為彈頭類型函數(shù)。

根據(jù)n攔1策略，彈頭被攔截事件的函數(shù)hki與可靠性函數(shù)、發(fā)現(xiàn)函數(shù)、跟蹤函數(shù)、識別函數(shù)、單枚攔截彈的攔截函數(shù)和可靠性函數(shù)，以及攔截彈存在函數(shù)有關(guān)(max函數(shù)描述n攔1策略下n枚攔截彈只需其中有1枚實(shí)現(xiàn)攔住即可):

hki=max{hkwonejhrdfj,j=1,n}f(Ni).

(3)

而xd為未經(jīng)攔截過程直接突防的真實(shí)彈頭數(shù)，與x，y，z取值有關(guān):

(4)

攔截彈存在函數(shù)f為

式中:Ni表示攔截第i枚彈頭前所剩余的攔截彈數(shù)量。剩余的攔截彈數(shù)與識別為彈頭事件的二值函數(shù)hisw相關(guān)，它是隨機(jī)變量xtp和彈頭、誘餌的發(fā)現(xiàn)、跟蹤、識別事件的函數(shù)。

2 解析和仿真計(jì)算結(jié)果差異分析

2.1 預(yù)警和攔截過程的非獨(dú)立性影響

考慮前述算例(a)，根據(jù)式(1)計(jì)算得到突防概率為0.1。而仿真計(jì)算無論是齊射式仿真還是順序式仿真結(jié)果都是0.135。在齊射式仿真中，總彈頭10枚，因?yàn)榭煽啃詾?.0,那么10枚彈頭都可靠。對于發(fā)現(xiàn)概率0.9，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)事件是隨機(jī)的，那么在一次實(shí)驗(yàn)中的發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)可能是9，也可能是其他值，而樣本集的均值能依概率收斂于9，但是對于單個(gè)樣本(單次實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果)來說，其值不一定是9，也有可能是10,8,7，又因?yàn)閿r截概率為1，攔截彈數(shù)為9，那么最多能攔截的彈頭數(shù)是9枚，所以可能被攔截的彈頭數(shù)會(huì)是9,8,7，而不可能是10，于是攔截過程會(huì)帶通地把所有發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)大于9的隨機(jī)事件排除，那么對于樣本集來說，發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)為10的情況相當(dāng)于僅發(fā)現(xiàn)9枚的情況，因此攔截彈不足(即攻擊彈頭的飽和)導(dǎo)致的結(jié)果相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)無法依概率收斂到9。說明攻擊彈頭飽和(當(dāng)攔截彈不足)時(shí)，發(fā)現(xiàn)事件與攔截事件是相關(guān)的，而不是獨(dú)立的。

在順序式仿真中，總彈頭數(shù)10枚，對于第1枚彈頭，必然可靠，可能被發(fā)現(xiàn)也可能不被發(fā)現(xiàn)，被發(fā)現(xiàn)后消耗一枚攔截彈并確定被攔截，第2～9枚彈頭類似，可能被發(fā)現(xiàn)也可能不被發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)即被攔截，但對于第10枚彈頭來說，發(fā)現(xiàn)了也可能不被攔截，如果前面攔截彈已經(jīng)使用完了，那么自然就無法攔截。因此被攔截的彈頭數(shù)量最大只能是9，而且一定會(huì)存在小于9的情況，因?yàn)殡S機(jī)發(fā)現(xiàn)事件必然會(huì)出現(xiàn)發(fā)現(xiàn)彈頭數(shù)小于9比如8，7等情況，因此被攔截彈頭數(shù)的期望必然會(huì)小于9，突防彈頭數(shù)必然大于1。同樣說明了發(fā)現(xiàn)事件與攔截事件的非獨(dú)立性。

而對于解析計(jì)算來說，發(fā)現(xiàn)事件和攔截事件是確定獨(dú)立的，發(fā)現(xiàn)概率是0.9，那么解析計(jì)算一定是發(fā)現(xiàn)9枚彈頭，并且因?yàn)閿r截概率等于1，解析計(jì)算也一定是9枚彈頭被攔截，剩下1枚彈頭突防。

上述分析表明，預(yù)警過程發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)的事件與攔截過程的事件間的非獨(dú)立性會(huì)導(dǎo)致仿真結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果的差異，同樣可以推論: 跟蹤、識別等與發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)性質(zhì)類似的事件也會(huì)帶來相同影響。

2.2 算例分析

仍然利用算例(a)來分析預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。圖1給出了攔截彈可靠性為0.9，其他概率為1時(shí)的突防概率，橫軸為攔截彈數(shù)量，縱軸為突防概率。隨著攔截彈頭數(shù)增加，突防概率逐漸下降到0.1，當(dāng)攔截彈數(shù)量達(dá)到10后，突防概率維持0.1不變，因?yàn)樗械膹楊^均已攔截，剩余的攔截彈不再使用。解析計(jì)算、齊射式仿真、順序式仿真三者結(jié)果完全一致，根據(jù)解析計(jì)算的獨(dú)立性，說明當(dāng)攔截彈可靠性為0.9，其他概率為1.0時(shí)，預(yù)警和攔截過程各個(gè)環(huán)節(jié)是獨(dú)立的。圖2給出了攔截彈可靠性為0.9，攔截概率為0.9，其他概率為1時(shí)的突防概率，其結(jié)果與圖1類似，說明攔截彈可靠性和攔截概率的變化不影響各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。

圖1 突防概率(Pr=0.9)Fig.1 Penetration probability(Pr=0.9)

圖2 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9)Fig.2 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9)

圖3給出了攔截彈可靠性為0.9，攔截概率為0.9，彈頭可靠性為0.9，其他概率為1時(shí)的突防概率，圖中在攔截彈數(shù)為9時(shí)，仿真結(jié)果和解析計(jì)算結(jié)果存在明顯差異，當(dāng)攔截彈數(shù)為8時(shí)存在細(xì)微的差異。說明攻擊彈頭略飽和時(shí)彈頭可靠性影響了各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性。圖4給出了攔截彈可靠性為0.9，攔截概率為0.9，彈頭識別概率為0.9，其他概率為1時(shí)的突防概率，其結(jié)果與圖3類似，說明識別概率也帶來相同的影響。因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)、跟蹤與識別環(huán)節(jié)的性質(zhì)類似，可以推論發(fā)現(xiàn)、跟蹤概率也將產(chǎn)生同樣的影響。

圖3 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9,PR=0.9)Fig.3 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9,PR=0.9)

圖4 突防概率(Pr=0.9,PK=0.9,PI=0.9)Fig.4 Penetration probability(Pr=0.9,PK=0.9,PI=0.9)

圖5給出了彈頭識別概率為0.9，其他概率為1.0時(shí)的突防概率，進(jìn)一步驗(yàn)證識別概率會(huì)影響?yīng)毩⑿裕鴶r截概率和攔截彈的可靠性則不會(huì)?？偟膩碚f：當(dāng)攻擊彈頭略飽和時(shí)，彈頭的可靠性、發(fā)現(xiàn)概率、跟蹤概率、識別概率對預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)的獨(dú)立性存在影響，而攔截概率和攔截彈可靠性則沒有。

圖5 突防概率(PI=0.9)Fig.5 Penetration probability(PI=0.9)

2.3 數(shù)學(xué)驗(yàn)證

從上述算例可知，當(dāng)PR，PD，PT，PI存在小于1的情況時(shí)，仿真和解析計(jì)算差異主要發(fā)生在N=n(A-1)附近，即攻擊彈頭略飽和(攔截彈頭略不足)時(shí)。利用一個(gè)更為簡化的算例(b)來對順序式仿真進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，考慮彈頭數(shù)w=3，誘餌數(shù)為0，PD=0.9，其他概率值都等于1，n=1，那么式(2)，(3)可以改寫為

(5)

進(jìn)一步展開為

hw= 1-hdw1f(N)+1-hdw2f(N-hdw1)+

1-hdw3f(N-hdw1-hdw2).

(6)

計(jì)算得到A=2.7，即當(dāng)攔截彈數(shù)N=A-1=1.7附近會(huì)存在差異，因此考慮計(jì)算攔截彈數(shù)N為1～4的情況進(jìn)行分析。當(dāng)N=4時(shí)，hw的數(shù)學(xué)期望(均值)為

E(hw)= 1-E(hdw1f(4))+1-E(hdw2f(4-

hdw1))+1-E(hdw3f(4-hdw1-hdw2)).

因?yàn)?≥1,4-hdw1≥1,4-hdw1-hdw2≥1;

所以E(hw)=1-E(hdw1)+1-E(hdw2)+1-E(hdw3),

E(hw)=1-PD+1-PD+1-PD=0.3,

P=E(hw)/w=0.1.

該結(jié)果與式(1)的結(jié)果一致。

當(dāng)N=3時(shí)，得到類似的結(jié)果:

E(hw)= 1-E(hdw1f(3))+1-E(hdw2f(3-

hdw1))+1-E(hdw3f(3-hdw1-hdw2))·

因?yàn)?≥1,3-hdw1≥1,3-hdw1-hdw2≥1;

所以E(hw)= 1-E(hdw1)+1-

E(hdw2)+1-E(hdw3),

E(hw)=1-PD+1-PD+1-PD=0.3,

P=E(hw)/w=0.1.

當(dāng)N=2時(shí)，情況有所不同:

E(hw)= 1-E(hdw1f(2))+1-E(hdw2f(2-

hdw1))+1-E(hdw3f(2-hdw1-hdw2)),

因?yàn)?≥1,2-hdw1≥1,2-hdw1-hdw2?≥1.

因?yàn)閒的參數(shù)值與hdw相關(guān)，不全大于1，所以求期望時(shí)可利用全概率公式計(jì)算:

P(hdw1= 1,hdw2=1)E(hw)=

0.81×(1-1+1-1+1-0)=0.81;

P(hdw1= 1,hdw2=0)E(hw)=

0.09×(1-1+1-0+1-0.9)=0.099;

P(hdw1= 0,hdw2=1)E(hw)=

0.09×(1-0+1-1+1-0.9)=0.099;

P(hdw1= 0,hdw2=0)E(hw)=

0.01×(1-0+1-0+1-0.9)=0.021;

E(hw)=1.029;

P=E(hw)/w=0.343.

當(dāng)N=1時(shí)，也有:

E(hw)= 1-E(hdw1f(1))+1-E(hdw2f(1-hdw1))+

1-E(hdw3f(1-hdw1-hdw2))，

1≥1,1-hdw1?≥1,1-hdw1-hdw2?≥1；

P(hdw1=1,hdw2=1)E(hw)=
0.81×(1-1+1-0+1-0)=1.62；
P(hdw1=1,hdw2=0)E(hw)=
0.09×(1-1+1-0+1-0)=0.18；
P(hdw1=0,hdw2=1)E(hw)=
0.09×(1-0+1-1+1-0)=0.18；
P(hdw1=0,hdw2=0)E(hw)=
0.01×(1-0+1-0+1-0.9)=0.021；
E(hw)=2.001；
P=E(hw)/w=0.667.

從式(1)計(jì)算得到N=2，N=1時(shí)的P為

P(N=2)=0.333 333 333，
P(N=1)=0.666 666 666.

說明當(dāng)N=2時(shí)，兩者差異明顯;N=1時(shí)，兩者有略微的差異。

從結(jié)果看，因?yàn)榉抡孢^程是1枚接1枚的攔截，所以前面處理的彈頭是否發(fā)射攔截彈會(huì)影響后面彈頭的攔截，這可能會(huì)構(gòu)成一種條件概率。當(dāng)攻擊彈頭數(shù)不飽和時(shí)(即攔截彈足夠多，比如N≥nA時(shí))，無論前面攔截過程是什么情況，后面的攔截彈頭都足夠，這樣識別事件和攔截事件互相獨(dú)立，那么期望計(jì)算不考慮條件概率。但在攻擊彈頭數(shù)略飽和時(shí)(即攔截彈數(shù)量略少于需求攔截彈數(shù)，比如N=n(A-1)時(shí))，前面彈頭的攔截情況使得后面彈頭面臨的攔截彈有可能足夠，也有可能不足，這就導(dǎo)致期望值處于攔截彈足夠和不足2種情況之間，計(jì)算需要考慮條件概率，這進(jìn)一步體現(xiàn)了此時(shí)預(yù)警和攔截過程各個(gè)環(huán)節(jié)的非獨(dú)立性。相比之下，在解析計(jì)算中攔截彈不足就是不足，因?yàn)楦鳝h(huán)節(jié)是互相獨(dú)立的，其期望無需考慮條件概率。仿真計(jì)算和解析計(jì)算的差異就在于此，這也說明仿真計(jì)算能夠考慮預(yù)警和攔截過程各環(huán)節(jié)互相影響的事實(shí)。

3 結(jié)束語

本文建立了彈道導(dǎo)彈突防各階段統(tǒng)一的解析計(jì)算和蒙特卡羅仿真計(jì)算模型，通過算例比較，分析了攻擊彈頭略飽和時(shí)2種模型計(jì)算結(jié)果的差異，得出結(jié)論如下: 當(dāng)攻擊彈頭數(shù)不飽和(即攔截彈數(shù)量足夠時(shí))，預(yù)警和攔截過程的各個(gè)環(huán)節(jié)是獨(dú)立的，解析計(jì)算和仿真計(jì)算結(jié)果一致，但是當(dāng)攻擊彈頭數(shù)飽和時(shí)，各環(huán)節(jié)不再具有獨(dú)立性，這導(dǎo)致了解析計(jì)算和仿真計(jì)算結(jié)果的差異。在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)榉抡嬗?jì)算模型能考慮到各環(huán)節(jié)非獨(dú)立性問題，所以更接近真實(shí)情況，從結(jié)果正確性角度考慮，決策者應(yīng)以仿真結(jié)果作為參考依據(jù)。