李景奎,段飛飛,藺瑞管,王 松

(1.沈陽航空航天大學(xué) 民用航空學(xué)院,沈陽 110136; 2.中國南方航空股份有限公司 沈陽維修基地,沈陽 110100)

飛機(jī)整體驅(qū)動發(fā)電機(jī)(Integrated Drive Generator,IDG)作為航空電力系統(tǒng)的主要電源,工作在高空、低溫、低壓等惡劣環(huán)境下,其安全可靠是飛機(jī)正常飛行的重要保證.進(jìn)行IDG可靠性評估及壽命預(yù)測研究,有利于找出IDG故障的變化規(guī)律,提高飛機(jī)的安全性和可靠性.目前進(jìn)行可靠性評估及壽命預(yù)測研究主要方法是利用威布爾分布對故障數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模,運用Bootstrap方法或似然比檢驗理論求解可靠度、平均故障間隔時間的點估計及區(qū)間估計[1-7],可以獲得比較準(zhǔn)確的評估及預(yù)測結(jié)果.但是對于工程實際中常見的故障數(shù)據(jù)服從任意分布、概率密度函數(shù)及概率分布函數(shù)難以確定的情況,上述方法運算過程復(fù)雜,計算量龐大.

利用Edgeworth級數(shù)法可以很好地解決這類問題.文獻(xiàn)[8-9]采用隨機(jī)變量的各階矩構(gòu)造概率分布函數(shù),指出了高階矩對計算結(jié)果有較大影響.文獻(xiàn)[10]對比了3種不同級數(shù)逼近概率密度函數(shù)漸近展開式的方法,并分析比較了偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)在不同取值范圍時的差異.Edgeworth級數(shù)方法可以把服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù)近似展開成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的方式進(jìn)行研究[11-13].

本文利用Edgeworth級數(shù)方法,把服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù)近似展開成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),進(jìn)而求得IDG可靠度與平均故障間隔時間的點估計,并運用Bootstrap方法進(jìn)行IDG可靠度及平均故障間隔時間的點估計和區(qū)間估計計算,通過算例驗證了本文方法的正確性和有效性.

1 可靠性指標(biāo)Edgeworth級數(shù)評估及預(yù)測方法

設(shè)fY(Y)為服從任意分布的故障數(shù)據(jù)聯(lián)合概率密度函數(shù),應(yīng)用聯(lián)合正態(tài)概率密度函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)集合,可以近似地獲得任意分布函數(shù)fY(Y)的表達(dá)式

(1)

式中:jT=j1+j2+…+jN;Y=[Y1,Y2,…,Yn]T為狀態(tài)空間向量;函數(shù)φY(Y)為聯(lián)合概率密度函數(shù),

(2)

式中:S為狀態(tài)空間向量的協(xié)方差矩陣.

式(1)中的rj1j2…jN為展開式的系數(shù),展開式系數(shù)選取的不同,得到的分布函數(shù)表達(dá)式也會有所不同.

(3)

式中:ci(i=1,2,…，n)為待定系數(shù);φ(y)為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布N(0,1)的分布密度;φ′(y),φ″(y),φ?(y),φ(4)(y)分別為φ(y)的1～4階導(dǎo)數(shù).

從式(3)中可以看出,待定系數(shù)ci(i=1,2,…，n)是未知的,故計算ci則需要從Hermite多項式的定義出發(fā):

(4)

式中:[n/2]為n/2的整數(shù)部分,計算結(jié)果為

同時,Hermite多項式在權(quán)函數(shù)e-y2/2(y∈R)下是正交的,即

(5)

式(5)可以轉(zhuǎn)化為

(6)

因此

(7)

通過計算,可得到待定系數(shù)ci(i=1,2,…，n)的值如下:

把待定系數(shù)ci(i=1,2,…，n)的值代入式(3),并對兩邊積分,根據(jù)Edgeworth級數(shù)方法,便可以把服從任意分布的故障數(shù)據(jù)的概率分布函數(shù)近似展開成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),即

(8)

以下是式(8)中標(biāo)準(zhǔn)化了的故障數(shù)據(jù)y的前四階矩,即均值μy、標(biāo)準(zhǔn)差σy、偏度θy、峰度ηy,

式中:yj(j=1,2，…,n)為第j個標(biāo)準(zhǔn)化故障數(shù)據(jù).

根據(jù)式(8),把服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù)近似展開成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的表達(dá)式時,通常其概率密度函數(shù)是非對稱的,則IDG整機(jī)可靠度可表示為

(9)

用式(9)計算IDG可靠度時,會有R>1的情況出現(xiàn).當(dāng)R>1時,采用下述經(jīng)驗修正公式修正;當(dāng)沒有R>1的情況出現(xiàn)時,Edgeworth級數(shù)可以獲得足夠精確的解,

(10)

Edgeworth級數(shù)可以任意精確逼近服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù),且通常取級數(shù)的前4項即可得到較好近似.因此,更接近于工程實際.Edgeworth級數(shù)法評估及預(yù)測IDG整機(jī)可靠性指標(biāo)步驟如圖1所示.

圖1 飛機(jī)IDG可靠性指標(biāo)Edgeworth級數(shù)法評估及

2 可靠性指標(biāo)Bootstrap評估及預(yù)測方法

Bootstrap方法是通過重抽樣來構(gòu)造重抽樣樣本,用于參數(shù)的點估計和區(qū)間估計.其基本思想如下[14-15]:

3 實例分析

基于航空維修工程中飛機(jī)IDG故障數(shù)據(jù),對統(tǒng)計記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,得到的故障數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 飛機(jī)IDG故障間隔時間數(shù)據(jù)Tab.1 Aircraft IDG failure interval time data s

利用Edgeworth級數(shù)法進(jìn)行IDG可靠性評估及壽命預(yù)測,不需要參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等步驟確定故障數(shù)據(jù)所服從的分布,直接將服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù)近似展開成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)即可.按照本文方法,獲得標(biāo)準(zhǔn)化了的故障數(shù)據(jù)y的前四階矩分別為μy=4.676 8×10-17,σy=1,θy=0.872 4,ηy=2.781 0.將y的前四階矩作為Edgeworth級數(shù)展開式中的系數(shù)代入式(8),得到飛機(jī)IDG整機(jī)可靠度為R=0.442 0,TMTBF=7 246.700 0.

根據(jù)Bootstrap方法,采用威布爾分布對故障數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到1 000個服從2參數(shù)Weibull分布的Bootstrap重抽樣樣本,本文取置信水平γ=0.99,求得模型參數(shù)為η=8 168.500 0,β=2.396 7>1,TMTBF的點估計為7 241.000 0,區(qū)間估計為[5 918.8,8 582.50],R的點估計為0.472 8,區(qū)間估計為[0.441 3,0.499 6].

兩種方法求解得到的飛機(jī)IDG可靠性指標(biāo)如表2所示.

Edgeworth級數(shù)法對IDG整機(jī)可靠度與平均故障間隔時間的評估及預(yù)測結(jié)果均落在Bootstrap法評估及預(yù)測結(jié)果的區(qū)間之內(nèi),且與點估計誤差較小,驗證了Edgeworth級數(shù)法對故障數(shù)據(jù)展開的正確性，用于可靠性評估及壽命預(yù)測的有效性.

表2 Bootstrap法與Edgeworth級數(shù)法預(yù)測結(jié)果對比Tab.2 Comparison between the prediction results of

4 結(jié)論

(1) 利用Edgeworth級數(shù)及Hermite多項式解決了可靠性評估及壽命預(yù)測研究中故障數(shù)據(jù)服從任意分布,概率密度函數(shù)及概率分布函數(shù)難以確定,使用傳統(tǒng)方法進(jìn)行可靠性評估及壽命預(yù)測研究,運算過程復(fù)雜、計算量龐大的問題.

(2) 結(jié)合前四階矩與Edgeworth級數(shù)展開式來逼近服從任意分布的故障數(shù)據(jù)概率分布函數(shù),算法流程簡單且易于編程,使得計算工作量大大減小.數(shù)值算例結(jié)果驗證了Edgeworth級數(shù)方法對故障數(shù)據(jù)展開的正確性，用于可靠性評估及壽命預(yù)測研究的有效性.

(3) 根據(jù)預(yù)測結(jié)果可以制定更加經(jīng)濟(jì)合理的飛機(jī)IDG維修計劃,為維修大綱的制定提供了理論參考.