基于雙向指數(shù)平滑的水位數(shù)據(jù)修復(fù)方法*

蔣仲廉 劉培豪 鐘 誠 余 珍 李 博

(武漢理工大學(xué)國家水運(yùn)安全工程技術(shù)研究中心1) 武漢 430063) (武漢理工大學(xué)交通學(xué)院2) 武漢 430063) (長江航道規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院3) 武漢 430040) (武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院4) 武漢 430415)

0 引 言

水位數(shù)據(jù)在水運(yùn)工程中具有重要作用.在水位觀測(cè)中，由于一些儀器故障或人為原因，水位數(shù)據(jù)的完整性難以得到有效保障[1].在現(xiàn)有的水位數(shù)據(jù)修復(fù)方法中，線性插值方法，如拉格朗日插值法、牛頓插值法、Hermite插值法、三次樣條插值法等[2]是較為常用的方法.此外，還有基于潮汐學(xué)理論的潮汐調(diào)和方法，通過潮汐的正余弦函數(shù)分解，對(duì)其多階導(dǎo)進(jìn)行平滑修正，在感潮河段的潮位分析中得到了廣泛應(yīng)用.在水位時(shí)間序列相關(guān)關(guān)系上，唐巖等通過余水位的空間相關(guān)性，對(duì)潮高模型進(jìn)行了精化修復(fù)[3].

內(nèi)河航道由于受地形、天氣、匯流及分流等眾多因素的影響，其季節(jié)性、周期性等特征變化幅度較大，故上述方法在內(nèi)河水位數(shù)據(jù)修復(fù)、預(yù)測(cè)中的適用性有待進(jìn)一步提升.水位數(shù)據(jù)本質(zhì)上屬于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，時(shí)間序列是將某種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值，按時(shí)間先后順序排列所形成的數(shù)列，時(shí)間序列分析就是從時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析中尋找其所具有的時(shí)序性和規(guī)律性，根據(jù)時(shí)間序列所反映出來的發(fā)展過程、方向和趨勢(shì)，進(jìn)行類推或延伸，借以預(yù)測(cè)下一段時(shí)間可能達(dá)到的水平，其數(shù)據(jù)本身已經(jīng)為建模提供了足夠的信息量，因而，時(shí)序分析方法可在內(nèi)河水位預(yù)測(cè)上能取得較好的效果[4-5].

指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測(cè)中常用的一種時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)法，作為趨勢(shì)外推法的一種，指數(shù)平滑法不同于一般的移動(dòng)平均法(ARIMA).移動(dòng)平均法中，近期資料對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響要大于遠(yuǎn)期資料，且越近期的資料對(duì)結(jié)果影響越大[6].而指數(shù)平滑法在此基礎(chǔ)上，對(duì)各期的數(shù)據(jù)按一定的規(guī)律賦予權(quán)數(shù)，越近期的數(shù)據(jù)，權(quán)重越大；而對(duì)于遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，則僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)離，賦予它們逐漸收斂為零的權(quán)數(shù).

基于上述分析，本文提出一種基于改進(jìn)指數(shù)平滑法的內(nèi)河水位預(yù)測(cè)方法.在修復(fù)過程中，對(duì)指數(shù)平滑法的單向預(yù)測(cè)過程進(jìn)行了改進(jìn)，引入正反雙向預(yù)測(cè)，并對(duì)正反向結(jié)果進(jìn)行加權(quán)求和，最終實(shí)現(xiàn)內(nèi)河航道水位預(yù)測(cè).通過長江中游水位站日均水位數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果表明本文方法穩(wěn)定可靠，可有效實(shí)現(xiàn)長江等內(nèi)河干線航道水位數(shù)據(jù)修復(fù)與預(yù)測(cè).

1 基于指數(shù)平滑法的水位數(shù)據(jù)修復(fù)方法

1.1 指數(shù)平滑方法

根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑預(yù)測(cè)分為一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)、二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)和三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè).它們的基本原理都是預(yù)測(cè)值是對(duì)以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán).基本公式為

St,1=αyt+(1-α)St-1,1

(1)

St,2=αSt,1+(1-α)St-1,2

(2)

St,3=αSt,2+(1-α)St-1,3

(3)

式中：St為t時(shí)刻的平滑值；yt為t時(shí)刻的實(shí)際值；St,1、St,2、St,3分別為一次、二次和三次指數(shù)平滑值；α為平滑系數(shù)，取值范圍[0,1].設(shè)次數(shù)為3，則三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的表達(dá)式為

yt+m=at+btm+ctm2

(4)

式中：yt+m為第t+m時(shí)刻的預(yù)測(cè)值；at,bt,ct均為t時(shí)刻的參數(shù)，其值為

at=3St,1-3St,2+St,3

(5)

(6)

(7)

1.2 雙向指數(shù)平滑修復(fù)方法

將指數(shù)平滑法用于缺失數(shù)據(jù)修復(fù)時(shí)，通常采用單向的修復(fù)方法.本文在單向指數(shù)平滑方法基礎(chǔ)上，充分利用缺失點(diǎn)前后趨勢(shì)，對(duì)待修復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行正反雙向預(yù)測(cè)，并通過正反向預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均，實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果修正，提高預(yù)測(cè)精度.雙向指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)流程見圖1.

圖1 雙向指數(shù)平滑法流程圖

2 基于雙向指數(shù)平滑水位數(shù)據(jù)修復(fù)過程

2.1 平滑系數(shù)

指數(shù)平滑法的計(jì)算中，平滑系數(shù)α的取值十分重要，它反映了不同時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)對(duì)指數(shù)平滑值的影響.平滑系數(shù)α的取值范圍在0～1，平滑系數(shù)越大，近期實(shí)際值對(duì)本期平滑值的影響越大.α的取值依賴與時(shí)間序列的平穩(wěn)性，當(dāng)時(shí)間序列呈平穩(wěn)趨勢(shì)時(shí)，α取值較小，反之，時(shí)間序列有較大波動(dòng)時(shí)α取值增大.

時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)常用辦法有ADF均方根檢驗(yàn)方法.取長江安慶段2016年水位數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF均方根檢驗(yàn)，其結(jié)果見表1.

表1 均方根檢驗(yàn)結(jié)果表

在ADF檢驗(yàn)結(jié)果中，0為非穩(wěn)定序列，1為穩(wěn)定序列.其中原始數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果表明原始水位序列并非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，一階差分及二階差分結(jié)果均通過ADF檢驗(yàn)，表明數(shù)據(jù)在部分區(qū)間段內(nèi)有抖動(dòng)情況，但抖動(dòng)程度并不劇烈.由水位序列數(shù)據(jù)特性分析，應(yīng)選取較小的平滑系數(shù)[7].分別取平滑系數(shù)α=0.2，0.3和0.4進(jìn)行試算[8]，對(duì)安慶段2016年水位數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合情況見圖2.在長江中下游段，其水位抖動(dòng)不劇烈的情況下，α取值0.3時(shí)有較好的擬合結(jié)果.

圖2 平滑系數(shù)擬合曲線

2.2 估算初始值

初始值的估算對(duì)于指數(shù)平滑法最終結(jié)果具有較大影響.初始值的選取方法主要有兩種，對(duì)于已有樣本的平均及擬合[9].當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量較大時(shí)，擬合方法更為精確，其具體過程如下.

對(duì)于缺失部分，首先獲取其對(duì)應(yīng)的歷史數(shù)據(jù)，然后根據(jù)式(4)，對(duì)前三個(gè)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.此時(shí)，t= 0，將m= 1,2,3代入，用實(shí)際水位代替預(yù)測(cè)值，即

a0+b0+c0=y1

a0+2b0+4c0=y2

a0+3b0+9c0=y3

(8)

求解上述方程組得出a0，b0，c0，再將a0，b0，c0代入式(5)～(7)，結(jié)合數(shù)據(jù)特征選取適當(dāng)?shù)钠交禂?shù)α，解方程組即可得出初始值S0,1，S0,2，S0,3.

2.3 雙向平滑法修正

由于時(shí)間序列特性，水位數(shù)據(jù)序列中任意數(shù)據(jù)前后數(shù)據(jù)均與該數(shù)據(jù)存有一定的相關(guān)關(guān)系.常用的單向預(yù)測(cè)方法可有效利用正向相關(guān)關(guān)系對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而反向關(guān)系經(jīng)常被忽略.為充分利用已知數(shù)據(jù)，提高預(yù)測(cè)精度，由缺失部分之后的數(shù)據(jù)對(duì)丟失數(shù)據(jù)進(jìn)行反向預(yù)測(cè)，并對(duì)雙向預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)求和.雙向預(yù)測(cè)過程如下.

設(shè)有水位數(shù)據(jù)序列x={x1,x2,…,xn}，其中待修復(fù)數(shù)據(jù)點(diǎn)為xk，正向預(yù)測(cè)為以{x1,x2,…,xk-1}為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)集，由指數(shù)平滑公式得到正向預(yù)測(cè)結(jié)果yl，以{xn,xn-1,…,xk+1}為數(shù)據(jù)集，對(duì)待修復(fù)點(diǎn)進(jìn)行反向預(yù)測(cè)，可得預(yù)測(cè)結(jié)果yr.

yr=ar+brm+crm2

(10)

yl=al+blm′+clm′2

(11)

對(duì)正反向預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)求和，采用均值求和方式，最終預(yù)測(cè)結(jié)果表達(dá)為

(12)

3 案例分析

3.1 驗(yàn)數(shù)據(jù)采集

為驗(yàn)證基于雙向指數(shù)平滑法的水位數(shù)據(jù)修復(fù)方法的有效性，以長江安慶段2016年7—8月水位數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行驗(yàn)證.其中水位數(shù)據(jù)為每日上午8時(shí)的實(shí)測(cè)水位，見圖3.

圖3 安慶水位示意圖(2016年7-8月)

3.2 雙向預(yù)測(cè)修復(fù)

以前15個(gè)水位數(shù)據(jù)為已知數(shù)據(jù)，假設(shè)之后的一段數(shù)據(jù)為水位數(shù)據(jù)的連續(xù)缺失段.同時(shí)通過二次曲線擬合法得到三次指數(shù)平滑法的初始值分別為S0,1=12.995 0，S0,2=12.416 7，S0,3=11.675.反向預(yù)測(cè)的平滑系數(shù)選擇方法類似，此處不再贅述.在MATLAB平臺(tái)上，采用三次指數(shù)平滑法的雙向預(yù)測(cè)模型，取正反雙向預(yù)測(cè)值的平均值作為修正，對(duì)不同長度的缺失段數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖4～7.

圖4 缺失2個(gè)點(diǎn)時(shí)修復(fù)結(jié)果

圖5 缺失3個(gè)點(diǎn)時(shí)修復(fù)結(jié)果

圖6 缺失4個(gè)點(diǎn)時(shí)修復(fù)結(jié)果

為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果，引入均方根誤差(RMSE)、平均百分比誤差(MAPE)以及模型決定系數(shù)(R2)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，其中均方根誤差表示模型輸出的平均誤差，百分比誤差表示輸出的百分比誤差，決定系數(shù)代表模型的擬合好壞程度，其值越高，模型的擬合程度越好.

評(píng)價(jià)指標(biāo)具體公式為

(13)

(14)

式中：Xobs為原始水位數(shù)據(jù)；Xmodel為模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù).以下分別以連續(xù)缺失三個(gè)數(shù)據(jù)和五個(gè)數(shù)據(jù)為例，取安慶段和南京段足量水位數(shù)據(jù)進(jìn)行雙向修復(fù)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果由三類評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，見表2.

表2 修復(fù)結(jié)果

由表2可知，基于雙向平滑指數(shù)的水位數(shù)據(jù)修復(fù)方法，在修復(fù)精度上，比正向及反向的單向方法均有提升；隨著連續(xù)修復(fù)點(diǎn)數(shù)的增加，精度提升的數(shù)值逐漸增大.在修復(fù)點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，均方跟誤差約減少0.05 m，百分比誤差降低0.5%.在修復(fù)點(diǎn)數(shù)增加至5時(shí)，均方跟誤差降低約0.1米，百分比誤差降低約1%，在模型擬合精度上均有所提升.

4 結(jié) 束 語

指數(shù)平滑法作為常用的數(shù)據(jù)修復(fù)方法之一，對(duì)于受多種因素共同影響的復(fù)雜時(shí)間序列，直接從數(shù)據(jù)本身分析其變化趨勢(shì)，具有簡單易行的優(yōu)點(diǎn).對(duì)于三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)方法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于內(nèi)河水位數(shù)據(jù)修復(fù)；通過雙向預(yù)測(cè)方法，對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正，有效地提高了水位數(shù)據(jù)修復(fù)精度.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于雙向指數(shù)平滑的水位數(shù)據(jù)算法對(duì)內(nèi)河水位數(shù)據(jù)的修復(fù)結(jié)果良好，精度較單向指數(shù)平滑法有較大提升；對(duì)于多點(diǎn)修復(fù)與預(yù)測(cè)，方雙向指數(shù)平滑方法具有較強(qiáng)的適應(yīng)性.目前，雙向方法的求和權(quán)重采用了平均值求和的方法；根據(jù)正、反向預(yù)測(cè)的擬合優(yōu)劣程度，是否有更好的權(quán)重求取方法，將是未來深化研究的方向之一.