太陽(yáng)位置算法的計(jì)算誤差對(duì)輻射預(yù)測(cè)的影響*

鮑鶴鳴，顧一凡，劉 超，高淑寧，關(guān) 欣

（上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093）

0 引 言

隨著人來(lái)對(duì)能源需求量的增大，傳統(tǒng)能源儲(chǔ)備量逐漸減少，以太陽(yáng)能為主的新能源正推動(dòng)著全球能源系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變。根據(jù)國(guó)際能源署（International Energy Agency, IEA）《2017世界能源展望》統(tǒng)計(jì)，光伏發(fā)電的裝機(jī)容量正以空前的速度增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)至2040年，太陽(yáng)能將成為最大的低碳發(fā)電能源[1]。預(yù)測(cè)太陽(yáng)能系統(tǒng)的輸出功率對(duì)太陽(yáng)能系統(tǒng)最佳能量管理至關(guān)重要。然而，在預(yù)測(cè)太陽(yáng)能系統(tǒng)輸出之前的預(yù)測(cè)重點(diǎn)則是太陽(yáng)能輻照度[2]。通常，太陽(yáng)輻射量可從氣象監(jiān)測(cè)站點(diǎn)獲得，但監(jiān)測(cè)站點(diǎn)的太陽(yáng)輻射量不能準(zhǔn)確地反映出太陽(yáng)能系統(tǒng)工作區(qū)域的太陽(yáng)輻射能量，因此對(duì)不同地區(qū)工作面進(jìn)行準(zhǔn)確太陽(yáng)輻射量的研究，具有重要的理論和實(shí)際意義[3]。經(jīng)歷半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，散射輻射模型得到了不斷完善，輻射模型的計(jì)算精確度不斷提高[4]。典型的太陽(yáng)輻射計(jì)算模型有假設(shè)各向同性的Liu and Jordan模型[5]，基于各向同性漫輻射的Bugler模型[6]，以及目前廣泛使用的 Perez各向異性模型，該模型將散射輻射劃分為環(huán)日輻射、水平面亮度散射、穹頂散射三個(gè)部分[7-8]。在提高輻射計(jì)算模型計(jì)算精度方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了大量研究，但大多只注意散射模型的優(yōu)化，往往忽略了太陽(yáng)位置算法精確度對(duì)太陽(yáng)輻射計(jì)算的影響。吳貞龍等[4]和鄧艷君等[9]在對(duì)輻射的研究中忽略了太陽(yáng)位置算法誤差所帶來(lái)的影響。王志敏等[10]和武曉偉等[11]在其輻射模擬計(jì)算研究中均采用柯伯方程計(jì)算太陽(yáng)赤緯角，未考慮地球軌跡的變化對(duì)輻射計(jì)算造成的影響。曾理等[12]在計(jì)算太陽(yáng)輻射時(shí)，對(duì)海拔高度和大氣層外水平輻射太陽(yáng)光入射角均進(jìn)行了優(yōu)化，但是在偏心修正系數(shù)和太陽(yáng)赤緯的優(yōu)化中卻采用了柯伯方程，忽略了地球軌跡變化的影響。在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等對(duì)太陽(yáng)輻射預(yù)測(cè)的方法中[13-14]，普遍采用的是晴空系數(shù)或時(shí)變系數(shù)的方法，消除太陽(yáng)位置變化對(duì)太陽(yáng)輻照值的影響和降低日出和日落之間過(guò)渡點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差，而這兩種方法均需要獲取準(zhǔn)確的太陽(yáng)方位參數(shù)。美國(guó)國(guó)家可再生能源實(shí)驗(yàn)室（National Renewable Energy Laboratory,NREL）曾提出，入射角計(jì)算結(jié)果0.01°的誤差會(huì)在太陽(yáng)天頂角 80°以上計(jì)算中造成至少 1%的計(jì)算誤差[15]，由此可見(jiàn)，太陽(yáng)位置算法的精確程度對(duì)太陽(yáng)輻射計(jì)算會(huì)產(chǎn)生不可忽略的影響。

由于所有的輻射模型計(jì)算中均需要采用大氣層外水平面輻射值，因此，本文以大氣層外水平面輻射值為分析對(duì)象。為保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，以紫金山天文臺(tái)公布的《中國(guó)天文年歷》數(shù)據(jù)為太陽(yáng)位置參數(shù)基準(zhǔn)，分別以太陽(yáng)赤緯角和日地距離對(duì)輻射的影響程度進(jìn)行分析，并與兩種高精度太陽(yáng)方位算法進(jìn)行了對(duì)比研究。

1 研究方法

目前，太陽(yáng)追蹤裝置中廣為采用的太陽(yáng)位置算法可分為從天文年歷中提取變量并采用傅里葉變換回歸的數(shù)值模擬法和根據(jù)紐康（太陽(yáng)表）中所列的理論展開(kāi)式簡(jiǎn)化后直接計(jì)算兩種方式[16]。然而輻射計(jì)算中太陽(yáng)位置參數(shù)的計(jì)算大多采用柯伯方程，鮮有采用 Bourges等數(shù)值模擬法，理論展開(kāi)式的計(jì)算方法更是寥寥無(wú)幾。大氣層外水平面太陽(yáng)輻照度的計(jì)算式是輻射計(jì)算研究的基礎(chǔ)，其不受大氣蒙氣差等因素的影響，能夠直接反映出太陽(yáng)方位參數(shù)誤差對(duì)輻射計(jì)算的影響。本文以大氣層外水平面太陽(yáng)輻照度的計(jì)算誤差為研究對(duì)象，計(jì)算式如下：

式中，GSC為太陽(yáng)常數(shù)值，GSC=（13 6 7 ± 7 ） W / m2；Go,n射角的 c osθZ值以及地球運(yùn)行軌道偏心修正系數(shù)兩個(gè)方面分析其對(duì)輻射計(jì)算的影響。為一年中第n天在法向平面上測(cè)得的大氣層外的太陽(yáng)輻照度；ξo為偏心修正系數(shù)；θZ為太陽(yáng)入射角。

如式（1）所示，計(jì)算大氣層外水平面太陽(yáng)輻照度時(shí)需要兩個(gè)太陽(yáng)方位參數(shù)，即地球運(yùn)行軌道偏心修正系數(shù)和太陽(yáng)入射角。因此，本文分別從太陽(yáng)入

2 太陽(yáng)方位參數(shù)計(jì)算誤差對(duì)輻射計(jì)算的影響

2.1 入射角計(jì)算誤差對(duì)輻射計(jì)算影響

大氣層外水平面輻射的計(jì)算中太陽(yáng)入射角是主要影響其計(jì)算精確度的太陽(yáng)方位參數(shù)之一。c o sθZ的計(jì)算受赤緯角和時(shí)角的共同影響，根據(jù)幾何關(guān)系，cosθZ表現(xiàn)形式如下：

式中，δ為太陽(yáng)赤緯角；φ為當(dāng)?shù)鼐暥?；ω為時(shí)角。

柯伯方程是在太陽(yáng)輻射計(jì)算中被廣為采用的太陽(yáng)方位參數(shù)算法。然而柯伯方程每一年中每一天的太陽(yáng)赤緯為一個(gè)恒定不變的數(shù)值。一方面由于各年際間參數(shù)都存在一定的差異，柯伯方程使用單一值去滿足各年的變化不可避免地會(huì)出現(xiàn)偏差；另一方面，地球繞太陽(yáng)運(yùn)行軌跡并不是規(guī)則的橢圓，也會(huì)產(chǎn)生較大的偏差。依照柯伯方程，太陽(yáng)赤緯δ可由下式概算：

式中，n為積日，例如，春分為n= 81。

設(shè)太陽(yáng)赤緯誤差引起的 c osθZ太陽(yáng)入射角計(jì)算的相對(duì)誤差為εθ,n，其表達(dá)式為：

式中，θδ,n為以一年中第n天天文年歷的太陽(yáng)赤緯值計(jì)算的太陽(yáng)入射角；θδ',n為以一年中第n天柯伯方程計(jì)算的太陽(yáng)赤緯值計(jì)算的太陽(yáng)入射角。

圖1為柯伯方程計(jì)算的2015年赤緯角值與標(biāo)準(zhǔn)值的絕對(duì)誤差，為了使分析結(jié)果準(zhǔn)確，以紫金山天文臺(tái)地理經(jīng)緯度坐標(biāo)為觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，以柯伯方程計(jì)算2015年赤緯角值的絕對(duì)誤差，兩個(gè)誤差極值分別發(fā)生在第62天和第284天，誤差度數(shù)分別為0.504 5°和1.290 5°。為了準(zhǔn)確得到赤緯角計(jì)算的誤差對(duì)太陽(yáng)入射角余弦值計(jì)算結(jié)果帶來(lái)的誤差影響，只改變赤緯角值，以 10°為步長(zhǎng)分別計(jì)算時(shí)角ω =0° ～ 90°下的值（剔除了計(jì)算的太陽(yáng)入射角小于零的值）。圖2為不同時(shí)角下太陽(yáng)赤緯角計(jì)算誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律。由于太陽(yáng)入射角的計(jì)算誤差與赤緯角計(jì)算誤差成正相關(guān)關(guān)系，圖2所示的誤差峰值與圖1中赤緯角計(jì)算絕對(duì)誤差峰值出現(xiàn)的日期一致，而且隨時(shí)角的增大而增大。

圖2 不同時(shí)角赤緯角誤差造成 c osθZ計(jì)算的相對(duì)誤差Fig. 2 Relative error of cosθZ calculation due to the decentration angle error at different time angles

表1列出了各時(shí)角下 c osθZ計(jì)算誤差極值，在ω= 0° ～ 40°范圍內(nèi)，赤緯計(jì)算誤差對(duì) c osθZ計(jì)算誤差的影響程度相近，該范圍內(nèi)全年平均相對(duì)誤差為0.67%，平均最大峰值為2.44%。當(dāng)ω＞ 40°時(shí)，赤緯計(jì)算誤差引起的 c osθZ計(jì)算誤差影響程度明顯加劇，70°時(shí)最大誤差峰值達(dá)到7.89%。盡管剔除了以天文年歷參數(shù)為基礎(chǔ)計(jì)算入射角θZ在時(shí)角為80°和90°時(shí)的計(jì)算負(fù)值，但在近日出日落時(shí)角的區(qū)域仍出現(xiàn)異常的極大誤差。

表1 不同時(shí)角下 c osθZ值的相對(duì)誤差峰值Table 1 Relative error peaks of the values of c osθZ at different time angles

表2為異常誤差處的太陽(yáng)入射角計(jì)算結(jié)果，引起圖2和表1中極大誤差的原因是由于赤緯角計(jì)算誤差使得年歷參數(shù)計(jì)算入射角值為正值，而柯伯方程計(jì)算為負(fù)值。需要說(shuō)明的是，當(dāng)計(jì)算太陽(yáng)高度角α≤0°則沒(méi)有輻射，使所有太陽(yáng)高度角小于零的cosθZ值為零，因此 c osθZ的計(jì)算誤差就修正為100%。由此可見(jiàn)，這樣的異常極大誤差普遍存在于太陽(yáng)高度角為零的計(jì)算區(qū)域，對(duì)輻射計(jì)算會(huì)造成極大干擾。

表2 異常誤差處太陽(yáng)入射角計(jì)算值Table 2 Calculated value of solar incident angle at anomaly error

由式（1）可知，大氣層外水平面輻照度與 c osθZ值成正比例關(guān)系，因此輻照度誤差分析表達(dá)式如下：

式中，εG為輻照度誤差，δ為天文年歷參數(shù)計(jì)算的太陽(yáng)赤緯角，δ’為方程計(jì)算的太陽(yáng)赤緯角。

為了進(jìn)一步明確太陽(yáng)方位參數(shù)計(jì)算的誤差給輻射計(jì)算帶來(lái)的誤差影響程度。剔除臨界點(diǎn)的極大誤差值，使得所有計(jì)算值均有意義，忽略日地距離變化，即ξo取常數(shù)1，計(jì)算出每一天中日出日落時(shí)的時(shí)角，分別向前向后各取時(shí)角1°（4 min）為步長(zhǎng)，計(jì)算每一天的輻射量。一年中日平均輻射的計(jì)算誤差結(jié)果如圖3所示，誤差峰值與赤緯計(jì)算誤差峰值在相近的時(shí)間出現(xiàn)兩次極值，最大誤差極值2.97%，年平均計(jì)算誤差 1.01%。值得說(shuō)明的是該計(jì)算結(jié)果是在忽略了臨界點(diǎn)極大誤差情況下得出的，若不剔除極大誤差點(diǎn)則會(huì)造成更大的計(jì)算誤差。

圖3 一年中日平均輻射計(jì)算誤差Fig. 3 Annual average radiation calculation error

2.2 偏心修正系數(shù)誤差對(duì)輻射計(jì)算的影響

由于地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是偏心率很小的橢圓形軌道，日地距離有近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)之分。偏心修正系數(shù)用于修正太陽(yáng)輻射隨地球運(yùn)行軌道變化，常采用如下簡(jiǎn)化公式：

式中，r0為平均日地距離，為1個(gè)天文單位（149 597 870 km）；r為觀察點(diǎn)的日地距離。

偏心修正系數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算公式存在與柯伯方程類似的問(wèn)題，單一值去滿足各年的變化不可避免地會(huì)出現(xiàn)偏差。與上節(jié)采用同樣的方法，只改變偏心修正系數(shù)，固定其他參數(shù)，考察偏心距離修正公式對(duì)輻射計(jì)算的影響。設(shè)偏心修正引起的誤差為εξ，其表達(dá)式為：

如圖4所示，偏心修正系數(shù)誤差與赤緯計(jì)算誤差對(duì)輻射計(jì)算誤差的趨勢(shì)基本一致，且兩個(gè)極值點(diǎn)發(fā)生時(shí)間類似，盡管偏心修正對(duì)太陽(yáng)輻射計(jì)算影響僅在0.3%以內(nèi)，但是兩種誤差發(fā)生時(shí)間一致，因此很有可能造成誤差重疊，擴(kuò)大輻射計(jì)算的誤差。

圖4 偏心修正誤差對(duì)日平均輻射的計(jì)算誤差Fig. 4 Calculation error of daily radiation corrected by eccentricity correction error

2.3 太陽(yáng)方位參數(shù)誤差復(fù)合影響

由于赤緯計(jì)算誤差與偏心修正對(duì)日輻射計(jì)算造成影響隨積日變化規(guī)律一致，兩方面的計(jì)算誤差會(huì)對(duì)輻射計(jì)算造成復(fù)合影響。圖5為兩參數(shù)復(fù)合計(jì)算的輻射誤差結(jié)果，地球運(yùn)行軌跡的偏心修正消除了柯伯方程赤緯計(jì)算的極大誤差值，但卻整體增大了全年每日的平均輻射計(jì)算誤差，使得全年日平均輻射量計(jì)算誤差平均為1.05%左右。盡管1%的輻射計(jì)算誤差在部分工程應(yīng)用中可以忽略，但這樣的誤差在太陽(yáng)輻射計(jì)算、測(cè)定等領(lǐng)域不容忽視，更重要的是方位參數(shù)誤差造成計(jì)算誤差與非均質(zhì)大氣影響帶來(lái)的計(jì)算誤差不同，太陽(yáng)方位參數(shù)造成的計(jì)算誤差是可以通過(guò)更精確的太陽(yáng)方位算法優(yōu)化消除。

圖5 兩參數(shù)對(duì)輻射計(jì)算誤差的復(fù)合影響圖Fig. 5 Composite effect of two parameters on radiation calculation error

表3 本文與文獻(xiàn)[9]中輻射計(jì)算誤差隨時(shí)間變化規(guī)律對(duì)比Table 3 The variation of radiation calculation error with time comparison of this paper and reference [9]

表3列出了文獻(xiàn)[9]在2001年1月15日、4月15日、7月15日、10月15日輻射計(jì)算的部分結(jié)果，忽略了太陽(yáng)方位算法的影響，但輻射計(jì)算誤差結(jié)果的變化趨勢(shì)與本文分析結(jié)果的變化規(guī)律相似。這也證明太陽(yáng)方位算法的誤差對(duì)大氣層外水平面輻射的計(jì)算影響隨大氣層外水平面輻射傳遞至輻射計(jì)算，對(duì)輻射計(jì)算結(jié)果造成累積誤差。然而輻射計(jì)算模型中的累積誤差完全可以通過(guò)更精確的方位參數(shù)計(jì)算方程減小甚至消除。

3 高精度的太陽(yáng)方位算法的應(yīng)用

3.1 太陽(yáng)赤緯擬合公式的改進(jìn)

太陽(yáng)方位的計(jì)算誤差會(huì)隨大氣層外輻射的應(yīng)用對(duì)輻射計(jì)算方程產(chǎn)生影響，影響輻射計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，而太陽(yáng)方位參數(shù)的誤差造成的影響可以通過(guò)高精度的算法修正。以往的數(shù)值模擬算法自變量均取自積日，最小單位為日，為了能夠精確地反應(yīng)出不同時(shí)刻內(nèi)的赤緯計(jì)算精度，引入儒略歷元作為自變量改進(jìn)計(jì)算方法。改進(jìn)后計(jì)算方法如下：

天文年歷從 1984年起采用儒略歷元代替貝塞爾歷元，自1994年國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)（International Astronomical Union, IAU）明確新的標(biāo)準(zhǔn)歷元為2000年1月1.5日TT，記為J2000.0。因此本文以J2000.0為標(biāo)準(zhǔn)年。

式中：jd為儒略日，year為計(jì)算的年份，day為一年中的積日，hour為一天中的小時(shí)數(shù)，n為將時(shí)間變量轉(zhuǎn)換為弧度x計(jì)算公式的中間變量，INT為取整標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)。其中n-INT(n)，限定了0≤x≤2π的取值范圍。采用儒略歷元計(jì)算時(shí)間參數(shù)，不僅包涵了奇偶年的時(shí)間變化，而且將離散的日期變?yōu)檫B續(xù)數(shù)字，便于計(jì)算，達(dá)到以年為周期的時(shí)間數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的目的。

以太陽(yáng)赤緯角為例，據(jù)文獻(xiàn)[17]中所述，太陽(yáng)赤緯公式可寫(xiě)成如式（9）所示：

式中： an為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，n= 1, 2, …, 9。

最小二乘法的數(shù)學(xué)原理為：給定一組數(shù)據(jù)（xi,yii= 1, 2, …,n），設(shè)其經(jīng)驗(yàn)方程為F(x)，方程中含有一些待定系數(shù)an。將xi代入方程F(x)并求其與yi的誤差的平方和，即：

通過(guò)求e的極小值得到最優(yōu)的an為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。為得到更準(zhǔn)確的擬合公式，與前人取特殊時(shí)間點(diǎn)參數(shù)的方法不同，本文取年歷中全年數(shù)據(jù)作為最小二乘法擬合數(shù)據(jù)源，赤緯角擬合結(jié)果如式（11）所示：

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

與柯伯方程相比，數(shù)值模擬法與理論展開(kāi)式法在優(yōu)化日間太陽(yáng)方位變化的同時(shí)均充分考慮了年際間的地球軌跡變化。在世界氣象組織（World Meteorological Organization, WMO）的《氣象儀器和方法觀測(cè)指南》推薦 Michalsky提出的基于理論展開(kāi)式的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，該方法計(jì)算誤差小于0.01°[18]。將新擬合公式得出的結(jié)果與 Michalsky法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。改進(jìn)后擬合公式的太陽(yáng)赤緯角計(jì)算誤差不僅小于傳統(tǒng)擬合公式的計(jì)算結(jié)果，而且與計(jì)算復(fù)雜的理論展開(kāi)式法的計(jì)算誤差相差無(wú)幾，絕對(duì)誤差值小于0.01°。圖7為三種方程復(fù)合輻射計(jì)算的相對(duì)誤差對(duì)比圖。如圖所示，高精度的太陽(yáng)方位算法極大地減小了輻射計(jì)算的誤差，較之柯伯方程的計(jì)算誤差提升一個(gè)數(shù)量級(jí)，使得由于太陽(yáng)方位計(jì)算誤差對(duì)最終輻射計(jì)算結(jié)果造成的相對(duì)誤差均小于0.2%。

圖6 太陽(yáng)赤緯的絕對(duì)誤差對(duì)比圖Fig. 6 Absolute declination of the solar declination

圖7 復(fù)合輻射計(jì)算的年日均輻射相對(duì)誤差對(duì)比圖Fig. 7 Calculated annual average radiation relative error by composite radiation

4 結(jié) 論

本文以輻射計(jì)算中必須使用的大氣層外水平面輻射的計(jì)算為研究基礎(chǔ)，對(duì)比分析了太陽(yáng)方位參數(shù)（赤緯、日地距離）等計(jì)算誤差程度對(duì)輻射計(jì)算結(jié)果造成的影響。結(jié)果顯示，柯伯方程赤緯最大計(jì)算誤差1.29°，對(duì)日均輻射計(jì)算結(jié)果造成的最大計(jì)算誤差高達(dá)3%。日地距離計(jì)算誤差（即偏心修正系數(shù)）對(duì)輻射計(jì)算結(jié)果的影響較小，對(duì)日均輻射計(jì)算結(jié)果造成的最大計(jì)算誤差小于0.3%。一方面，兩因素共同作用下年日均輻射量計(jì)算誤差在1%左右。盡管1%的年日均輻射計(jì)算誤差對(duì)工程領(lǐng)域應(yīng)用的影響并不明顯，但是太陽(yáng)方位算法對(duì)輻射計(jì)算結(jié)果造成的不良影響完全可通過(guò)高精度的太陽(yáng)方位算法降低甚至消除。另一方面，由于太陽(yáng)方位參數(shù)的計(jì)算誤差會(huì)帶來(lái)日出和日落之間時(shí)間點(diǎn)計(jì)算差異，從而產(chǎn)生符號(hào)相異的極大誤差，對(duì)之后的輻射數(shù)值計(jì)算帶來(lái)巨大的誤差。

針對(duì)以上兩方面問(wèn)題，引入儒略日作為時(shí)間變量和采用大數(shù)據(jù)量最小二乘法擬合得到一種改進(jìn)的數(shù)值模擬法，將計(jì)算結(jié)果與 Michalsky法以及柯伯方程計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，本文方法保持計(jì)算簡(jiǎn)單的原則同時(shí)其計(jì)算精度與計(jì)算復(fù)雜的Michalsky法相差無(wú)幾。高精度的太陽(yáng)方位算法不僅能夠降低日出和日落之間過(guò)渡點(diǎn)的輻射計(jì)算誤差，而且對(duì)日均輻射量計(jì)算結(jié)果造成的誤差影響均小于0.2%。