浴缸水溫控制的最優(yōu)注水方案研究

李若韜，張文瑜，李南廷，肖緒洋

（重慶文理學(xué)院，重慶，402160）

0 引言

浴缸是人們?nèi)粘Ｉ钪杏脕硐丛『途徑鈮毫Φ谋貍淦?，目前市場上大部分浴缸采用一次性注水的工作方式，這類浴缸存在不能較長時(shí)間保持水溫恒定的困難。本文設(shè)計(jì)一種浴缸水溫調(diào)節(jié)方案，通過實(shí)時(shí)控制熱水輸出量，從而達(dá)到人體最舒適的洗浴溫度。根據(jù)熱力學(xué)基本定律，浴缸水溫降低是因?yàn)槠渑c外界有熱量交換而損失了一部分熱量。

熱交換方式除了浴缸壁因?qū)釗p失外，主要有蒸發(fā)和對(duì)流。當(dāng)熱水注入浴缸時(shí)與浴缸中的水進(jìn)行熱量交換并使水溫升高[1-6]。本文基于傅里葉導(dǎo)熱和牛頓冷卻的傳熱原理，結(jié)合經(jīng)典人身體溫度的熱平衡方程建立數(shù)學(xué)模型，確定最優(yōu)的注水方案，通過調(diào)整流速[7-10]控制水龍頭輸出熱水的體積流量，從而達(dá)到人體最舒適的洗浴溫度。與本文相關(guān)符號(hào)的說明如表1所示。

表1 符號(hào)說明

AD人體皮膚與水的有效接觸面積，m2 V浴缸的總體積，m3 QV水龍頭流出熱水的體積流量，m3·s-1

1 恒溫浴缸設(shè)計(jì)的基本原理

1.1 加熱器熱水輸出

冷水在電熱水器中流過加熱管變成熱水，然后通過水管再經(jīng)水龍頭流進(jìn)浴缸內(nèi)，如圖1所示。

圖1 水加熱及輸送示意圖

通常家庭自來水的流量為7/minL，水管的內(nèi)徑Φ＝10mm，所以流入電熱水器的自來水流速為

熱水從熱水器出來以后，流經(jīng)長約1.5m的鋁塑管（即保溫管）到達(dá)浴缸中。由于鋁塑管優(yōu)異的保溫性能以及熱水運(yùn)輸管程教短，因此，熱量損失可忽略，流入的熱水溫度容易控制在人體皮膚比較適宜的40°C,即Thotwater= 4 0°C。

1.2 浴缸水的熱量傳遞及傳熱模型

1.2.1 傳導(dǎo)傳熱及浴缸中的溫度場方程

物體或系統(tǒng)內(nèi)的溫度差，是熱傳導(dǎo)的必要條件。浴缸中無人或人體呈靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，熱量主要是以傳導(dǎo)傳熱的方式在近似不流動(dòng)的液體中層層傳遞[11]，熱傳導(dǎo)速率決定于浴缸中水溫度場的分布情況。

由傅里葉導(dǎo)熱定律可知，任一方向上的熱流量Q或?qū)崴俾蕿椋?/p>

設(shè)想在所研究的體系中內(nèi)任取一微元Ω(τ)，隨著液體的運(yùn)動(dòng)，其邊界是隨著時(shí)間變化，這個(gè)微元將會(huì)移動(dòng)而且體積也會(huì)改變，流入微元Ω(τ)的熱量

流入微元的熱量必然使得微元Ω(τ)內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒定律，得到

由高斯公式[12]，得到

在變動(dòng)邊界區(qū)域內(nèi)，由于溫度場對(duì)空間的不均勻性和對(duì)時(shí)間的不定常性，標(biāo)量場f(x,y,z,t)關(guān)于時(shí)間t的變化由兩部分組成[13]，可以表示為：

對(duì)于溫度場t(x,y,z,t)，我們便可以得到結(jié)論：

將式（7）代入式（4）并聯(lián)立式（5）得到

再由()τ?的任意性，得到液體中的溫度場方程

方程(11)稱為流體中導(dǎo)熱微分方程。

如果將流體視為不可壓縮的牛頓流體，由連續(xù)性方程Δ·U=0，那么方程（11）可簡化為：

如果假定熱力學(xué)參數(shù)ρ、c、λ均為常數(shù)，那么式（12）可化為

倘若放入的水流流速不是很大，浴缸里面的水相對(duì)整個(gè)大浴缸可以視為是靜止的，所以U=0,則

1.2.2 外界干擾的對(duì)流傳熱及溫度場方程

水的溫度不僅與自身能量的傳遞有關(guān)，也與外界環(huán)境的能量交換有關(guān)。冬天浴室溫度在28℃左右，即 Toutside=28°C 。單位時(shí)間流入微元體Ω(τ)的熱量為

流入Ω(τ)的熱量必然使得內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒定律，得到

若η、Twater、Toutside視為常數(shù)，則

類似于流體中導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)，得到流體受外界干擾的對(duì)流傳熱熱擴(kuò)散方程

如果將流體視為不可壓縮的牛頓流體，由連續(xù)性方程Δ·U=0，那么方程（18）可簡化為

如果視熱力學(xué)參數(shù)ρ、c、λ為常數(shù)，Af為浴缸水總表面積，那么

1.2.3 有熱源的綜合傳熱及模型

當(dāng)水龍頭中熱水注入時(shí)，引起了油缸內(nèi)熱量增大。將流體視為不可壓縮的牛頓流體，熱水落入點(diǎn)視為熱源點(diǎn)，所屬空間坐標(biāo)點(diǎn)單位體積單位時(shí)間內(nèi)提供的熱量滿足熱量供給分布函數(shù) g'(x, y, z,τ)，若 g = g'(x, y, z,τ)/cρ ，則同理得到有熱源的傳熱方程

1.3 人身體溫度熱平衡方程模型

假定人在浴缸里面胸部以下全部浸在水里面。Taverage是人體皮膚平均溫度[14]，Taverage=33.5°C。由牛頓熱交換定律可知單位時(shí)間內(nèi)熱量交換

則Δτ時(shí)間內(nèi)水得到熱量為：

因此單位時(shí)間內(nèi)熱水升高的溫度為 F = d T/dτ,得

結(jié)合式（21），得到人在浴缸中時(shí)浴缸水的綜合傳熱方程

設(shè)水龍頭出水速率 v( m/ s)，水流近似橫截面積 S ( m2)，體積流量vQSv=，即體積流量，時(shí)間微元dτ，由能量守恒定律得到

單位時(shí)間的注水量，即vQ

式（31）可知，為了使浴缸水恒溫，水龍頭放出熱水的體積流量可以由相關(guān)參數(shù)聯(lián)立計(jì)算求得。

2 問題求解

2.1 計(jì)算機(jī)模擬浴缸二維溫度場分布

假定浴缸長度為1.7m ,寬度為 0.8m，高度為 0.7m 。將浴缸平面均分為19x14 個(gè)近似矩形的網(wǎng)格，便有 20x15個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖2 浴缸簡要示意圖

圖3 浴缸平面區(qū)域均分示意圖

如前所述，通過注入熱水，維持浴缸內(nèi)水都處于人體適宜的溫度，即38℃左右。若浴缸壁處水溫恒定，其中靠近水龍頭的一邊溫度為40℃，其它三邊均為35℃。對(duì)于無內(nèi)熱源的常物性穩(wěn)定導(dǎo)熱，由式（14）的。只考慮浴缸平面的溫度分布，二維穩(wěn)定導(dǎo)熱微分方程為：。計(jì)算機(jī)C語言編寫程序，利用高斯-賽德爾迭代法[17]求出各節(jié)點(diǎn)溫度，再作圖4。從圖4可知，浴缸水溫度整體分布是靠近四壁的溫度高而中間低。

圖4 浴缸中水恒溫時(shí)的溫度場分布

2.2 問題的一維求解

由圖 2 可以看出，浴缸中水的溫度場在沿著 y 方向上變化最為明顯，外界水龍頭中流出的熱水與浴缸中水平面接觸的點(diǎn)為內(nèi)熱源，再假設(shè)內(nèi)熱源只是在沿著浴缸最長長度的方向上的有著熱量的分布，即 g'(x, y, z,τ)可以簡化為 g'(y,τ)，Uy為水流沿y方向的速度。僅考慮穩(wěn)定傳熱，即dt/dτ = 0，此時(shí)

其 中 ΔS=0.8×0.7=0.56m2，Af=(1.7×0.7+0.7×0.8+0.8×1.7)×2=6.22m2，v=1.7×0.7×0.8=0.952m3。假設(shè)水流速度很小，視 Uy≈0浴缸二維溫度場的

模擬過程中得到了300個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度，選取一組沿著浴缸y方向的節(jié)點(diǎn)溫度，作浴缸中水溫在沿y方向上的分布圖如圖5所示。

圖5 浴缸中的水溫度在y方向上的分布

再通過一元多次函數(shù)近似擬合得到：t=39.86-23.53y+13.47y2。

空氣與水的熱交換系數(shù)η的數(shù)據(jù)如表 2[17]，將該數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合發(fā)現(xiàn)，η與溫t有很明顯的線性關(guān)系如圖6所示。

圖6 η對(duì)t作圖

表2 不同溫度下空氣與水的熱交換系數(shù)

圖5的擬合方程為h=-0.453t+1171水溫為38℃，即t=Twater=28°C時(shí)η=1109.8W·m-2·K-1。而人的皮膚與水的熱交換系數(shù)介于 10～15W·m-2·K-1，取 χ= 12.5W·m-2·K-1。查資料[18]可知38℃水的物性參數(shù)λ≈0.6338W·m-1·K-1，ρ=1000kg·m-3，c=4200J·kg-1·℃。

代入相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（33）計(jì)算得

即水龍頭放出熱水的體積流量應(yīng)為8.227×10-3m3/s，其數(shù)值的數(shù)量級(jí)與實(shí)際生活情況相符。

3 結(jié)論

（1）為了使浴缸中的水保持恒定溫度，水龍頭每一秒要放出熱水的體積為

（2）從上面的分析可知，影響QV的主要因素是浴缸水溫度隨時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，浴缸水的溫度梯度，水的流速，水龍頭出水的水溫，浴缸外環(huán)境溫度，浴缸中水的體積。從表達(dá)式中可以看出，浴缸中水的溫度場一旦確定，那么體積流量QV便可以求得數(shù)值解。

（3）浴缸中溫度場模擬的結(jié)果表明，浴缸中水處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，溫度由浴缸壁-水交界處至浴缸中央是逐漸降低的。