汪 魁，劉 歡，羅 盈

(1. 重慶交通大學(xué) 水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074； 2. 重慶交通大學(xué) 高校水工建筑物健康診斷技術(shù)與設(shè)備工程研究中心，重慶 400074；3. 重慶市水利電力建筑勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，重慶 401121； 4. 四川大學(xué) 水利水電學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引 言

可靠性理論在土木工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究開始的比較早，國外關(guān)于結(jié)構(gòu)可靠性的研究開始于1911年，而我國則是在國外已將結(jié)構(gòu)可靠度問題研究進(jìn)展到了一定深度時(shí)，才處于起步階段。雖然起步較晚，但是我國工程結(jié)構(gòu)可靠性理論與應(yīng)用發(fā)展迅速，成果顯著[1]。

近年來，可靠性理論在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算中不斷得到應(yīng)用，尤其是在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，逐漸從以經(jīng)驗(yàn)為主的安全系數(shù)法到以概率分析為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法的“ 轉(zhuǎn)軌”。在水利工程和巖土工程中，可靠性理論的應(yīng)用研究不斷深入，尤其是以概率論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法被大量借鑒用以工程設(shè)計(jì)和分析中[2-6]。如向陽生[2]，鄭江[3]分別針對(duì)水工隧洞圍巖穩(wěn)定性，采用Monte-Carlo法對(duì)隧洞結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度研究；范書立等[4]、徐強(qiáng)等[5]分別針對(duì)地震作用下重力壩結(jié)構(gòu)體系的失效路徑及結(jié)構(gòu)可靠性開展了研究；彭輝等[6]研究了已建重力壩抗力與荷載效應(yīng)隨時(shí)間變化的規(guī)律，推求了大壩整體失效概率。總之，進(jìn)一步推動(dòng)可靠性理論在水工結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用具有重要的理論意義和工程實(shí)際價(jià)值。

目前，在水工隧洞堵頭設(shè)計(jì)方面還沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，雖然已知其等級(jí)(即相應(yīng)的水工建筑物等級(jí))，卻并無相關(guān)設(shè)計(jì)條款可以參考，故設(shè)計(jì)人員在確定堵頭設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，出于對(duì)整個(gè)工程的安全著想，往往選擇一些偏于安全的參數(shù)，而其中最重要的參數(shù)——堵頭的長(zhǎng)度也是過于保守，致使工期更趨緊張，有時(shí)還可能造成趕工，在一定程度上增加了施工風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，也增加了造價(jià)[7-12]。因此，考慮將可靠性理論引入到水工隧洞堵頭的設(shè)計(jì)計(jì)算中，建立基于可靠性理論的堵頭設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化分析方法。

1 基于極限狀態(tài)的堵頭設(shè)計(jì)可靠性理論

在結(jié)構(gòu)可靠度分析和設(shè)計(jì)中，使用結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)可靠和失效的界限來描述結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)。假定堵頭結(jié)構(gòu)的抗力隨機(jī)變量為R，荷載效應(yīng)隨機(jī)變量為S，則堵頭結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程可以表示為

Z=g(R,S)=R-S=0

(1)

在水工隧洞堵頭穩(wěn)定性分析常用的計(jì)算方法中，主要有抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)法、圓柱面抗沖剪法、整體安全系數(shù)法和點(diǎn)安全系數(shù)法[6]，在此基礎(chǔ)上可以分別建立幾種不同類型水工隧洞堵頭的極限狀態(tài)方程。考慮堵頭結(jié)構(gòu)的抗力為堵頭與圍巖之間的摩擦力和材料黏聚力，荷載效應(yīng)為堵頭上游斷面所受水平方向的合力，那么可建立堵頭的抗滑極限狀態(tài)方程為

Z=N·f+α·AC-∑PH=0

(2)

式中：N為滑動(dòng)面法向力，MN；f為抗剪斷摩擦系數(shù)；α為黏結(jié)有效面積系數(shù)；A為有效承剪面面積，m2；C為黏聚力，MPa；∑PH為水平方向合力，MN。

通過有限元數(shù)值分析得到接觸面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力，將法向應(yīng)力視為抗力，剪應(yīng)力視為荷載效應(yīng)，得到堵頭的整體穩(wěn)定極限狀態(tài)方程為

Z=∑σnifAi+∑CAi-∑τiAi=0

(3)

式中：f為抗剪斷摩擦系數(shù)；C為黏聚力，MPa；σni為潛在滑動(dòng)面某單元法向應(yīng)力，MPa；τi為潛在滑動(dòng)面某單元剪應(yīng)力，MPa；Ai為潛在滑動(dòng)面某單元面積，m2。

因此，通過對(duì)堵頭及圍巖進(jìn)行有限元模擬計(jì)算，可得到堵頭與圍巖接觸面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力，從而選取堵頭的抗滑極限狀態(tài)來對(duì)堵頭可靠性進(jìn)行研究分析。

2 導(dǎo)流洞堵頭可靠性功能函數(shù)的建立及可靠性分析

2.1 導(dǎo)流洞堵頭可靠性功能函數(shù)

利用非線性有限元分析軟件ABAQUS建立水工隧洞堵頭及圍巖的三維有限元計(jì)算模型，在可靠性理論的基礎(chǔ)上建立堵頭力學(xué)性能可靠性的顯式功能函數(shù)。結(jié)合堵頭可靠性功能函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的可靠度計(jì)算方法，利用MATLAB編制可靠度計(jì)算程序計(jì)算出堵頭可靠指標(biāo)及失效概率。

參考某水利樞紐導(dǎo)流洞堵頭設(shè)計(jì)工程參數(shù)進(jìn)行有限元模擬，計(jì)算模型如圖1。

圖1 堵頭和圍巖有限元計(jì)算模型Fig. 1 The finite element model of the plug and surrounding rocks

圓形隧洞直徑為10 m，設(shè)計(jì)水頭為100 m，并且在整個(gè)計(jì)算過程中假設(shè)作用水頭恒定，堵頭位于Ⅳ類圍巖段；堵頭總長(zhǎng)度30 m，以C25混凝土澆筑堵頭，其上游端與下游端嵌入圍巖的深度分別為1.5、0.5 m。圍巖范圍橫截面選取堵頭邊界外50 m，長(zhǎng)度取60 m。模型頂部自由，按 2.71 MPa的自重應(yīng)力施加豎向荷載，模型左右兩側(cè)和上下游側(cè)圍巖邊界以及底部圍巖邊界分別施加法向約束，堵頭上游斷面施加1 MPa水壓力，堵頭下游斷面處于臨空狀態(tài)。

以圍巖的黏聚力C、內(nèi)摩擦角φ、彈性模量E作為基本隨機(jī)變量，令某一隨機(jī)變量取不同的參數(shù)值而其他隨機(jī)變量都取定值，利用ABAQUS有限元模型分別計(jì)算出堵頭與圍巖接觸面的摩擦力，擬合出摩擦力關(guān)于不同隨機(jī)變量的單一變化函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過多元素回歸分析，最終得到摩擦力關(guān)于這些隨機(jī)變量的整體顯示表達(dá)式。

對(duì)于Ⅳ級(jí)圍巖，參照相關(guān)資料，得到隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征為表1。改變模型中圍巖材料參數(shù)，對(duì)模型進(jìn)行分析計(jì)算，當(dāng)其中一個(gè)隨機(jī)變量取變值時(shí)，其它變量均取最小值。各隨機(jī)變量取值如表2。

表1 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征Table 1 The statistical characteristics of random variables

表2 隨機(jī)變量取值Table 2 The random variable values

圖2 單一因素作用下接觸面摩擦力的變化Fig. 2 The friction of the contact surface changed with the single factor

經(jīng)過ABAQUS計(jì)算分析，可以得到堵頭與圍巖接觸面上的徑向壓應(yīng)力，乘上相應(yīng)的接觸面積，并沿接觸面積分即得總法向力，那么可以得到接觸面的摩擦力為

Ff=∑σniAif

(4)

式中：f為抗剪斷摩擦系數(shù)。

計(jì)算可得各隨機(jī)變量在單因素變化下的摩擦力，通過ORIJIN8.0對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，如圖2，可以得到摩擦力關(guān)于各隨機(jī)變量的函數(shù)表達(dá)式。

Ff關(guān)于C的函數(shù)為

Ff=131.799-42.968C

(5)

相關(guān)指數(shù)R2=0.984；

Ff關(guān)于φ的函數(shù)為

Ff=142.525-448.583e-0.087 94φ

(6)

相關(guān)指數(shù)R2=0.999；

Ff關(guān)于E的函數(shù)為

Ff=144.603-68.809e-0.000 263E

(7)

相關(guān)指數(shù)R2=1。

在得出堵頭與圍巖接觸面摩擦力與各隨機(jī)變量在單因素變化下的函數(shù)關(guān)系式后，再進(jìn)一步通過多元素回歸分析求出摩擦力關(guān)于3個(gè)隨機(jī)變量的多因素函數(shù)關(guān)系：

Ff=188.197-39.897C+426.409e-0.087 9φ-67.402e-0.000 263E

(8)

相關(guān)指數(shù)R2=0.998。

根據(jù)前面得到的堵頭可靠性功能函數(shù)式(2)，可得堵頭功能函數(shù)顯式表達(dá)式：

g=55.465+1 088.628C+426.409e-0.087 9φ-67.402e-0.000 263E

(9)

2.2 堵頭可靠度指標(biāo)計(jì)算

現(xiàn)階段，用以計(jì)算可靠度的常用方法有一次二階矩法、二次二階矩法、漸進(jìn)積分法、響應(yīng)面法、蒙特卡洛法等多種計(jì)算方法[1]。對(duì)比分析幾種常用的可靠度計(jì)算方法的適用條件和優(yōu)缺點(diǎn)可知，在具體應(yīng)用中，主要是根據(jù)功能函數(shù)是否為線性和其中基本隨機(jī)變量不同的概率分布類型來選用合適的計(jì)算方法。

選取對(duì)水工隧洞堵頭的設(shè)計(jì)影響較大的3個(gè)因素，即圍巖黏聚力、內(nèi)摩擦角、彈性模量作為基本隨機(jī)變量，并假定這3個(gè)隨機(jī)變量均獨(dú)立且服從正態(tài)分布，通過ABAQUS有限元計(jì)算分析可以得到水工隧洞堵頭結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的顯示表達(dá)式，選用設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法進(jìn)行可靠度的計(jì)算。根據(jù)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算原理，編制了計(jì)算堵頭可靠度的MATLAB程序，若以Pf表示水工隧洞堵頭的失效概率，β為堵頭可靠度，二者關(guān)系可由Pf=1-Φ(β)表示。由此可知，在計(jì)算失效概率時(shí)，可通過求解其可靠度來實(shí)現(xiàn)。運(yùn)行計(jì)算程序，可計(jì)算得到該堵頭的可靠指標(biāo)β=6.602 7，失效概率Pf=2.018 5×10-11。

3 水工隧洞堵頭設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化

3.1 目標(biāo)可靠指標(biāo)分析

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，如何考量其可靠程度，或如何確保此結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理有效，存在一些最低標(biāo)準(zhǔn)，其中目標(biāo)可靠指標(biāo)(β0)即是在可靠度中的最低標(biāo)準(zhǔn)。表3為我國建筑工程、港口工程、公路工程和水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)[13-15]。

表3 我國工程結(jié)構(gòu)承載能力極限狀態(tài)設(shè)計(jì)的目標(biāo)可靠度Table 3 The target reliability of the load capacity limiting state of Chinese engineering structure

按照校準(zhǔn)法確定的各結(jié)構(gòu)承載能力極限狀態(tài)設(shè)計(jì)的目標(biāo)可靠指標(biāo)，考慮了結(jié)構(gòu)的破壞類型和安全等級(jí)，脆性破壞構(gòu)件的可靠指標(biāo)要比延性破壞構(gòu)件高0.5。實(shí)際對(duì)于兩相鄰安全等級(jí)的構(gòu)件而言，其可靠性指標(biāo)的差值較小。但是據(jù)此計(jì)算出的失效概率卻相差甚大，有大概一個(gè)數(shù)量級(jí)之差。

國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 2394：1998《結(jié)構(gòu)可靠性總原則》給出了目標(biāo)可靠指標(biāo)的示意值，如表4，可靠性指標(biāo)是根據(jù)抗力服從對(duì)數(shù)或威布爾分布、永久作用服從正態(tài)分布和可變作用服從極值Ⅰ型分布確定的。該標(biāo)準(zhǔn)的建議是：

1)A使用極限狀態(tài)：采用βT=0；對(duì)于不可逆的使用極限狀態(tài)，采用βT=1.5。

2)B疲勞極限狀態(tài)：取決于檢驗(yàn)的可能性，采用βT=2.3～3.1。

3)C承載能力極限狀態(tài)：采用βT=3.1、3.8和4.3。

表4 ISO 2394的目標(biāo)可靠指標(biāo)的示意Table 4 The reliable targets of ISO 2394

3.2 不同長(zhǎng)度堵頭可靠度計(jì)算

參照以上標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)上述堵頭的可靠度計(jì)算結(jié)果，30 m長(zhǎng)度的堵頭趨于保守，不僅延長(zhǎng)了工期，而且還增加了工程造價(jià)，造成不必要的浪費(fèi)。所以需要找到一個(gè)合適的堵頭長(zhǎng)度，既滿足可靠性要求而又經(jīng)濟(jì)合理。因此，改變堵頭的長(zhǎng)度，分別計(jì)算不同長(zhǎng)度下堵頭的可靠性，進(jìn)而找到一個(gè)最合適的長(zhǎng)度值。將堵頭模型長(zhǎng)度分別改為10、15、20、25 m，其它條件不變，依次對(duì)模型進(jìn)行分析計(jì)算，得出各個(gè)長(zhǎng)度堵頭的可靠指標(biāo)及失效概率，計(jì)算結(jié)果如表5。

表5 不同長(zhǎng)度堵頭的可靠指標(biāo)及失效概率Table 5 The reliable index and failure probability of the plug with different length

3.3 堵頭抗滑穩(wěn)定性分析

在上述研究堵頭可靠性的有限元計(jì)算分析中提取出圍巖C、φ、E都取均值時(shí)的計(jì)算結(jié)果，能夠得出沿接觸面的摩擦力Nf，黏結(jié)有效面積系數(shù)取0.6，水壓力為作用于堵頭上的唯一外荷載，故水平方向合力為堵頭上游面的水壓力，據(jù)此可以對(duì)堵頭穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析。利用混凝土重力壩抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算方法，即式(10)計(jì)算不同長(zhǎng)度堵頭相應(yīng)的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)K。

(10)

式中：[K]為允許安全系數(shù)；K為抗剪斷安全系數(shù)；N為滑動(dòng)面法向力，MN；f為抗剪斷摩擦系數(shù)；α為黏結(jié)有效面積系數(shù)；A為有效承剪面面積，m2；C為黏聚力，MPa；∑PH為水平方向合力，MN。

計(jì)算出各長(zhǎng)度堵頭的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)K如表6。

表6 不同長(zhǎng)度堵頭的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)Table 6 The anti-sliding stability safety factor of the plug withdifferent lengths

如按照《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》的規(guī)定，堵頭長(zhǎng)期運(yùn)行時(shí)，永久堵頭在設(shè)計(jì)荷載的作用下K≥3，故只有25 m、30 m長(zhǎng)度的堵頭才滿足穩(wěn)定性要求。

3.4 基于可靠性的堵頭設(shè)計(jì)長(zhǎng)度優(yōu)化分析

從表5中數(shù)據(jù)可知，20 m長(zhǎng)度的堵頭已具有較小的失效概率，可靠度較高，而從堵頭的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)來看，20 m堵頭并不符合穩(wěn)定性要求，考慮到采用重力壩抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)核算方法來計(jì)算堵頭的穩(wěn)定性時(shí)，沒有考慮水壓力作用下堵頭受圍巖的側(cè)向約束的有利影響，計(jì)算比較保守，因此筆者根據(jù)對(duì)不同長(zhǎng)度堵頭可靠性的分析研究得出的結(jié)果，并結(jié)合我國標(biāo)準(zhǔn)和國際標(biāo)準(zhǔn)中的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)建議值，認(rèn)為20 m長(zhǎng)度的堵頭是安全合理的。

4 結(jié) 論

將可靠性理論引入到水工隧洞堵頭的設(shè)計(jì)計(jì)算中，建立基于可靠性理論的堵頭設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化分析方法。

1)通過對(duì)導(dǎo)流洞堵頭極限狀態(tài)的分析，建立極限狀態(tài)方程，并在此基礎(chǔ)上，利用非線性有限元分析軟件ABAQUS建立導(dǎo)流洞堵頭及圍巖的三維有限元計(jì)算模型，在可靠性理論的基礎(chǔ)上建立堵頭力學(xué)性能可靠性的顯式功能函數(shù)，選用設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法編制了計(jì)算堵頭可靠度的MATLAB程序，計(jì)算出設(shè)計(jì)堵頭的可靠指標(biāo)為β=6.602 7，失效概率為Pf=2.018 5×10-11。

2)分析了國內(nèi)外工程結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)該水工隧洞，分別對(duì)長(zhǎng)度為10、15、20、25 m堵頭模型進(jìn)行可靠性分析計(jì)算得到可靠指標(biāo)分別為4.15、5.04、5.7、5.9；再對(duì)各長(zhǎng)度的堵頭進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到相應(yīng)的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)K分別為2.3、2.86、3.41、3.95。綜合考慮堵頭應(yīng)滿足的可靠性和穩(wěn)定性要求，認(rèn)為可將堵頭長(zhǎng)度從30 m優(yōu)化為20 m。