小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)策略

李星云

自新課程改革以來，“統(tǒng)計(jì)與概率”作為小學(xué)數(shù)學(xué)四大教學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域之一，受到廣大教師的關(guān)注。然而，有研究指出，教師對(duì)這一內(nèi)容的教學(xué)還存在一定的困難與不足。[1]因此，厘清小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的價(jià)值內(nèi)涵，分析與把握其教學(xué)內(nèi)容，研究相應(yīng)的教學(xué)策略，就顯得尤為重要。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的價(jià)值內(nèi)涵

（一）有利于發(fā)展學(xué)生的不確定性思維

“統(tǒng)計(jì)與概率”是小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化過程中引進(jìn)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，它有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)在于數(shù)據(jù)的變異性。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象或研究問題具有一定的確定性，在給出問題之后經(jīng)過嚴(yán)密的推理得出相應(yīng)的結(jié)果，主要依靠的是邏輯思維，以演繹的形式展開學(xué)習(xí)。從本質(zhì)上講，“統(tǒng)計(jì)與概率”研究的問題是不確定的，學(xué)生基于收集到的一定數(shù)量的、沒有規(guī)律的數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用處理數(shù)據(jù)，推斷出相應(yīng)的一般性結(jié)果，以歸納的形式進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而掌握蘊(yùn)含在數(shù)據(jù)背后的信息，作出合理的決策。對(duì)于小學(xué)生而言，幫助他們建立起數(shù)據(jù)分析觀念，形成尊重客觀事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度，了解生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，從不確定的角度觀察世界，形成科學(xué)的世界觀和方法論具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。[2]

（二）有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)

“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)涉及數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、處理和分析，由此可見，該領(lǐng)域的學(xué)習(xí)是一個(gè)富有活動(dòng)趣味且充滿挑戰(zhàn)的過程。一方面，有效地收集數(shù)據(jù)、合理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，是對(duì)學(xué)生統(tǒng)籌能力的一種考驗(yàn)，同時(shí)，學(xué)生在參與動(dòng)手、動(dòng)腦活動(dòng)過程中，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、合作交流，獲得成功的樂趣，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)。另一方面，“統(tǒng)計(jì)與概率”雖然是一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域，但其知識(shí)點(diǎn)不是單獨(dú)存在的，而是涵蓋了代數(shù)計(jì)算、推理說明、問題解決以及整數(shù)、分?jǐn)?shù)、比值等知識(shí)，新舊知識(shí)的聯(lián)系、整合，完善了學(xué)生的知識(shí)體系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（三）有利于學(xué)生應(yīng)對(duì)信息化時(shí)代

在以數(shù)據(jù)為特征的信息化時(shí)代中，人們的生活時(shí)刻充斥著各種各樣的數(shù)據(jù)，無論是從社會(huì)生產(chǎn)總值到投資評(píng)估、天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)測(cè)，還是從人口預(yù)測(cè)到醫(yī)療投放、教育投資，統(tǒng)計(jì)存在于經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生產(chǎn)生活的各個(gè)方面。由于數(shù)據(jù)本身是一種量化的結(jié)果，具有較強(qiáng)的說服力，因此十分方便人們掌握和分析。在調(diào)查中，人們需要從繁雜的信息中收集、整理和提取有用的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)果作出判斷和決策?？梢姡敖y(tǒng)計(jì)與概率”所承載的信息素養(yǎng)是每一個(gè)公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素質(zhì)，更是學(xué)生未來工作和生活不可或缺的能力。作為小學(xué)數(shù)學(xué)四大教學(xué)內(nèi)容之一的“統(tǒng)計(jì)與概率”，其改革與發(fā)展的軌跡適應(yīng)了時(shí)代特征，凸顯了課程價(jià)值，是義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生成為合格公民和有用人才的重要指標(biāo)之一。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容解析

課程標(biāo)準(zhǔn)作為國(guó)家制定學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的指導(dǎo)性文件，是編寫教材、設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)及課程評(píng)估的重要依據(jù)，是國(guó)家對(duì)基礎(chǔ)教育課程進(jìn)行管理和評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。只有正確理解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要義，才能使教材的解讀和教學(xué)的實(shí)施不至于偏離軌道。

（一）核心概念的完善

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將“統(tǒng)計(jì)觀念”拓展為“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊的核心概念，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把核心詞“統(tǒng)計(jì)觀念”更改為“數(shù)據(jù)分析觀念”，并闡釋其內(nèi)涵，同時(shí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的3個(gè)方面作出規(guī)定：一是從過程性的角度，強(qiáng)調(diào)學(xué)生要在調(diào)查、收集和整理數(shù)據(jù)的過程中發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；二是從方法性的角度，要求學(xué)生在面對(duì)不同問題背景時(shí)，能夠選擇相應(yīng)的、恰當(dāng)?shù)摹⒑侠淼姆椒ǚ治鰯?shù)據(jù)；三是從感悟性的角度，讓學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)、體會(huì)數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性的特點(diǎn)，通過大量的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)足夠多的數(shù)據(jù)又具有一定規(guī)律性的特點(diǎn)。數(shù)據(jù)分析是“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的核心概念，不僅強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)意識(shí)和方法選擇，還注重通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。

（二）教學(xué)內(nèi)容的梳理

“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容分布于第一學(xué)段和第二學(xué)段。第一學(xué)段涉及數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單分類與整理，要求學(xué)生能夠根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，初步了解收集數(shù)據(jù)和整理數(shù)據(jù)的方法。這要求教師注重在計(jì)數(shù)活動(dòng)中讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的過程，為學(xué)生創(chuàng)造收集數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì)，創(chuàng)設(shè)整理數(shù)據(jù)的情境，在動(dòng)手操作中滲透數(shù)據(jù)分析觀念，培養(yǎng)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)的角度思考問題的意識(shí)。第二學(xué)段主要涉及簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程和隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性兩部分內(nèi)容。在統(tǒng)計(jì)方面，要求學(xué)生能夠依據(jù)問題情境設(shè)計(jì)調(diào)查表，按要求收集數(shù)據(jù)并依據(jù)符合實(shí)際需要的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，選用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，再依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。與第一學(xué)段相比，第二學(xué)段側(cè)重?cái)?shù)據(jù)的描述，要求教師立足學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)需要選用直觀的統(tǒng)計(jì)圖表示物體。在概率方面，要求學(xué)生感受隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的不確定性，能夠定性描述隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小。對(duì)此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生做一些能夠呈現(xiàn)不同結(jié)果的游戲或?qū)嶒?yàn)，加深學(xué)生對(duì)可能性的感受。

（三）教材內(nèi)容的安排

以人教版和蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，筆者對(duì)兩個(gè)版本數(shù)學(xué)教材中的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的分布情況進(jìn)行了梳理，見表1、表2。

首先，兩個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容安排上略有不同。以數(shù)據(jù)的收集與整理為例，人教版數(shù)學(xué)教材主要安排在一年級(jí)、二年級(jí)，而蘇教版數(shù)學(xué)教材則安排在整個(gè)第一學(xué)段。

其次，兩個(gè)版本數(shù)學(xué)教材內(nèi)容主要集中在數(shù)據(jù)整理、統(tǒng)計(jì)圖表、平均數(shù)和可能性4個(gè)方面，這主要是因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫依據(jù)是課標(biāo)。

最后，兩個(gè)版本數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容安排順序基本一致，比如：數(shù)據(jù)的收集與整理放在最前面，之后是統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖、可能性，最后是折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖。綜上所述，雖然兩個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容安排上有一些差異，但從總體上來說，在教材內(nèi)容及其安排順序上具有相當(dāng)?shù)囊恢滦浴?/p>

三、小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)策略

根據(jù)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的分布情況，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)時(shí)可以以第二學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容為藍(lán)本，探討統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)以及可能性的教學(xué)策略。

（一）關(guān)于統(tǒng)計(jì)圖的教學(xué)策略

在描述數(shù)據(jù)的方法上，小學(xué)階段介紹了條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖3種，教學(xué)目標(biāo)主要是讓學(xué)生了解各種統(tǒng)計(jì)圖的特征，能夠用合適的統(tǒng)計(jì)圖直觀有效地表示數(shù)據(jù)。在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以采用“發(fā)現(xiàn)法”進(jìn)行教學(xué)，通過設(shè)置問題情境引發(fā)學(xué)生的思維沖突，促使學(xué)生主動(dòng)思考，在嘗試解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)各種統(tǒng)計(jì)圖的特征和意義，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

以教學(xué)復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖為例，要讓學(xué)生明白復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖既能夠清楚地看出數(shù)量的多少、又便于將兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，教師可以拋出如下問題：小紅、小明、小剛、小方的數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)分別為85分、90分、95分、80分，期末考試成績(jī)分別為80分、95分、95分、90分，你會(huì)設(shè)計(jì)什么樣的統(tǒng)計(jì)圖來表示這些數(shù)據(jù)呢？在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了條形統(tǒng)計(jì)圖，勢(shì)必會(huì)畫出兩幅條形統(tǒng)計(jì)圖分別表示4名學(xué)生的期中考試成績(jī)和期末考試成績(jī)（如圖1、圖2）。對(duì)此，教師可以繼續(xù)提問：從兩幅統(tǒng)計(jì)圖中，你可以知道哪些學(xué)生的成績(jī)進(jìn)步了、哪些學(xué)生的成績(jī)退步了嗎？如果不看分?jǐn)?shù)，只看圖，你知道這4名學(xué)生的成績(jī)是進(jìn)步了還是退步了嗎？學(xué)生在對(duì)比兩幅條形統(tǒng)計(jì)圖后感覺比較繁瑣，如此一來，從條形統(tǒng)計(jì)圖過渡到復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)便水到渠成了。

除了描述數(shù)據(jù)，讀圖能力也是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。學(xué)生既要讀懂統(tǒng)計(jì)圖中能夠直接看到的信息，又要讀懂蘊(yùn)含在統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)信息。培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，設(shè)置教學(xué)情境是關(guān)鍵，精巧的教學(xué)情境能夠啟發(fā)學(xué)生的思考，豐富學(xué)生的聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索。

教師在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)，一要做到真實(shí)，二要做到連貫，比如可以設(shè)計(jì)“學(xué)生喜愛的課外書”“班上同學(xué)參加興趣班的種類”“近視的度數(shù)統(tǒng)計(jì)”“奧運(yùn)會(huì)中各國(guó)獲得獎(jiǎng)牌的數(shù)量”等情境。此外，設(shè)計(jì)的情境要貼近學(xué)生的生活，符合現(xiàn)實(shí)邏輯，具有探究?jī)r(jià)值，同時(shí)注意情境的連貫。只有這樣，才有助于學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程。

學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖比較困難的是預(yù)測(cè)趨勢(shì)，有的教師簡(jiǎn)單地將預(yù)測(cè)趨勢(shì)等同于找規(guī)律，忽略了學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)的規(guī)范性，比如用“估計(jì)”這樣的詞語(yǔ)表達(dá)，沒有確定的語(yǔ)句等。對(duì)于學(xué)生覺得有困難的地方，教師可以選擇小組合作探究的方式，讓學(xué)生在交流討論中突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

（二）關(guān)于平均數(shù)的教學(xué)策略

《標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于“平均數(shù)”的整體教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生在體會(huì)平均數(shù)作用的基礎(chǔ)上，能計(jì)算平均數(shù)，并能用自己的語(yǔ)言解釋平均數(shù)的實(shí)際意義。[3]然而在實(shí)際教學(xué)中，許多教師把時(shí)間和精力放在如何計(jì)算平均數(shù)上，忽略了平均數(shù)的作用和意義。事實(shí)上，平均數(shù)的計(jì)算方法不是難點(diǎn)，只要通過典型的、變式的練習(xí)，學(xué)生就可以全面掌握。為了平衡教學(xué)目標(biāo)，教師應(yīng)當(dāng)將教學(xué)重點(diǎn)放在讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)的作用和意義上。

首先，通過概念區(qū)分了解平均數(shù)的內(nèi)涵。人教版或蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在介紹平均數(shù)時(shí)，都是先呈現(xiàn)兩組個(gè)數(shù)不同的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生比較兩組數(shù)據(jù)的大小，接著利用條形圖長(zhǎng)短的直觀性特點(diǎn)，通過“移多補(bǔ)少”的方法來理解平均數(shù)的屬性，最后引出計(jì)算平均數(shù)的方法。值得注意的是，“移多補(bǔ)少”的方法可能會(huì)使學(xué)生將“平均數(shù)”與“平均分”的概念相混淆，教師需要強(qiáng)調(diào)兩者意義上的區(qū)別：“平均分”是將某種事物平均分配，每個(gè)部分實(shí)際能夠得到的數(shù)量，而“平均數(shù)”是一個(gè)計(jì)算的結(jié)果，是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，它不一定是每個(gè)部分實(shí)際的數(shù)量。

其次，利用極值思維體會(huì)平均數(shù)的作用。平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)。在解決問題時(shí)，教師要讓學(xué)生了解極值對(duì)平均數(shù)的影響，認(rèn)識(shí)平均數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)平均數(shù)的作用。例如，4名學(xué)生參加踢毽子比賽，1分鐘內(nèi)平均踢了20下，其中，涵涵踢了22下，萍萍踢了28下，川川踢了14下，先估計(jì)西西踢了幾下，比平均數(shù)多還是少？再計(jì)算，你估計(jì)得準(zhǔn)確嗎？在不計(jì)算的情況下，學(xué)生要根據(jù)數(shù)據(jù)直接估計(jì)西西踢毽子的個(gè)數(shù)，就必須清楚地知道平均數(shù)的性質(zhì)，22和28高于平均數(shù)，20是由這兩個(gè)大于20的數(shù)補(bǔ)給小于20的數(shù)得到的，西西踢的個(gè)數(shù)比平均數(shù)少。在這4個(gè)數(shù)中，所有比平均數(shù)大的數(shù)減去平均數(shù)得到的差的總和，等于平均數(shù)減去所有比平均數(shù)小的數(shù)得到的差的總和，即（22-20）+（28-20）=10，（20-14）+4=10，20-4=16，西西踢了16下。這是平均數(shù)的性質(zhì)，理解了這個(gè)性質(zhì)，也就不難理解平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的特征而非一個(gè)數(shù)的特征了。

最后，設(shè)置具體情境解釋平均數(shù)的意義?！捌骄鶖?shù)”這個(gè)概念的抽象性體現(xiàn)在學(xué)生難以確定其外延，對(duì)此，教師可以根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)引入現(xiàn)實(shí)情境。比如，在平均水深1.2米的游泳池，身高1.3米的琪琪在池中游泳，會(huì)不會(huì)有危險(xiǎn)？為什么？在這樣的生活情境中，學(xué)生在解釋1.2米的意義的同時(shí)，也深化了對(duì)平均數(shù)意義的理解。

（三）關(guān)于可能性的教學(xué)策略

概率問題主要涉及樣本和總體的關(guān)系，對(duì)于小學(xué)生而言，了解隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性，其結(jié)果表現(xiàn)為能夠感受到具體情境中的隨機(jī)現(xiàn)象，并且能夠量化描述不確定現(xiàn)象發(fā)生的可能性的大小。

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的感受，學(xué)生此前對(duì)這部分知識(shí)沒有相關(guān)認(rèn)知基礎(chǔ)，需要教師輔以生動(dòng)形象的活動(dòng)進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于可能性的教學(xué)游戲有很多，如拋硬幣、摸球、抽卡片、擲骰子、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤等，可供教師選擇的游戲種類豐富多樣。但是，有的教師過分注重游戲形式，出現(xiàn)堆砌游戲、刻意加快教學(xué)節(jié)奏的現(xiàn)象，使課堂教學(xué)看起來華而不實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生沒有真正理解可能性的相關(guān)知識(shí)，因此，教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)合理地選擇游戲活動(dòng)。以摸球游戲?yàn)槔永镉?個(gè)紅球、6個(gè)白球，任意摸一個(gè)球，可能是什么顏色？摸到哪種顏色的球的可能性大？菲菲每摸完一次球都放回袋子里，摸了10次都是白球，可能嗎？摸到黃球可能嗎？學(xué)生通過猜想、推測(cè)，在游戲中進(jìn)行驗(yàn)證，能夠更好地體會(huì)事件發(fā)生的可能性。

對(duì)于可能性大小的估計(jì)，學(xué)生首先要能夠比較同一隨機(jī)事件中各種情況出現(xiàn)的可能性，比如向上拋出一枚硬幣，正面朝上可以獲得獎(jiǎng)品，擲一個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)6朝上可以獲得獎(jiǎng)品，請(qǐng)問哪一種游戲獲得獎(jiǎng)品的可能性大？拋硬幣時(shí)正面朝上或反面朝上的可能性相等，為二分之一，而骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)6朝上的可能性是六分之一，因此，拋硬幣獲得獎(jiǎng)品的可能性更大。其次，學(xué)生要能夠從大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性，估計(jì)可能性大小，體會(huì)頻率與概率之間的關(guān)系。例如，袋子里有大小相同的紅球和白球共10個(gè)，通過摸球，估一估紅球的數(shù)量多還是白球的數(shù)量多？猜一猜紅球和白球各有多少個(gè)？在游戲過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、動(dòng)手、思考、檢驗(yàn)，探索新知，積累知識(shí)，重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)生活中隨機(jī)現(xiàn)象的可能性做出正確判斷的能力。

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[3]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6.

（責(zé)編 歐孔群）