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哈爾濱工業(yè)大學 先進動力研究所 哈爾濱 150001

地球重力場研究歷來是大地測量學領域的核心任務之一。隨著對空間科學任務的迅猛發(fā)展及探索任務的深入，對航天器試驗環(huán)境要求也在不斷提高，航天器受到的殘余擾動必須盡可能減小。衛(wèi)星在太空中運行時會受到各種的干擾力和力矩，其中對于低軌衛(wèi)星來說，運行中的大氣阻力(drag force)是最主要的干擾力。為即時補償衛(wèi)星受到的大氣阻力，國外學者通過加入控制系統(tǒng)產生相應大小的推力來進行抵消。這種衛(wèi)星稱為無拖曳衛(wèi)星[1](drag-free satellite)，同樣的該控制系統(tǒng)稱為無拖曳控制系統(tǒng)。目前發(fā)射成功的用于重力場探測的無拖曳衛(wèi)星有ESA的GOCE，其于2009年3月17日發(fā)射成功，預估可達到全球大地水準面精度達到1 cm、重力異常的精度達到1～2 m/s2的目標[2]。

無拖曳控制技術起源于20世紀60年代，最初只是應用在基礎物理研究上，到1959年George Pugh[3]創(chuàng)新性地提出可以將無拖曳控制方案和衛(wèi)星軌道控制聯(lián)系起來。1964年，B Lange推導出9自由度的無拖曳衛(wèi)星運動方程[4]，并研究了無拖曳衛(wèi)星的動力學和控制技術，從此無拖曳衛(wèi)星的研究進入了一個新的時期。現(xiàn)在的無拖曳衛(wèi)星已經(jīng)發(fā)展到了第二代，為了提高系統(tǒng)的整體性能，內部的檢測質量數(shù)目也不再限于一個[5]。

在控制策略上，PID和LQR方法經(jīng)常被用來估算無拖曳控制的基本性能及設計初步的算法[6]。

由于無拖曳控制阻力補償要求控制系統(tǒng)具有快速響應，寬范圍、高分辨率推力調節(jié)和低推力噪聲的特點，因此傳統(tǒng)的化學發(fā)動機無法滿足要求。針對此任務需求，會切場推力器(HEMPT)是目前國際涌現(xiàn)出的一類以霍爾推力器為基礎發(fā)展起來的新型電推進系統(tǒng)，其工作原理如圖1所示，靠電磁場的約束來加速離子從而獲得推力[7]。我們設計的會切場推力器目前已進行大量數(shù)值仿真及性能試驗驗證，證明其具有3個數(shù)量級連續(xù)變化，有望應用在以后的重力場探測任務中。

圖1 會切場推力器結構原理Fig.1 Illustrative diagram of HEMPT

本文構建出衛(wèi)星運行時的無拖曳控制的物理問題，并且應用相應的控制方法進行了建模，并對理想狀況與考慮實際條件下的運行結果進行了分析。在建模過程中使用遺傳算法對PID參數(shù)進行篩選以增強整體的控制精度。

1 無拖曳衛(wèi)星動力學模型

1.1 建立空間坐標系

圖2 GCI和NTW坐標框架Fig.2 GCI and NTW coordinate frame

對采用無拖曳控制的衛(wèi)星進行建模，首先應該考慮的是其所在的坐標系。本文無拖曳衛(wèi)星建模所用到的坐標系有2個，分別為是慣性地心中心(GCI)和衛(wèi)星為中心的旋轉框架(NTW)，如圖2所示。其中GCI參考系用于定義運動方程，輸入到控制律中的狀態(tài)誤差和計算的推力加速度。NTW框架的原點位于質心，T方向為質心前進方向；W方向為軌道角動量方向；N方向與T、W滿足右手定理，該坐標系用來求取該坐標系下推力器的推力值。

1.2 無拖曳控制軌道模型

衛(wèi)星內部的檢測質量在運行過程中受到萬有引力和地球非球形攝動的影響, 非球形攝動是由于地球并不是一個標準的球形，而且內部的密度分布也不均勻。檢測質量運行過程中的加速度表達式為：

(1)

檢測質量外部的近地衛(wèi)星在太空運行中會受到萬有引力、地球非球形攝動、大氣阻力以及來自自身推力器的推力。衛(wèi)星運行過程中的加速度表達式為：

(2)

二者的加速度差值為：

(3)

1.3 無拖曳控制阻力模型

低軌衛(wèi)星在運行過程中主要受到大氣阻力的影響，大氣阻力的表達式為：

(4)

式中：Cd為大氣阻力系數(shù)；A為衛(wèi)星迎流面面積；ρ(t)為衛(wèi)星所在高度的大氣密度；vc(t)為衛(wèi)星相對于大氣的速度；m(t)為衛(wèi)星的總質量。

此處定義阻力系數(shù)c(t)：

(5)

(6)

1.4 無拖曳大氣阻力模型

在使用MATLAB編寫程序求阻力加速度對于大氣密度可以基于衛(wèi)星實時的高度和位移運用4階插值法進行求值。即使用MSISE-90模型。

1.5 無拖曳控制建模中的不確定性變量

在研究中，可以假設衛(wèi)星的位置rc(t)和速度vc(t)，每10 s從全球定位系統(tǒng)(GPS)中獲得。假設位置信息可以精確到±50 m，衛(wèi)星的運行速度可以精確到±10 cm/s。所以衛(wèi)星的實時位置rm(t)和速度vm(t)與GPS得到的數(shù)據(jù)有一定的誤差?？梢蕴砑右粋€隨機誤差到實際狀態(tài)中來模擬這些量：

(7)

不確定性向量εpos和εvel由假定的最大不確定性值乘以區(qū)間[-1 1]上的隨機數(shù)向量。這兩個量在GPS位移和速度向量更新的時候同時更新。

這里用Δrm(t)來表示衛(wèi)星質心和衛(wèi)星內部檢測質量質心的位移誤差矢量。假設可以精確到±5 nm。可以通過計算衛(wèi)星位移矢量和檢測質量的位移矢量的差來建立這個模型，并且以類似衛(wèi)星位移和速度的方式將不確定性添加到其中，即得到：

Δrm(t)=Δr(t)+εΔr(t)=

[rc(t)-rt(t)]+εΔr(t)

(8)

假設GPS交付Δrm(t)的速率大約為1.9 Hz，這與計算機的采樣頻率一致。所以rm(t)、vm(t)和Δrm(t)可以同時被發(fā)送到控制器。在模擬最開始的時候，假定衛(wèi)星的位移誤差設置為最大不確定度5 nm。初始速度誤差假定為零，這是因為確保檢測檢測質量在實際任務開始時開始數(shù)據(jù)收集。

1.6 無拖曳控制器設計

由上面的推導過程，得到現(xiàn)在的組合公式:

(9)

采用局部線性反饋來消去式(9)中的非線性項，出于簡便性考慮，采用PID控制來實現(xiàn)，使用已知的衛(wèi)星和參考質量的狀態(tài)矢量估算推力，使推力器加速度的估算復雜程度變得最小。其中PID控制參數(shù)可通過遺傳算法進行篩選，這將在下一節(jié)講述其原理。則該控制律可以寫為：

(10)

(11)

因此，狀態(tài)誤差方程可以改寫為一個矢量二階系統(tǒng)：

(12)

(13)

在實際當中，衛(wèi)星位移與參考質量位移可通過GPS衛(wèi)星獲取，相對位移可以通過內部的電容傳感器得到，但是相對速度無法測得，可以通過二階插值型求導公式求得：

(14)

由以上分析根據(jù)可用量現(xiàn)在可列出控制律方程：

(15)

適應增益Γ由系統(tǒng)自身迭代得到，二階增益γ選擇下式的下限:

(16)

在建立模型仿真時，取N方向推力分辨率為1 μN，T主推力方向分辨率100 μN，W方向推力分辨率10 μN。

2 基于遺傳算法的無拖曳控制器參數(shù)優(yōu)化

2.1 遺傳算法簡介

遺傳算法(genetic algorithm)[8]遵循“適者生存”、“ 優(yōu)勝劣汰”的原則，是一類借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制的隨機化搜索算法。在每次迭代中都保留一組候選個體，重復此過程，種群經(jīng)過若干代進化后，理想情況下其適應度達到近似最優(yōu)的狀態(tài)。遺傳算法是對整個集體開始搜索，而不是針對單一的個體。

2.2 編碼與解碼

采用二進制編碼對函數(shù)進行求解，使KP和KD保留小數(shù)點后4位，劃定初始范圍為[0 4]，則需要將解劃分為40 000個單位，即需要16位二進制來代表這些解。一開始這些二進制串是隨機產生的，在一定的迭代之后恢復至十進制表示。

2.3 適應度函數(shù)和遺傳進化

適應度函數(shù)評價了遺傳算法中個體的好壞。在本文中使衛(wèi)星和檢測質量之間的位移誤差最小，選取單次迭代產生的所有位移誤差的均方差作為目標函數(shù)。

初始值并不一定哪個優(yōu)秀，需要通過不斷的進化，淘汰差的個體保留相對優(yōu)秀的個體，并在優(yōu)秀的個體之間進行交叉，有些個體還會發(fā)生變異。種群的每一次進化都會產生最優(yōu)個體，所有世代的最優(yōu)個體就是需要的最終最優(yōu)解。

進化過程包括選擇、交叉、變異3個操作[9]。選擇操作是從前代種群中選擇個體到下一代種群的過程。選擇操作前，將種群中個體按照適應度從小到大進行排列，然后采用輪盤賭的方法進行選擇，適應度越高被選中的可能性越大。交叉操作是母代編碼按照交叉概率交換部分編碼數(shù)字。變異操作是編碼串按照變異概率進行的變異。

遺傳算法認為交叉操作很有可能產生優(yōu)秀的個體，變異操作產生優(yōu)秀個體的概率極低，但不能排除這種可能性。在仿真操作時可以設置兩種操作的概率，在本次仿真時設定交叉概率為0.6，變異概率為0.01。

在進行選擇、交叉和變異操作后要對產生的新的個體進行檢驗是否超出可測量的范圍，若沒有超出則繼續(xù)進行循環(huán)，進行適應度排序。

在最開始進行遺傳算法優(yōu)化的時候設定了最大迭代次數(shù)，到達最大次數(shù)后會停止迭代，輸出最終結果。

2.4 遺傳算法的優(yōu)化流程

由以上分析可畫出遺傳算法的流程，如圖3所示。

圖3 遺傳算法流程Fig.3 Genetic algorithm flow chart

3 無拖曳控制仿真結果分析

3.1 無拖曳控制模型推力分析

這里將分析模型的推力，并對加入遺傳算法前后的推力值進行對比。

(1)加入遺傳算法前的推力分析

圖4為在250 km軌道運動一個周期所輸出的NTW坐標系下的推力變化。由圖4可以看出，無拖曳控制系統(tǒng)輸出的最大推力是在衛(wèi)星的運動方向，推力范圍是5.6～11.0 mN。針對該無拖曳任務所研制的會切場推力器所要求覆蓋的推力范圍是 1～15 mN，避免了推力指令超出范圍，使參考質量與防護罩碰撞，從而使控制器失控的現(xiàn)象。

理論上N方向的推力應該為0，并且應該由于初始的位移差推力在0附近波動。而W方向的推力一個周期內變動兩次(-0.49～0.69 mN)，并且正方向推力較大，這是由于地球自轉引起的大氣旋轉相對于衛(wèi)星有一定的速度，因此在由北向南運動過程中需要施加一個使軌道偏向于赤道的力抵消，在由南向北的運動過程中需要施加一個使軌道偏向于極地的力來抵消掉。

圖5為在250 km軌道運動一個周期所受到的NTW坐標系下的阻力變化。圖6為NTW坐標系下3個方向上的推力阻力和。

加入推力對阻力進行修正后的3個方向的力大小如表1所示。在主推力方向和W方向衛(wèi)星受到的力已經(jīng)大大減小。N方向變化不大，但是N方向的力相對另外兩個方向較小，可以接受。

圖4 NTW坐標中3個方向的推力值Fig.4 NTW coordinates in three directions thrust value

圖5 NTW坐標中3個方向的阻力值Fig.5 NTW coordinates in three directions of the resistance value

圖6 NTW坐標中3個方向的推力阻力和Fig.6 Sum of thrust and resistance in three directions of NTW coordinates

項目N方向/μNT方向/mNW方向/mN最小值-105.6239-0.5163-0.0922最大值106.53950.50540.0873

(2)加入遺傳算法優(yōu)化后的推力分析

加入遺傳算法后的結果如圖7～圖9所示。

將兩組波形進行對比，推力和推力阻力和均有較大提升。

可通過推力阻力和在3個方向上的極大值來對比加入遺傳算法前后的變化，如表2所示。

圖7 加入遺傳算法后NTW坐標中3個方向的推力值Fig.7 Thrust values of NTW coordinates in three directions after adding genetic algorithm

圖8 加入遺傳算法后NTW坐標中3個方向的阻力值Fig.8 NTW coordinates in three directions of the resistance value after adding genetic algorithm

圖9 加入遺傳算法后NTW坐標中3個方向的推力阻力和Fig.9 Sum of thrust and resistance in three directions of NTW coordinates after adding genetic algorithm

項目N方向/μNT方向/mNW方向/mN優(yōu)化前106.53950.51630.0922優(yōu)化后17.78370.35520.0287

由表2可以看出優(yōu)化后的推力阻力和在N和W方向上有了較大的提升，T方向有大幅度的提升。這表明加入遺傳算法優(yōu)化后推力可以更好的抵消阻力的影響。

3.2 無拖曳控制模型的誤差分析

這里將對無拖曳模型的阻力以及速度和位移誤差進行分析，并將加入遺傳算法前后的結果進行對比。

(1)加入遺傳算法前的誤差分析

在衛(wèi)星運動方向上控制律估算的阻力系數(shù)和實際阻力系數(shù)隨軌道周期的變化及二者的系數(shù)差比值比如圖10所示。由圖可看出阻力系數(shù)估計值和理論值趨勢一致，阻力系數(shù)差最大值僅為0.049 6%，差值相當小。

圖10 阻力系數(shù)估計值和理論值及差值Fig.10 Resistance coefficient estimates and theoretical values and their Differences

圖11和圖12分別顯示了衛(wèi)星和參考質量之間的位移和速度誤差，兩種誤差的量級在N方向和W方向上都是幾十納米，在主推力方向上是幾百納米(誤差的極大值如表3所示)，均是較高的控制精度，誤差都是在0附近往復波動，是控制器控制推力的結果。主推力方向上量級較大，主要是由于密度的迅速變化引起推力的變化，而推力器由于分辨率限制不能及時反映這種變化引起的，運動方向上在地球兩極和赤道上存在位移和速度誤差的極小值。

圖11 NTW坐標系下3個方向的位移誤差Fig.11 State errors in the three directions of the NTW coordinate system

圖12 NTW坐標系下3個方向的速度誤差Fig.12 Velocity errors in the three directions of the NTW coordinate system

方向位移誤差/nm速度誤差/(nm·s-1)N23.396548.7837T710.2063836.2154W49.089655.0877

(2)加入遺傳算法后的誤差分析

加入遺傳算法后的誤差分析如圖13～圖15所示。

圖13 加入遺傳算法后阻力系數(shù)估計值和理論值及差值Fig.13 Resistance coefficient estimates and theoretical values and their differences after adding genetic algorithm

圖14 加入遺傳算法后3個方向的位移誤差Fig.14 State errors in the three directions of the NTW coordinate system after adding genetic algorithm

在可以滿足其精度的基礎上加入的遺傳算法優(yōu)化后得到這些結果。優(yōu)化后阻力系數(shù)差極大值為0.027 4%，相對優(yōu)化前的0.049 6%已經(jīng)有了較大的提升。

由表4、表5可以看出加入遺傳算法后的位移和速度誤差極大值均有所改善，但是在速度誤差方面N方向沒有什么變化，但是整體上可以更好的滿足無拖曳控制精度。

3.3 PID參數(shù)優(yōu)化對無拖曳控制系統(tǒng)影響

在第2節(jié)得到的無拖曳控制系統(tǒng)模型，采用了簡單的KP和KD估計值 ，僅僅是猜測值，具有一定的魯棒性。但是只能適用于滿足經(jīng)驗公式條件的對象 ,只利用了較少的系統(tǒng)動態(tài)特性信息 , 所以得到的控制器性能也是很局限的。在使用遺傳算法優(yōu)化之前的KP=0.476 1，KD=0.966 0。遺傳算法優(yōu)化后的KP=0.876 3，KD=1.542 3。

圖15 加入遺傳算法后3個方向的速度誤差Fig.15 Velocity errors in the three directions of the NTW coordinate system after adding genetic algorithm

表4 加入遺傳算法前后位移誤差極大值

表5加入遺傳算法前后速度誤差極大值

Table 5 The maximum of the velocity errors before and after adding genetic algorithm nm/s

控制系統(tǒng)框圖如圖16所示。

PID控制中P為比例部分，在本模型中對于控制系統(tǒng)，當傳感器將航天器軌跡傳遞至檢測質量軌跡處求差，得到兩者之間的誤差值。比例控制將誤差等比例的傳遞給控制器進行相應大小的推力調節(jié)。優(yōu)化前的KP參數(shù)過小，使調節(jié)的力度過小，不能很好的改正誤差，系統(tǒng)輸出量變化緩慢，調節(jié)所需的總時間過長。增大比例系數(shù)使系統(tǒng)反應靈敏，調節(jié)速度加快，并且可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是過大的比例系數(shù)也會導致系統(tǒng)產生震蕩。

D為微分部分。衛(wèi)星和檢測質量之間誤差的微分即為誤差的變化速率，誤差變化越快，其微分絕對值越大。由于誤差傳遞至航天器進行推力變換具有一定的延時，而在延時時間內比例控制對系統(tǒng)的改進很可能會產生超調。因此微分作用可以抵消滯后因素的影響。適當?shù)奈⒎挚刂谱饔每梢允钩{量減小，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。優(yōu)化前的微分作用偏小，且現(xiàn)在增大了比例參數(shù)，故微分部分參數(shù)也應增大。但是微分參數(shù)過大又會使誤差快速變化時，出現(xiàn)毛刺。

故根據(jù)遺傳算法優(yōu)化出合適的KP和KD使衛(wèi)星和檢測質量之間的誤差最小。

圖16 無拖曳控制系統(tǒng)框圖Fig.16 Drag-free control system block diagram

4 結束語

本文針對GOCE衛(wèi)星運行過程建立了一個無拖曳控制模型，在計算精度可以保證的基礎上，出于簡便性考慮優(yōu)先采用PID控制增強其精度，并運用遺傳算法對PID參數(shù)進行優(yōu)化，最終得到較為精確的結果。

無拖曳控制系統(tǒng)與電推力器的綜合設計在GOCE衛(wèi)星軌道的精確運行過程中將會起到?jīng)Q定性的作用。然而，目前國內并沒有成功的采用電推進的重力測量衛(wèi)星。將會切場推力器作為無拖曳控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構，不僅可以解決無拖曳飛行時寬范圍、高精度的推力調節(jié)問題，還可以充分發(fā)揮會切場電推力器低腐蝕、長壽命的性能優(yōu)勢，為將來無拖曳衛(wèi)星真正上天運行時推力器的選擇有極大的參考意義。