陳穎穎

華中師范大學(xué)碩士論文《數(shù)學(xué)開(kāi)放題與學(xué)生創(chuàng)造性思維培養(yǎng)》（夏婧，2006）的第23頁(yè)有以下一段文字：

例6 五個(gè)自然數(shù)，它們的和等于它們的積，求此五數(shù).

對(duì)于這樣的問(wèn)題，如盲目猜想或者利用不定方程組來(lái)解就會(huì)多走彎路.但是通常按運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，五個(gè)自然數(shù)的積一般總大于它們的和.要使兩者相等就必須縮小積的值，即多用幾個(gè)較小的數(shù)，如1，2，3等.這個(gè)想法就是一種最簡(jiǎn)單的直覺(jué)，它來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，而在腦際迅速閃現(xiàn)并指示了解題的方向.

上題僅有兩解，而有些題目的解是多個(gè)，課上有時(shí)無(wú)法解決，這時(shí)可以讓學(xué)生課外思考，有時(shí)可獲得出乎意料的妙解.

這篇論文（以下簡(jiǎn)稱“夏文”）中斷定“上題僅有兩解”，事實(shí)上，我們不難驗(yàn)證以下4組數(shù)都是本題的解：（o，0，0，0，0）、（1，1，2，2，2）、（1，1，1，2，5）、（1，1，1，3，3）.

即使排除第一個(gè)全為0的這個(gè)平凡解，本題也有3組非零解.所以，夏文的這一論斷是錯(cuò)誤的.下面我們用3種策略來(lái)證明本題只有這4個(gè)解.

命題1 和與積相等的五個(gè)自然數(shù)，若不全為0，則全不為0.

當(dāng)其中有0時(shí)，所得積必為0，若此時(shí)不全為0，所得和大于o.和與積不可能相等.所以，若不全為0，則全不為0.

之后就可只討論本題的非零解，所以以下我們假設(shè)5個(gè)數(shù)均為正整數(shù).

策略一：縮小范圍，暴力破解

我們首先想到的解題思路，就是利用編程一一枚舉檢驗(yàn)，但這個(gè)簡(jiǎn)單粗暴的方法也面臨一個(gè)問(wèn)題：我們應(yīng)該在怎樣的一個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行枚舉檢驗(yàn)？這就需要首先知道五個(gè)數(shù)的取值范圍.為此，我們從尋找“五數(shù)應(yīng)該具備哪些性質(zhì)？”這個(gè)問(wèn)題人手.

據(jù)以上5個(gè)命題，我們已經(jīng)把五個(gè)數(shù)限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)，可以在此范圍內(nèi)進(jìn)行一一驗(yàn)證，至多進(jìn)行4×3×4=48次試驗(yàn)就可得出本題的所有解（排除交換重復(fù)的情況，實(shí)際試驗(yàn)次數(shù)將更少）.

當(dāng)然，我們也可利用框中的BASIC程序驗(yàn)證知，本文開(kāi)頭所列舉的是本題的所有解.

策略二：代數(shù)變形，分類討論

至此，我們基本解決了本文開(kāi)頭提出的問(wèn)題.但我還不太滿意（就像四色問(wèn)題雖然已經(jīng)借助計(jì)算機(jī)得以證明，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诶^續(xù)努力尋找其他證法）：如果不借助編程，驗(yàn)證的工作還是比較繁瑣的.有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的方法呢？

策略三：順藤摸瓜，另辟蹊徑

以上，我們已經(jīng)獲得了不借助編程的純?nèi)斯そ夥?，而反思命題2的證明，我們想到了“如果有3個(gè)數(shù)大于1會(huì)怎樣？”，對(duì)這個(gè)問(wèn)題深入，我們義獲得了另一種更為簡(jiǎn)單的證明方法.

體會(huì)

對(duì)這類開(kāi)放題，我的第一想法就是用代數(shù)方程的方法，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)比較繁瑣，于是就開(kāi)始考慮用編程進(jìn)行暴力破解.但是，編程暴力破解需要明確搜索的范圍.為此，我們一般先通過(guò)研究未知數(shù)所具備的性質(zhì)來(lái)確定未知數(shù)的范圍，并且盡量縮小范圍.我發(fā)現(xiàn)，這種解題的思維過(guò)程，與我們解答高考模擬題不一樣，數(shù)學(xué)并不只是為了解高考題，數(shù)學(xué)還有更豐富的內(nèi)涵，等待我們?nèi)ハ崎_(kāi)她神秘的面紗，感受她那獨(dú)特的魅力.

雖然暴力破解的方法看起來(lái)比較笨，但卻是找到策略二這種簡(jiǎn)約思路的基礎(chǔ).如果沒(méi)有暴力破解這種方法讓我看到希望，說(shuō)不定我在找到策略二之前就已經(jīng)放棄了.所以在這個(gè)過(guò)程中我深刻體會(huì)到，學(xué)數(shù)學(xué)不能排除看起來(lái)很笨的方法，有些“巧方法”就隱藏在“笨方法”之中；當(dāng)然也不能滿足于“笨辦法”，否則就發(fā)現(xiàn)不到隱藏在里面的“巧方法”.“巧出于笨”這四個(gè)字或許是我最大的收獲.

夏文斷言本題“用不定方程組來(lái)解會(huì)多走彎路”，但我的體會(huì)是，彎路是走了一些，但不算“多走”，而且很多驚奇和快樂(lè)的體驗(yàn)恰恰是因?yàn)樽咴谶@些彎路上！就像在旅游時(shí)，印象最深的不一定是看到了規(guī)劃好了的景點(diǎn)，反而是因?yàn)樽咤e(cuò)路而發(fā)現(xiàn)的全新美景吧！

[指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)]

（1）當(dāng)我把這個(gè)問(wèn)題在社團(tuán)的QQ群里提出后，作者馬上把這個(gè)研究任務(wù)領(lǐng)了下來(lái).一位高中生敢于向碩士論文叫板，這種不盲從權(quán)威的科學(xué)精神值得贊賞.原來(lái)她打算和另一位同學(xué)一起在暑假研究這個(gè)問(wèn)題，由于這位同學(xué)外出很長(zhǎng)一段時(shí)間，她就白己先開(kāi)始研究了.等同學(xué)外出回來(lái)，她已經(jīng)把問(wèn)題研究得差不多了.

（2）這道題從問(wèn)題結(jié)構(gòu)上分析，條件與結(jié)論之間的關(guān)系是相當(dāng)隱晦的.沒(méi)有現(xiàn)成的解題模式可以套用，對(duì)于從未經(jīng)過(guò)中學(xué)奧數(shù)訓(xùn)練的高一升高二學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是有一定難度的.

（3）在高一沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)反證法的情況下，能大量使用反證法證明這一系列命題，難能可貴.寫(xiě)這篇論文的經(jīng)歷實(shí)際上已經(jīng)提前完成了反證法的最基本訓(xùn)練.

（4）高一升高二的學(xué)生要寫(xiě)出這樣的文章，其艱難程度是可想而知的.作者幾乎用了整個(gè)暑假來(lái)琢磨這篇文章，其間經(jīng)常通過(guò)QQ主動(dòng)向我請(qǐng)教，這種求學(xué)精神讓我非常感動(dòng).除了把問(wèn)題本身研究清楚之外，還要學(xué)習(xí)論文的基本規(guī)范，一開(kāi)始連文章的框架都比較亂.最后形成的這個(gè)論文框架，也是我們多次討論后逐步形成的.相信這一經(jīng)歷能讓她更真切地理解數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作.

（5）本文原本還可以寫(xiě)得更精練些，但我覺(jué)得現(xiàn)在這個(gè)寫(xiě)法更能展現(xiàn)作者對(duì)這個(gè)問(wèn)題的整個(gè)探索過(guò)程，作為學(xué)生論文這種寫(xiě)法更有意義.