甘志國(guó)

一、“開(kāi)門(mén)大吉”中的概率問(wèn)題

中央電視臺(tái)第3套節(jié)目“開(kāi)門(mén)大吉”，相信很多人都看過(guò)，這里面有什么奧秘嗎？筆者據(jù)此編擬了一道概率問(wèn)題，一起來(lái)看看.

“開(kāi)門(mén)大吉”的規(guī)則是：選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門(mén)，依次按響門(mén)上的門(mén)鈴，門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金；回答每一扇門(mén)的問(wèn)題后，選手可自由選擇：帶著獎(jiǎng)金離開(kāi)比賽，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門(mén)以獲得更多獎(jiǎng)金；但是一旦回答錯(cuò)誤，獎(jiǎng)金將清零，選手也會(huì)離開(kāi)比賽；每一扇門(mén)的聽(tīng)音時(shí)間為15 s（可自由支配，一次性聽(tīng)完，或多次聽(tīng)開(kāi)始部分），15 s后選手必須回答，整個(gè)游戲過(guò)程中選手有一次求助親友團(tuán)的機(jī)會(huì).選手闖過(guò)各扇門(mén)后所得的家庭夢(mèng)想基金及累計(jì)家庭夢(mèng)想基金依次是：

已知一位選手能闖過(guò)各關(guān)（把回答問(wèn)題正確叫闖關(guān)成功，也叫闖過(guò)該關(guān)）的概率與該關(guān)的家庭夢(mèng)想基金成反比，且該選手能闖過(guò)第一關(guān)的概率是1.

（1）求該選手能闖過(guò)八關(guān)的概率；

（2）請(qǐng)從統(tǒng)計(jì)角度分析該選手應(yīng)決定闖幾關(guān)后離開(kāi)該比賽？

解 由題設(shè)可得該選手能闖過(guò)第1，2，3，…，8關(guān)的概率依次是

PI=P2=p3=1！ p1=0.5， p5=p6=p7=0.2， P8 =O.1.

（1）該選手能闖過(guò)八關(guān)的概率是

P1 P2P3P4P5P6P7P8=0.0004.

（2）設(shè)該選手闖過(guò)第i關(guān)后所得的累計(jì)家庭夢(mèng)想基金分別為隨機(jī)變量Xi（i=1，2，3，…，8），可得E（X8）=30 000×0.000 4+0×0.999 6 =12（元）.

所以E（Xi）（i=1，2，3，…，8）的最大值是E（X3）=3 000元，因而該選手應(yīng)決定闖三關(guān)后離開(kāi)該比賽.

二、“雙色球”中的概率問(wèn)題

1.“雙色球”的中獎(jiǎng)規(guī)則“雙色球”每注2元，投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成.紅色球號(hào)碼從1～33中選擇；藍(lán)色球號(hào)碼從1～16中選擇.雙色球游戲，每期按彩票銷(xiāo)售額的50%、15%和35%，分別計(jì)提彩票獎(jiǎng)金、彩票發(fā)行費(fèi)和彩票公益金.

“雙色球”彩票單注獎(jiǎng)金封頂?shù)淖罡呦揞~為1 000萬(wàn)元.

“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號(hào)碼（復(fù)式投注按所覆蓋的單注計(jì)）與當(dāng)期開(kāi)出中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的球色和個(gè)數(shù)確定中獎(jiǎng)等級(jí)：

一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限，下同）；

二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符；

三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼，或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼，或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無(wú)紅色球號(hào)碼相符均可）.

當(dāng)期每注投注號(hào)碼只有一次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，不能兼中兼得.

2.任投一注“雙色球”，中獎(jiǎng)的概率是297247/430 272≈0.0670945.

（1）任投一注“雙色球”，中一等獎(jiǎng)的概率是p1=1/17721088'

（2）任投一注“雙色球”，中二等獎(jiǎng)的概率是p2=15/17721088'

中二等獎(jiǎng)，即所投注的6個(gè)紅色號(hào)碼與開(kāi)獎(jiǎng)的6個(gè)紅色號(hào)碼完全相同（所投注的藍(lán)色球號(hào)碼與開(kāi)獎(jiǎng)的藍(lán)色號(hào)碼不同）.因?yàn)閺?3個(gè)紅色號(hào)碼中任取6個(gè)有C633種情況，從16個(gè)藍(lán)色號(hào)碼中任取1個(gè)有C116種情況，而從15個(gè)藍(lán)色號(hào)碼（非中獎(jiǎng)號(hào)碼）中任取1個(gè)有C115種情況，

根據(jù)中獎(jiǎng)規(guī)則，中六等獎(jiǎng)包括三種情況：所投注的號(hào)碼有2個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼與開(kāi)獎(jiǎng)的相應(yīng)號(hào)碼相同；或1個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼與開(kāi)獎(jiǎng)的相應(yīng)號(hào)碼相同；或0個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼與開(kāi)獎(jiǎng)的相應(yīng)號(hào)碼相同.對(duì)應(yīng)的概率分別為

3.任投一注“雙色球”獲得獎(jiǎng)金的期望

我們?nèi)瓮兑蛔ⅰ半p色球”，不光關(guān)注其中獎(jiǎng)的概率，還會(huì)關(guān)注其中獎(jiǎng)的期望.

本文假設(shè)任買(mǎi)一注“雙色球”，獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、四等獎(jiǎng)、五等獎(jiǎng)、六等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別是50 000元、5 000元、1 800元、300元、20元、5元.

由第2節(jié)的解答，可得獎(jiǎng)金X的分布列及期望分別是

即任買(mǎi)一注“雙色球”獲得獎(jiǎng)金的期望約是0.603 3941元.