灰色面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)決策評價模型拓展

蔣詩泉，劉思峰，劉中俠，謝乃明

（1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，南京 210016）

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是一種因素分析方法，且對樣本量的多少和有無規(guī)律都能夠適應(yīng)，其基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷不同序列之間的聯(lián)系是否緊密[1]。國內(nèi)外學(xué)者在關(guān)聯(lián)度模型方面研究成果豐富，比如：B型、C 型關(guān)聯(lián)度[2，3]、T型關(guān)聯(lián)度、斜率關(guān)聯(lián)度[4]、凸關(guān)聯(lián)度[5]、面積關(guān)聯(lián)度[6]、廣義關(guān)聯(lián)度[7]、相似性和接近性灰色關(guān)聯(lián)模型[8]、多維空間關(guān)系的關(guān)聯(lián)度模型[8,9]。文獻[10,11]將向量空間的關(guān)聯(lián)度模型拓展到矩陣空間，進而提出了基于面板數(shù)據(jù)的灰色關(guān)聯(lián)度模型及其性質(zhì)。對于面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)模型度研究很少，且多以凹凸性等視角進行刻畫此關(guān)聯(lián)關(guān)系，但是這對較為分散的面板數(shù)據(jù)往往很難準確刻畫整體發(fā)展趨勢[12]。對于面板數(shù)據(jù)類型為一般灰數(shù)的關(guān)聯(lián)模型研究極其稀少，文獻[13-15]僅研究了決策信息為區(qū)間灰數(shù)的一般關(guān)聯(lián)決策模型。在實際決策問題中，可能會造成決策信息表現(xiàn)為復(fù)雜性和不確定性，而目前對不確定信息表征和運算不夠完善。為更加準確地表征不確定信息，本文首先給出了一般灰數(shù)的概念并用一般灰數(shù)表征復(fù)雜信息和不確定性、一般灰數(shù)的距離測度方法及其運算法則；其次，將灰色面板數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為時間關(guān)于樣本在指標上值的時間矩陣序列；最后，基于關(guān)聯(lián)度構(gòu)造思想，構(gòu)建灰色面板數(shù)據(jù)的灰色關(guān)聯(lián)度模型并應(yīng)用于動態(tài)多指標綜合評價。

1 灰色面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度模型的理論基礎(chǔ)

1.1 一般灰數(shù)的相關(guān)理論

定義1[1]：設(shè)，則稱g±為一般灰數(shù)。其中任一區(qū)間灰數(shù)，滿足且分別稱為g±的下界和上界，其中區(qū)間灰數(shù)和實數(shù)是一般灰數(shù)的特例。

定義2[1]：（1）設(shè)為一般灰數(shù)，稱為g±的核。（2）設(shè)g±為概率分布已知的一般灰數(shù)，的概率為pi且滿足pi＞0 ，，則稱為g±的核。

定義3[1]：設(shè)一般灰數(shù)的背景或論域為為 Ω 的測度，則稱為一般灰數(shù)g±的灰度。一般灰數(shù)g±的灰度亦簡記為gο。其中，記為 ?i的灰度，且

定理1：設(shè)R(g±)為一般灰數(shù)構(gòu)成的集合，一般灰數(shù)g1±和g2±之間的距離滿足三個條件：

1.2 灰色面板數(shù)據(jù)的矩陣表示

灰色面板數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，它的橫向是截面數(shù)據(jù)，縱剖面是時間序列。設(shè)有N個樣本，每個樣本有M個指標，觀測時間長度為T，那么可以將面板數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一個二級二維表的形式[13]，為了便于編程計算，將灰色面板數(shù)據(jù)用矩陣表示，具體見定義5。

定義5：設(shè)有N個樣本，每個樣本有M個指標，觀測時間長度為T，灰色面板數(shù)據(jù)X(?)中第t時刻關(guān)于樣本i在指標m的值記為gt±(i，m)＞0 ，其中i=1，2，…，N，m=1，2，…，M，t=1，2，…，T。則稱為t時刻的樣本指標觀測矩陣。那么對應(yīng)的灰色面板矩陣序列X(?)=(X1(?)，X2(?)，…，XT(?))稱為時間矩陣序列。

類似于定義5可以定義樣本矩陣序列及指標矩陣序列，由于這三個序列沒有主次之分，只是角度不同而已，且關(guān)聯(lián)度模型的構(gòu)造機理極其相似，故本文以時間矩陣序列為例研究灰色面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度模型。

2 灰色矩陣數(shù)據(jù)規(guī)范化算子

在決策評價過程中為了消除指標量綱和量級的影響以及使其具有可比性，首先要對指標進行規(guī)范化處理。設(shè)第t個時刻關(guān)于樣本i在指標m的值記為，其中t=1，2，…，T。

3 灰色面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度模型構(gòu)建

對于ξ∈(0，1)令：

稱γ(X1(?)，Xt(?))為基于時間的灰色面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度。

可以證明該關(guān)聯(lián)度滿足：

類似地，可以定義基于樣本的灰色面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度模型、基于指標的灰色面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度模型。

4 基于灰色面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度決策算法步驟

步驟1:灰色面板數(shù)據(jù)規(guī)范化預(yù)處理。

步驟2:確定正、負理想樣本矩陣。

gt±(i，m)為第t個時刻關(guān)于樣本i在指標m的值規(guī)范化后記為rkji，則t時刻正、負理想為:

其中X,C分別表示效益型指標和成本性指標。

步驟3：將規(guī)范化決策評價矩陣表示為簡化形式的灰色決策矩陣。

步驟4：分別計算與正、負理想矩陣的關(guān)聯(lián)度值。

步驟5：計算相對貼近度并進行排序。

5 案例分析

設(shè)有三家企業(yè)A1，A2，A3，評價指標為S1：表示企業(yè)年產(chǎn)值（千萬元），S2:表示企業(yè)社會效益（千萬元），S3：表示對環(huán)境效率，三個時間樣本點分別為2012—2014年?？紤]篇幅限制，將灰色面板數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三個時間序列決策矩陣如下，對三家企業(yè)進行綜合評價。

步驟1:將決策矩陣進行規(guī)范化處理。

步驟2:確定正、負理想樣本時間矩陣。

步驟3:將規(guī)范化矩陣表示為簡化形式的矩陣。

步驟4：計算正理想方案與各樣本的關(guān)聯(lián)度。分別計算正理想與各樣本之間的距離d+i(m)、關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度γ+i。

類似可以計算，d+2(1)=1.206，d+2(2)=0.605，d+2(3)=0.9945。d+3(1)=1.003，d+3(2)=0.998，d+3(3)=1.31。

根據(jù)定理2計算正理想與各樣本的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

正理想與樣本的關(guān)聯(lián)度值分別為：γ+1=0.809，γ+2=0.814 ，γ+3=0.721。

故關(guān)聯(lián)度排序為：γ+2＞γ+1＞γ+3。也即樣本排序為A2?A1?A3。

步驟5:計算與負理想的關(guān)聯(lián)度。分別計算負理想與樣本之間的距離d-i(m)、關(guān)聯(lián)系數(shù)γ-i(g-±(m)，gt±(m))和關(guān)聯(lián)度γ-i。計算方法類似以步驟4。

根據(jù)定理2計算負理想與樣本的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

負理想與各樣本的關(guān)聯(lián)度值分別為：γ-1=0.917，γ-2=0.863，γ-3=0.926。

故關(guān)聯(lián)度排序為：γ-3?γ-1?γ-2，也即樣本排序為A2?A1?A3。

依照相對貼近度的方案排序為A2?A1?A3。

通過以上的結(jié)論可以看出不論是依據(jù)與正理想的關(guān)聯(lián)度、與負理想的關(guān)聯(lián)度還是相對貼近度的排序其結(jié)果都是完全一致的。

6 結(jié)束語

為了克服區(qū)間灰數(shù)表征復(fù)雜不確定信息的缺失，本文利用一般灰數(shù)表征復(fù)雜不確定信息，解決了決策信息不能夠被充分精確表征的問題。本文基于灰色關(guān)聯(lián)度構(gòu)建的基本思想，將鄧式關(guān)聯(lián)度模型推廣到灰色面板數(shù)據(jù)的情形，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了基于灰色面板數(shù)據(jù)的多指標動態(tài)決策評價的關(guān)聯(lián)度方法，從而拓展了灰色關(guān)聯(lián)分析理論的應(yīng)用范圍，豐富了灰色關(guān)聯(lián)度理論。另外，在本文的基礎(chǔ)上，可以進一步研究各指標權(quán)重的確定方法、n維空間的決策模型構(gòu)建方法以及高維場數(shù)據(jù)的決策模型的構(gòu)建方法。最后的算例也充分驗證了該模型的有效性和合理性。