龔鉑淳，馬少杰，魏 健

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

近年來，我國南海海域沖突不斷升級，國土安全面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。面對復(fù)雜多樣的現(xiàn)代海洋戰(zhàn)場，各種水下武器的研制成為了當(dāng)下研究的熱點(diǎn)[1]。在本文中所要研究的對象——水下單兵火箭彈有著大威力、高速度、高精度的特點(diǎn)，完全符合現(xiàn)代海洋戰(zhàn)爭的需求。通常用于水下武器引信的解保環(huán)境力有以下幾種，爬行力、火藥燃?xì)?、彈體壓力、水流沖擊力等[2]。本文考慮到，水的阻力遠(yuǎn)大于空氣，所以火箭彈在水下做衰減運(yùn)動的過程中會受到較大爬行阻力的作用，據(jù)此在火箭彈引信的設(shè)計(jì)中，提出將水下的爬行力作為解保環(huán)境力的設(shè)想。為了驗(yàn)證這一設(shè)想，需要對水下火箭彈的運(yùn)動過程進(jìn)行分析，求解出速度和加速度等運(yùn)動學(xué)參數(shù)，以此推算是否有足夠的爬行力解除保險。

目前水下火箭彈的相關(guān)研究，主要是針對火箭彈從靜止開始發(fā)射的單一彈道[3]。本研究根據(jù)水下單兵火箭彈的特點(diǎn)，對單一火箭彈彈道進(jìn)行完善，分析了火箭彈在水下拋射和火箭助推的運(yùn)動全過程。用MATLAB解算彈道方程，得出速度和加速度隨時間變化的曲線圖。結(jié)合計(jì)算結(jié)果，分析火箭彈在運(yùn)動過程中的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)，驗(yàn)證爬行力作為解保環(huán)境力的可行性。這對水下火箭彈引信保險機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，以及水下火箭彈的射擊精度和可靠性都具有重要意義。

1 火箭彈水下彈道特性分析

為了減少誤差、提高仿真精度，需要先行對彈道特點(diǎn)進(jìn)行分析，為彈道仿真方案的設(shè)計(jì)提供參考和支撐[4]。水下火箭彈的工作原理可以參照陸上火箭彈的彈道特性進(jìn)行分析[5]，如圖1所示?；鸺龔椣扔砂l(fā)射架進(jìn)行拋射，在短時間內(nèi)獲得一個較大的初速度，隨后在水的阻力作用下，速度迅速衰減。等達(dá)到一定安全距離后，火箭發(fā)動機(jī)點(diǎn)火進(jìn)行二次加速，火箭彈速度衰減變慢，在一段時間后速度開始緩慢回升。隨后發(fā)動機(jī)停止工作，火箭彈失去推力，速度再次迅速衰減。根據(jù)以上彈道特性，火箭彈在水下運(yùn)動的全過程包括拋射和火箭助推后的兩部分，為了方便說明，下文將火箭助推部分的彈道稱為第二段彈道。本文主要研究在一定初速度下，火箭彈在水下運(yùn)動的全過程。

1.1 建立火箭彈水下模型

水下火箭彈的運(yùn)動遵循牛頓力學(xué)定律、質(zhì)量和能量守恒定律等。相關(guān)領(lǐng)域的研究以往集中在魚雷的航行力學(xué)上，鑒于其和魚雷在外形上差別不大，主要是發(fā)動機(jī)的輸出方式不同，所以水下火箭彈的主動段彈道計(jì)算可以借鑒魚雷航行力學(xué)的有關(guān)知識[6]。據(jù)此進(jìn)行如下模型假設(shè)：

1) 流體無黏性，不可壓縮。

2) 流體是無限的，在航行器運(yùn)動之前是靜止的。

3) 火箭彈為剛體，其外形關(guān)于xOy、xOz平面對稱。

4) 火箭彈重心與浮心距離較小，浮心處速度與質(zhì)心處速度相等。

5) 不考慮火箭彈的偏航運(yùn)動。

6) 火箭彈在運(yùn)動過程中，其質(zhì)量與質(zhì)量分布保持不變。

在考慮初速度下根據(jù)所作的模型假設(shè)對航行體在水下的運(yùn)動過程進(jìn)行受力分析，如圖2所示。

1.2 水下火箭彈水下運(yùn)動受力分析

根據(jù)圖2中的受力分析，列舉水下火箭彈所受的力及其公式[7]:

1) 阻力

式中：CxS為阻力因數(shù)；S為魚雷最大橫截面積。

2) 法向流體動力(升力)

3) 俯仰力矩

沿彈體坐標(biāo)系OZ軸(橫軸)的力矩稱為俯仰力矩，因?yàn)樗淖饔眯Ч购叫衅鳟a(chǎn)生俯仰運(yùn)動。俯仰力矩也稱為縱向力矩。俯仰力矩為位置導(dǎo)數(shù)可表示為

4) 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的阻力及阻力矩

5) 非定常運(yùn)動附加慣性力

2 水下火箭彈縱向運(yùn)動方程組

2.1 縱向運(yùn)動方程的基本假設(shè)

火箭彈在水下的運(yùn)動可以分解為縱向運(yùn)動與側(cè)向運(yùn)動，縱向運(yùn)動為一平面運(yùn)動，其運(yùn)動平面與火箭彈的縱對稱面重合，且為空間垂直平面。而側(cè)向運(yùn)動是指其在水平面的運(yùn)動，包括火箭彈在水平面內(nèi)的運(yùn)動和繞軸轉(zhuǎn)動。為了避免由于數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜而造成分析和處理上的困難，故而要在條件允許范圍內(nèi)盡可能簡化模型[8]。顯然，本研究的對象是火箭彈在水下的縱向運(yùn)動，因此為了將其分離出來單獨(dú)研究，再對模型做如下假設(shè)：

1) 彈體對其縱對稱面是對稱的，在縱向運(yùn)動中，不產(chǎn)生側(cè)向力、偏航力矩和橫滾力矩。

2) 彈體縱對稱面保持在垂直面內(nèi)。

3) 火箭彈彈道為垂直面內(nèi)的平面彈道。

2.2 水下火箭彈縱向運(yùn)動方程組

根據(jù)上文對火箭彈在水下全過程的分析，水下火箭彈縱向運(yùn)動方程組包含了拋射彈道和第二段彈道方程組兩部分。充分考慮火箭彈在拋射段和第二段所受的不同外力，分別列出上述兩部分彈道方程組。

火箭彈在水下的空間運(yùn)動方程組由動力學(xué)方程組和運(yùn)動學(xué)方程組組成。據(jù)動量和動量矩定理，將彈體的全部外力及外力矩代入式(1)中，即是動力學(xué)方程組。運(yùn)動學(xué)方程組由式(2)～式(5)組成，分別是攻角及側(cè)滑角與速度分量之間的關(guān)系、速度坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程、彈體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程、彈體角速度在彈體坐標(biāo)系中的投影[9]。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)上文關(guān)于分離縱向運(yùn)動方程的假設(shè)，則地面坐標(biāo)系、彈體坐標(biāo)系、速度坐標(biāo)系、半速度坐標(biāo)系都是同一平面，首先結(jié)合火箭彈在水下的空間運(yùn)動方程組，推導(dǎo)出在縱向平面內(nèi)水下火箭彈的拋射段彈道如下：

(6)

火箭助推后，在原有拋射彈道方程組的基礎(chǔ)上，再考慮火箭推力和燃料質(zhì)量隨時間的變化，可得縱平面內(nèi)水下火箭的第二段彈道方程組如下：

(7)

式中：m1為火箭彈質(zhì)量隨時間t變化的函數(shù)；Tt為火箭彈所受的推力隨時間t變化的函數(shù)，其他參數(shù)的定義與拋射段彈道方程組保持一致。

2.3 附加慣性質(zhì)量

附加質(zhì)量是水下物體運(yùn)動分析的重要參數(shù)。物體在流體中變速運(yùn)動，推動物體的力不僅要為增加物體的動能做功，還要為增加周圍流體的動能做功。因此質(zhì)量為m的物體要獲得加速度a，施加在它上面的力F將大于物體質(zhì)量m與加速度a的乘積，增加的這部分質(zhì)量就是附加質(zhì)量。某些物體的附加質(zhì)量數(shù)值較大，不容忽略[10]。

坐標(biāo)系選定后，水下航行器的附加質(zhì)量僅與其幾何形狀有關(guān)。在上文的建模中，假設(shè)水下航行器具有兩個對稱面，即同時關(guān)于及兩個平面對稱，則不為零的附加質(zhì)量有8個，即λ11，λ22，λ26，λ33，λ35，λ44，λ55，λ66，并且有λ33=λ22，λ66=λ55，λ55=-λ26，進(jìn)一步簡化可得：

通過數(shù)值計(jì)算來模擬物體附加質(zhì)量的試驗(yàn)測量過程，物體在流場中按照設(shè)定的運(yùn)動規(guī)律做非定常運(yùn)動，監(jiān)控流體對物體的作用力及力矩，通過對物體受力的分析，從中提取包括物體的附加質(zhì)量在內(nèi)的流體動力參數(shù)。為了計(jì)算上述各分量，需要模擬回轉(zhuǎn)體沿x軸、y軸加速運(yùn)動及繞z軸的加速轉(zhuǎn)動。使回轉(zhuǎn)體沿y軸加速運(yùn)動，通過監(jiān)控升力系數(shù)和力矩系數(shù)Mz可以獲得λ22和λ26；使回轉(zhuǎn)體沿x軸加速運(yùn)動，通過監(jiān)控阻力系數(shù)Cx可以獲得λ11；使回轉(zhuǎn)體繞z軸加速轉(zhuǎn)動，通過監(jiān)控相應(yīng)的力矩系數(shù)Mz可以獲得λ66。

3 彈道計(jì)算

設(shè)火箭彈總質(zhì)量(含火箭發(fā)動機(jī)和燃料)M=0.5 kg，燃料質(zhì)量為50 g，燃燒持續(xù)時間為300 ms，假設(shè)火箭燃料均勻燃燒，故發(fā)射后彈的實(shí)際質(zhì)量為m=0.5～170 kg，又海水密度p=1 024 kg/m，所以水下火箭彈所受浮力約為B=1.4 N，重力約為G=4.9 N?，F(xiàn)忽略火箭彈從發(fā)射到獲得一定初速度的短暫時間，假設(shè)某一時刻火箭彈的速度為80 m/s，并從此時開始計(jì)時，對火箭彈在水下運(yùn)動的全過程進(jìn)行彈道計(jì)算。設(shè)火箭發(fā)動機(jī)的推力曲線如圖3所示。

由圖3可得推力-時間的函數(shù)，表達(dá)式為

(8)

將上述模型假設(shè)中的所有參數(shù)代入水下彈道方程組(6)和方程組(7)中。上述兩個方程組都是封閉的，設(shè)置水下火箭彈運(yùn)動的初值條件，v=80 m/s，α=θ=0，運(yùn)用MATLAB工具來求解彈道微分方程組，得到速度隨時間變化的曲線如圖4所示。

由圖4可知：火箭彈在水下拋射的初速度為80 m/s，受到水下阻力的作用，速度迅速下降。T1時刻火箭發(fā)動機(jī)的工作，火箭的推力不斷上升，水下火箭彈的速度衰減也逐漸變慢，并在60 ms處開始回升，此時火箭彈速度為30 m/s。在220 ms處，火箭彈速度達(dá)到最大值62 m/s，并在短暫時間內(nèi)趨于穩(wěn)定。隨后火箭推力下降，水下火箭彈的速度又在短時間內(nèi)迅速下降。在T2時刻，發(fā)動機(jī)燃料耗盡，速度最終趨于平緩。

火箭彈水下彈道方程組經(jīng)過四階龍格庫塔解算后，每段方程得到40個數(shù)據(jù)，對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，可得水下火箭彈速度擬合的分段方程組如下：

1) 當(dāng)0

f(ν)=1.996×107t4-2.008×106t3+

9.225×104t2-2899t+80

2) 當(dāng)0.03 s

f(ν)=1.548×105t4-9.232×104t3-

2.001×104t2-1576t+69.56

3) 當(dāng)0.18 s

f(ν)=1.09×107t4-1.0656×107t3+

3.906×106t2-6.376×105t+3.914×104

4) 當(dāng)0.27 s

f(ν)=-4.184×106t3+3.894×106t2-

1.2134×106t+1.262×105

5) 當(dāng)t>0.33 s時

f(ν)=-2.0245×105t4+4.488×105t3-

3.714×105t2+1.361×105t-1.869×104

對求得的水下火箭彈速度擬合方程組進(jìn)行求導(dǎo)即可獲得加速度方程組，繪制加速度隨時間變化的曲線如圖5所示。

由圖5可知，火箭彈在水下拋射時受到的阻力很大，加速度絕對值達(dá)到250g。在拋射過程中，由于速度在不斷衰減，對應(yīng)的減加速度也在不斷減小。在T1時刻發(fā)動機(jī)開始工作，推力不斷上升，火箭彈的速度衰減繼續(xù)減小，在60 ms處加速度變?yōu)檎?，速度開始回升，加速度也不斷增大，在120 ms處達(dá)到最大，約為30g左右。隨后，發(fā)動力推力保持恒定，火箭速度趨于穩(wěn)定，在230 ms處加速度回落至0。隨后發(fā)動機(jī)推力減弱，加速度開始由0變?yōu)樨?fù)值。在T2時刻，水下火箭彈完全失去動力，其減速加速度很明顯，峰值達(dá)到65g左右。在失去動力后，火箭彈作自由運(yùn)動，速度逐漸減小至0，加速度也對應(yīng)地減小至0。

4 結(jié)論

通過建立模型，對水下火箭彈進(jìn)行受力分析，列出其在縱向平面下拋射段彈道和第二段彈道方程組。列舉工程實(shí)例，利用MATLAB數(shù)學(xué)工具，求解得到水下火箭彈在有初速情況下的推力曲線，并繪制速度與加速度曲線。由曲線圖得火箭彈在水下運(yùn)動時速度和加速度隨時間的變化規(guī)律，獲得了爬行力的數(shù)值和持續(xù)時間，驗(yàn)證了火箭彈在水下運(yùn)動過程中，爬行力足夠大，持續(xù)時間足夠長，可以作為引信的遠(yuǎn)解環(huán)境力，為后續(xù)引信保險機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論支撐。