王誠 劉碩

（蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息處理與控制工程學(xué)院，甘肅 蘭州730060）

0 引言

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了。由于每個人對顏色的敏感差異和觀測誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，即只要給模型輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠通過計算獲得待測物質(zhì)的濃度，而模型的精度直接關(guān)系著待測物質(zhì)濃度的準(zhǔn)確性,見于監(jiān)測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的類狀或族狀，可以將物質(zhì)濃度判斷問題歸結(jié)為類別辨誤問題或模式識別問題。為此，本文在已知顏色讀數(shù)和相應(yīng)物質(zhì)濃度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立了基于logistic回歸的物質(zhì)濃度識別模型，該模型是實(shí)質(zhì)上是一種多元非線性概率回歸分析模型，實(shí)例分析表明用該模型預(yù)測物質(zhì)濃度具有很高的精確度，好于支持向量機(jī)[1-2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-4]等辨識模型，值得工程技術(shù)人員借鑒。

1 logistic回歸概率模型

設(shè)表征物質(zhì)濃度的常用顏色有：藍(lán)色B、綠色G、紅色R、色調(diào)H、飽和度S，其讀數(shù)分別為x1、x2、x3和x4；對物質(zhì)濃度進(jìn)行類別劃分，類別值{1,2,…,J}（J為總類別數(shù)）；設(shè)研究對象（物體）記為X，其樣本集X={X1,X2,…,Xn}（Xi為樣本，i=1,2,…,n），且Xi=（xi1,xi2,xi3,xi4）。物質(zhì)濃度類別Y∈{1,2,…,J}與其特征值（顏色讀數(shù)）之間存在非線性概率關(guān)系。設(shè)樣本Xi的濃度屬于第J類的概率為PJ，以Y=J作為參考類別，則對于Y=J（j=1,2,…,J-1），其logistic變換logit模型[5-6]為：

其中：Bj0,Bj1,…,Bj4為logistic回歸的偏回歸系數(shù)，表示變量xi對Y的影響大小，B0j為常數(shù)項(xiàng)；為樣本的第j個參數(shù)值；而對于參考類別, 其模型中的所有系數(shù)均為0，即GJ=0。由式（1）得：

式（1）中的模型系數(shù)Bj0,Bj1,…,Bj4，由建模樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計軟件SPSS19[7-8]完成。

2 數(shù)據(jù)來源及模型建立

2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題給出一組二氧化硫的濃度與其顏色的讀數(shù)，見表1所示。

表1 二氧化硫的濃度與顏色讀數(shù)

首先按濃度大小分類，將濃度為0，20，30，50，80，100，150對應(yīng)的樣本分別看成一類，共7類，類別值分別為1，2，3，4，5，6，7。當(dāng)類別值為1時，則對應(yīng)的濃度為0；當(dāng)類別值為2時，則對應(yīng)的濃度為20；當(dāng)類別值3時，則對應(yīng)的濃度為30；當(dāng)類別值4時，則對應(yīng)的濃度為50；依次類推。

將表1中二氧化硫指標(biāo)數(shù)據(jù)及相應(yīng)類別值列導(dǎo)入SPSS19中，選擇“分析”｜“回歸”｜“多項(xiàng)logistic”命令，按提示對話框完成所有操作，求得到的模型系數(shù)及模型見下式（4）～（10）：

由SPSS19得出模型擬合信息見表2，偽R方值見表3，擬合優(yōu)度見表4。

表2 模型擬合信息

表3 三個偽決定系數(shù)R方

表4 擬合優(yōu)度

從表2、表3及表4可知模型整體的顯著性非常高，因?yàn)閜值遠(yuǎn)小于0.05；從表3及表4可看出三個偽決定系數(shù)及擬合優(yōu)度都很高，說明模型擬合效果非常好。下面給出模型的反向檢驗(yàn)結(jié)果。

表5 歸類概率及判斷結(jié)果（精確到萬分位）

利用式（4）～（10）及式（3）可求出樣本隸屬各類的概率，并按最大概率原則歸類，計算結(jié)果見表5。

說明:從表5的判定結(jié)果知該模型的擬合預(yù)測精確為100%，表明logistic回歸為概率型非線性回歸模型具有很高的區(qū)分度，也說明將此類問題轉(zhuǎn)化成類別識別或模式識別問題來解決完全可行。另外，將該類問題看成決策問題用概率統(tǒng)計理論方法解答克服了傳統(tǒng)單一模型方法精確不高的缺點(diǎn)。

下面給同3個測試樣本（2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題），見表6。

表6 測試樣本的二氧化硫的濃度與顏色讀數(shù)

將表6中3個樣本的特征指標(biāo)值代入式（4）至式（10），并按式（3）求得樣本屬于各類的概率，并按最大概率歸類，如表7所示。

表7 測試樣本的濃度預(yù)測結(jié)果（精確到萬分位）

可見預(yù)測精度為100%，說明多項(xiàng)logistic概率回歸模型具有非常高的擬合預(yù)測能力，用物質(zhì)濃度預(yù)測、以及其他模式識別或類別辨識完全可行。

3 結(jié)語

logistic回歸模型是一種基于概率的多元非線性問題的處理方法。實(shí)例分析表明該方法用于類別辨識或模式識別具有很高的精確度。對樣本物質(zhì)濃度進(jìn)行適當(dāng)類別劃分，用表征濃度的特征數(shù)值創(chuàng)建多項(xiàng) logistic回歸模型，并用統(tǒng)計軟件SPSS估算模型系數(shù)，通過對建模樣本和測試樣本的擬合預(yù)測精度的分析，準(zhǔn)確度均達(dá)到100%，表明該模型預(yù)測效果很好，值得工程技術(shù)人員借鑒。