袁志宏

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁 033001)

0 引言

考慮下列Kirchhoff型問(wèn)題

(1)

其中a,b>0為常數(shù),.

問(wèn)題(1)中,當(dāng)λ=0且|u|p-2u和RN分別用f(x,u)和有界區(qū)域Ω?R4代替時(shí),轉(zhuǎn)化為基爾霍夫問(wèn)題Dirichlet問(wèn)題

這一問(wèn)題最早可參考文獻(xiàn)[1]以及相關(guān)文獻(xiàn).

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)Kirchhoff型方程進(jìn)行了廣泛的研究并取得豐富的成果,其中對(duì)于問(wèn)題(1),當(dāng)p∈(2,2*)且λ是一個(gè)數(shù)或一個(gè)位勢(shì)函數(shù)時(shí),已得到解的存在性結(jié)論;另外,當(dāng)p∈(2,4)時(shí),Li和Ye在文[2]中考慮了λ=-1的情形,并利用Nehari和Pohozaev不等式,得到在R3上至少有一個(gè)能量解的結(jié)論.最近文[3]討論了N≤3,P∈(2,2*)時(shí),問(wèn)題(1)的約束極小點(diǎn)的存在性.受此啟發(fā),這里討論N=4,P∈(2,3),問(wèn)題(1)的可解性.

1 準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

則問(wèn)題(1)的約束基態(tài)解可轉(zhuǎn)化為求泛函I在Ic的臨界點(diǎn),即對(duì)任意給定的c>0,若uc是I|Sc上的臨界點(diǎn),λc為相應(yīng)的Lagrange乘數(shù),則稱(chēng)(uc,λc)為問(wèn)題的解.

引理1[9](Gagliardo-Nirenberg不等式)若p∈(2,2*),N≥3,則

方便起見(jiàn),我們記

則I(u)=A(u)+B(u)-C(u).且對(duì)任意的u∈Sc,由引理1可得

(2)

(3)

下面給出主要結(jié)論.

定理 若20.

2 主要結(jié)論的證明

引理2 若2

因20,則ut∈Sc,且當(dāng)t→∞時(shí)

Ic2≤I(ut)=t2A(u)+t4B(u)-t2(p-2)C(u)→0.

即對(duì)任意的c>0,有Ic2<0.

2)設(shè){un}?Sc為Ic2的極小化序列,則存在與n無(wú)關(guān)的正數(shù)k1,k2(k1

(4)

(5)

聯(lián)立(4)(5),Ic2

注 由上述定理可知,{c∈(0,+∞)|Ic2<0}≠?,不妨設(shè)c*=inf{c∈(0,+∞)|Ic2<0},顯然,c*=0.

引理3 若2

證明 因(I|Sc)′(u)=0,則存在λc∈R使得I′(u)-λcu=0,方程兩邊同時(shí)匹配u有

2A(u)+4B(u)-pC(u)=λcc2.

(6)

另一方面,根據(jù)Pohozaev不等式[6]

2A(u)+4B(u)-4C(u)=2λcc2,

(7)

下面給出定理的證明.

對(duì)20,設(shè){un}?Sc為Ic2的極小化序列,由引理2知,Ic2<0且對(duì)任意的n∈N+,有

(8)

其中當(dāng)n→+∞時(shí)°(1)→0.結(jié)合Brezis-Lieb引理,h:c→Ic2的連續(xù)性以及(8)有