三角形兩解條件的一種巧記方法

■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍 黃小華

在△A B C中,已知a,b和A,求解三角形。常用結(jié)論為：在A為銳角的情形下,若滿足條件bsinA＜a＜b,則△A B C必有兩解。

上述結(jié)論,常可借助圖1來解釋。此法不僅操作性不強,而且記憶困難。一旦將字母調(diào)換,就會造成一片混亂。

圖1

下面借助單位圓中的正弦線,更直觀地處理上述問題。

在△A B C中,由正弦定理知

如圖2,記∠P OM=A(A為銳角),∠Q O H=B(B為鈍角)。

圖2

由圖顯見,當(dāng)|M P|＜|N Q|＜1,即 sinA＜時,亦即bsinA＜a＜b時,∠P O Q=C,此時,A+B+C=π,三角形存在一解。

同理,當(dāng)B為銳角時,顯然又有一解,所以△A B C共有兩解。

利用上述方法判斷三角形兩解問題時,只需看題設(shè)是否滿足條件|M P|＜|N Q|＜1即可,若滿足則有兩解。倘若將題設(shè)中的已知角稱為“先角”,而由題設(shè)及正弦定理求出的角稱為“后角”,則不等式“|M P|＜|N Q|＜1”可用文字語言表達成“先角的正弦值＜后角的正弦值＜直角的正弦值”,這些文字方便記憶。

例1在△A B C中,已知a=2,b=,A=45°,則滿足條件的三角形有( )。

A.1個 B.2個

C.0個 D.無法確定

解析：由正弦定理,得sin。|MP|=sinA=,|NQ|=sinB=,滿足條件|MP|＜|NQ|＜1,故滿足條件的三角形有2個,選B。

例2在△A B C中,已知b=6,c=10,B=30°,則這樣的三角形有( )。

A.0個 B.1個

C.2個 D.1個或2個

解析：由正弦定理知sin,|MP|=sin,|NQ|=sin,滿足條件|MP|＜|NQ|＜1,有兩解,三角形有2個,故選C。

例3在△A B C中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有兩解,則x的取值范圍為( )。

A.(2,22) B.22

C.(2,+∞) D.（2,22］

解析：由正弦定理知,則sin。|MP|=sinB=

由題設(shè)知三角形有兩解,故必須滿足條件|MP|＜|NQ|＜1,即,整理可得。故選A。

運用此法實際解題時不必畫出單位圓,只需判斷是否滿足“先角的正弦值＜后角的正弦值＜直角的正弦值”即可,滿足則有兩解。