杜廣洋,鄭學(xué)合

(1.北京電子工程總體研究所,北京 100854;2.中國航天科工防御技術(shù)研究院科技委,北京100854)

0 引 言

在對彈道導(dǎo)彈目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí),一般情況下,在幾公里的距離波門內(nèi)聚集著彈頭、誘餌等目標(biāo)特性不盡相同的分離目標(biāo)。這些目標(biāo)大部分有著相近的狀態(tài)向量(位置和速度),從而形成近距離物體(closely spaced objects,CSOs)[1-4]。如何對CSOs目標(biāo)進(jìn)行穩(wěn)定、準(zhǔn)確地跟蹤和彈道預(yù)報(bào),對于目標(biāo)識(shí)別、信息融合等都具有重要意義。

隨著雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展,距離高分辨技術(shù)越來越多地被采用,對復(fù)雜場景下的多目標(biāo)進(jìn)行距離分辨和分離目標(biāo)跟蹤成為可能,即群目標(biāo)跟蹤[5-8]。在利用群目標(biāo)跟蹤技術(shù)跟蹤C(jī)SOs情況下,雷達(dá)很難對群內(nèi)所有目標(biāo)保持穩(wěn)定跟蹤。影響因素可能來自于不同的目標(biāo)散射特性、不同的受干擾程度、航跡交叉等方面[9]。如果群內(nèi)有子目標(biāo)跟蹤丟失,則為了維持?jǐn)嗬m(xù)航跡編號、關(guān)鍵事件狀態(tài)、多雷達(dá)交接等應(yīng)用需求,需要對丟失目標(biāo)進(jìn)行航跡維持[10-12]。常用的方法是利用彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡可預(yù)測的特點(diǎn)對丟失目標(biāo)進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)。由于目標(biāo)跟蹤丟失,彈道預(yù)報(bào)無法獲得觀測數(shù)據(jù)的修正,因此航跡維持的精度主要取決于目標(biāo)丟失時(shí)刻的初值精度,并且隨著外推時(shí)間的增大而變差。

在進(jìn)行群目標(biāo)跟蹤時(shí),雷達(dá)同時(shí)對CSOs中的多個(gè)子目標(biāo)進(jìn)行同步測量。各個(gè)子目標(biāo)測量信息中的系統(tǒng)誤差、雜波和噪聲干擾、狀態(tài)估計(jì)的過程噪聲等都具有相同或者相似的性質(zhì),即群內(nèi)多子目標(biāo)探測信息具有相關(guān)性[13]。此時(shí),多子目標(biāo)之間相對誤差遠(yuǎn)小于單個(gè)目標(biāo)絕對誤差。因此,挖掘和利用這一特性,用雷達(dá)當(dāng)前跟蹤的子目標(biāo)對其他丟失子目標(biāo)進(jìn)行相對彈道外推,對于提高航跡維持的精度具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

本文提出了利用群內(nèi)彈道目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系,用雷達(dá)正在跟蹤的子目標(biāo)對其他丟失子目標(biāo)進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)的方法。通過誤差分析,對比研究了單純彈道預(yù)報(bào)與該方法的遞推誤差特性。仿真表明,當(dāng)雷達(dá)對群目標(biāo)探測信息相關(guān)性較好時(shí),該方法大幅提高了彈道預(yù)報(bào)精度。

1 常用的彈道預(yù)報(bào)方法及其誤差特性

1.1 單純彈道預(yù)報(bào)方法

當(dāng)雷達(dá)跟蹤的某個(gè)子目標(biāo)出現(xiàn)跟蹤丟失時(shí),一種最常用的航跡維持方法就是利用以該子目標(biāo)跟蹤丟失前某個(gè)穩(wěn)定的跟蹤狀態(tài)為初值,利用彈道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行外推。

(1)

式中

μ=3.986 004 418×1014(m3/s2)為地球引力常數(shù);ω=7.292 115 14×10-5(rad/s)為地球自轉(zhuǎn)角速度。

如果目標(biāo)跟蹤丟失,并且需要利用彈道預(yù)報(bào)進(jìn)行航跡維持,則用四階四級龍格-庫塔法對彈道微分方程式(1)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,可以獲得足夠的遞推解算精度[16]。設(shè)目標(biāo)在t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為St,則在t+1時(shí)刻(時(shí)間間隔為Δt),運(yùn)動(dòng)狀態(tài)St+1可進(jìn)行遞推解算為

(2)

1.2 單純彈道預(yù)報(bào)方法的誤差分析

(3)

式中,

St+1≈BSt

(4)

設(shè)在k時(shí)刻前,雷達(dá)跟蹤正常,利用持續(xù)的觀測量Z1,Z2,…,Zk可得在k時(shí)刻Sk的最小均方誤差估計(jì)的協(xié)方差矩陣為Pk。若k+1時(shí)刻目標(biāo)跟蹤丟失,則其利用式(1)進(jìn)行外推的預(yù)報(bào)狀態(tài)協(xié)方差陣Pk+1可表示為(忽略過程噪聲)

Pk+1=BPkBT

(5)

若其以Sk為初值利用單純彈道預(yù)報(bào)方法進(jìn)行彈道預(yù)報(bào),則遞推n步以后狀態(tài)量為

Sn=BnSk

(6)

則遞推n步后的預(yù)報(bào)狀態(tài)協(xié)方差陣Pn可表示為

Pn=BnPk(BT)n

(7)

由式(7)可見,遞推誤差以跟蹤丟失前狀態(tài)估計(jì)誤差Pk為起始呈現(xiàn)逐步放大趨勢。

2 群目標(biāo)跟蹤條件下的相對彈道預(yù)報(bào)方法

在雷達(dá)對CSOs中多個(gè)彈道目標(biāo)進(jìn)行群目標(biāo)跟蹤時(shí),由于具有相似的量測偏移量和過程噪聲,群內(nèi)多子目標(biāo)間的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)誤差要明顯優(yōu)于單個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)誤差。因此,當(dāng)群內(nèi)某一子目標(biāo)跟蹤丟失時(shí),若需要利用彈道預(yù)報(bào)進(jìn)行航跡維持,可以考慮獲取丟失前群內(nèi)多子目標(biāo)間的高精度相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài),利用未丟失的其他子目標(biāo)跟蹤航跡用相對彈道預(yù)報(bào)的方式來維持已丟失子目標(biāo)的航跡。

2.1 兩個(gè)彈道目標(biāo)相對運(yùn)動(dòng)模型

設(shè)群內(nèi)兩個(gè)彈道目標(biāo)的狀態(tài)量分別為S1、S2,定義相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量為ΔS=S2-S1。則在t時(shí)刻,相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)ΔSt可表示為

(8)

在兩個(gè)子目標(biāo)跟蹤存續(xù)期,各個(gè)子目標(biāo)建立獨(dú)立的濾波器維護(hù)各自的狀態(tài)估計(jì)值。濾波器可以選取擴(kuò)展卡爾曼濾波、不敏卡爾曼濾波、多模型等方法[17-20],本文不再贅述。利用式(8)維護(hù)一個(gè)開環(huán)的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì),以備某一子目標(biāo)跟蹤丟失后作為彈道預(yù)報(bào)的初始值。

2.2 目標(biāo)跟蹤丟失后的航跡維持方法

(9)

圖1為子目標(biāo)2跟蹤丟失前的t時(shí)刻和子目標(biāo)2跟蹤丟失的t+1時(shí)刻兩幀的跟蹤狀態(tài)估計(jì)過程流程圖。

圖1 目標(biāo)跟蹤丟失前后的狀態(tài)估計(jì)過程Fig.1 State estimation process before and after target tracking loss

2.3 群目標(biāo)跟蹤條件下的相對彈道預(yù)報(bào)方法誤差分析

(10)

定義B′=B2-B1,則

(11)

(12)

(13)

則遞推n步以后子目標(biāo)2的預(yù)報(bào)狀態(tài)協(xié)方差陣可表示為

(14)

2.4 利用群內(nèi)目標(biāo)間的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系提高彈道預(yù)報(bào)精度的機(jī)理分析

為描述方便,將常用的單純彈道預(yù)報(bào)方法簡稱為BF-single方法,將本文提出的群目標(biāo)跟蹤條件下的相對彈道預(yù)報(bào)方法簡稱為BF-relative方法。

2.4.1 定性分析

假設(shè)目標(biāo)2在k+1時(shí)刻以后跟蹤丟失,將式(7)與式(14)做差,可得

(15)

(16)

2.4.2 定量分析

以對高度為500 km的彈道導(dǎo)彈進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)為例,設(shè)雷達(dá)對單目標(biāo)的絕對測量誤差為δS0=[200 200 200 20 20 20],相對測量誤差δΔS0分別為絕對測量誤差δS0的10%、30%、50%和80%幾種情況時(shí)(即κ分別為0.1、0.3、0.5、0.8),兩種預(yù)報(bào)方法的外推時(shí)長與位置預(yù)報(bào)誤差對比如圖2所示。

圖2 兩種預(yù)報(bào)方法的外推誤差對比Fig.2 Comparison of position error between two trajectory prediction methods

由圖2可見,兩種預(yù)報(bào)方法的誤差大小主要取決于初值時(shí)刻絕對誤差或相對誤差的大小,即相對誤差越小則外推誤差越小。這恰恰證明了本文討論問題出發(fā)點(diǎn)的正確性。

2.5 群內(nèi)多個(gè)目標(biāo)時(shí)的航跡維持方法

下面將BF-relative方法推廣至更一般的群內(nèi)多個(gè)目標(biāo)情形。

步驟3計(jì)算t+1時(shí)刻各跟蹤目標(biāo)對丟失目標(biāo)1的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)預(yù)測值和誤差協(xié)方差,即

(17)

(18)

步驟4計(jì)算t+1時(shí)刻各跟蹤目標(biāo)對子目標(biāo)1的狀態(tài)估計(jì)(即預(yù)報(bào)值)和誤差協(xié)方差,即

(19)

(20)

步驟5合成各跟蹤目標(biāo)對子目標(biāo)1的狀態(tài)估計(jì),計(jì)算t+1時(shí)刻子目標(biāo)1的狀態(tài)估計(jì)和誤差協(xié)方差[21-22],即

(21)

(22)

對于群內(nèi)多個(gè)子目標(biāo)跟蹤丟失的情形,仍可用上述方法,利用剩余跟蹤的航跡維持所有丟失子目標(biāo)航跡。只要群內(nèi)還剩余不少于1個(gè)子目標(biāo)跟蹤航跡,就能完成對群內(nèi)所有丟失子目標(biāo)的預(yù)報(bào)航跡更新。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

(1)兩個(gè)彈道目標(biāo)情形

利用典型600 km射程彈道導(dǎo)彈彈頭及其分離物的理論彈道,構(gòu)成由兩個(gè)彈道目標(biāo)組成的CSOs。雷達(dá)對這兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行群目標(biāo)跟蹤,形成了子目標(biāo)1和子目標(biāo)2。前80 s,雷達(dá)同時(shí)跟蹤子目標(biāo)1和子目標(biāo)2;80～220 s,雷達(dá)丟失子目標(biāo)2,只跟蹤子目標(biāo)1,在下面3種情況下利用彈道預(yù)報(bào)生成了子目標(biāo)2的預(yù)報(bào)航跡。這3種情況包括:①用BF-single方法,以子目標(biāo)2在80 s丟失前的狀態(tài)量為初值進(jìn)行彈道預(yù)報(bào);②用BF-relative方法,用子目標(biāo)1當(dāng)前跟蹤航跡,通過相對彈道預(yù)報(bào)維持子目標(biāo)2航跡,其中,雷達(dá)相對誤差設(shè)定為0.01°;③仍用BF-relative方法,雷達(dá)相對誤差放大到0.03°。通過仿真檢驗(yàn)本文闡述的相對彈道預(yù)報(bào)方法的有效性。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

(2)多個(gè)彈道目標(biāo)情形

仍利用典型600 km射程彈道導(dǎo)彈彈頭及其分離物的理論彈道,構(gòu)成由4個(gè)彈道目標(biāo)組成的CSOs。雷達(dá)對這4個(gè)目標(biāo)進(jìn)行群目標(biāo)跟蹤,形成了子目標(biāo)1～子目標(biāo)4。前80 s,雷達(dá)同時(shí)跟蹤子目標(biāo)1～子目標(biāo)4;80～220 s,雷達(dá)丟失子目標(biāo)1,子目標(biāo)2～子目標(biāo)4仍能保持跟蹤,在下面兩種情況下利用BF-relative方法生成了子目標(biāo)1的預(yù)報(bào)航跡。①只用子目標(biāo)2當(dāng)前跟蹤航跡,通過相對彈道預(yù)報(bào)維持子目標(biāo)1航跡;②綜合利用子目標(biāo)2～子目標(biāo)4當(dāng)前跟蹤航跡,通過相對彈道預(yù)報(bào)維持子目標(biāo)1航跡。通過仿真比較檢驗(yàn)多個(gè)子目標(biāo)共同維持丟失子目標(biāo)航跡的精度提升效果。仿真參數(shù)與表1一致(其中,雷達(dá)相對誤差均設(shè)定為0.03°)。

3.2 仿真結(jié)果分析

通過跟蹤航跡位置的均方根誤差(root mean square error,RMSE)表征航跡跟蹤或預(yù)報(bào)效果。假設(shè)蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)為M,則位置的RMSE可表示為

(1) 兩個(gè)彈道目標(biāo)仿真結(jié)果分析

作為對比,同時(shí)給出以下4種情況位置誤差隨時(shí)間的變化曲線:

①子目標(biāo)1在0～220 s跟蹤位置誤差;

②子目標(biāo)2在0～80 s跟蹤位置誤差和80～220 s用BF-single方法預(yù)報(bào)外推的位置誤差;

③子目標(biāo)2在0～80 s跟蹤位置誤差和80～220 s用BF-relative方法預(yù)報(bào)外推的位置誤差(01號參數(shù):雷達(dá)相對角誤差0.01°);

④子目標(biāo)2在0～80 s跟蹤位置誤差和80～220 s用BF-relative方法預(yù)報(bào)外推的位置誤差(02號參數(shù):雷達(dá)相對角誤差0.03°)。

仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 4種跟蹤位置誤差仿真對比結(jié)果Fig.3 Simulation results of tracking position error in four cases

仿真結(jié)果與誤差特性分析的結(jié)論是一致的,即當(dāng)雷達(dá)對多目標(biāo)探測信息相關(guān)性較好時(shí),相比于BF-single方法,本文提出的BF-relative方法大幅提高了彈道預(yù)報(bào)精度。當(dāng)雷達(dá)相對誤差較小時(shí)(在上述仿真場景下為0.01°,即相對測量誤差為絕對測量誤差的10%),BF-relative方法得到的目標(biāo)2預(yù)報(bào)航跡與目標(biāo)1的跟蹤航跡位置誤差基本相當(dāng)。

(2) 多個(gè)彈道目標(biāo)仿真結(jié)果分析

作為對比,同時(shí)給出以下兩種情況位置誤差隨時(shí)間的變化曲線:

①子目標(biāo)1在0～80 s跟蹤位置誤差和80～220 s用2個(gè)彈道目標(biāo)相對關(guān)系預(yù)報(bào)外推的位置誤差;

②子目標(biāo)1在0～80 s跟蹤位置誤差和80～220 s用4個(gè)彈道目標(biāo)相對關(guān)系綜合預(yù)報(bào)外推的位置誤差。

仿真結(jié)果如圖4所示。仿真結(jié)果表明,當(dāng)群內(nèi)有超過兩個(gè)子目標(biāo)時(shí),只要群內(nèi)還剩余不少于1個(gè)子目標(biāo)跟蹤航跡,就能完成對群內(nèi)所有丟失子目標(biāo)的預(yù)報(bào)航跡更新,但相比于利用兩個(gè)子目標(biāo)間相對關(guān)系維持丟失子目標(biāo)航跡,用多個(gè)子目標(biāo)共同維持丟失子目標(biāo)航跡的精度提升效果明顯。因此,在計(jì)算資源允許時(shí),應(yīng)盡量選用多個(gè)目標(biāo)合成外推的方法。

圖4 兩個(gè)和4個(gè)彈道目標(biāo)預(yù)報(bào)位置誤差仿真對比結(jié)果Fig.4 Simulation results of tracking position error in two and four tracks

4 結(jié) 論

提出了空間群目標(biāo)跟蹤條件下的BF-relative方法。本方法挖掘利用了雷達(dá)在探測群目標(biāo)時(shí)相對誤差一般小于單個(gè)目標(biāo)的絕對誤差的特性,通過仿真表明,本方法相比傳統(tǒng)單目標(biāo)BF-relative方法精度大幅提高。

需要說明的是,該方法的基礎(chǔ)是該預(yù)測的相對誤差能較好地作為估計(jì)狀態(tài)相對誤差的估計(jì),而這需要有一定前提的,即群目標(biāo)間不能發(fā)生機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng),一旦其中一個(gè)目標(biāo)存在機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng),這個(gè)相對誤差估計(jì)結(jié)果就是錯(cuò)誤的。

通過誤差分析,探討了本方法誤差傳遞機(jī)理,同時(shí),也明確了后續(xù)進(jìn)一步提升彈道預(yù)報(bào)精度的方向。今后的工作是研究進(jìn)一步提升跟蹤存續(xù)期群目標(biāo)間相對精度的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)方法。