李 姣 娜

(重慶電子工程職業(yè)學(xué)院,重慶 401331)

對(duì)于求解積分、代數(shù)方程，線性方程組、中心極限定理等問題，常規(guī)的數(shù)學(xué)解法一般可以很好地幫助我們解決，但有些公式的計(jì)算數(shù)據(jù)較為龐大或復(fù)雜難解，這就為處理問題帶來困擾。而研究客觀現(xiàn)象或分析一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，可以先構(gòu)造一個(gè)與該現(xiàn)象或系統(tǒng)相似的模型，通過在模型上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來研究原模型，這就是模擬。隨機(jī)系統(tǒng)可以用概率模型來描述并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這就是隨機(jī)模擬方法。我們常見的道路交叉口的紅路燈的交替時(shí)間就是隨機(jī)模擬的結(jié)果。

1 蒙特卡羅方法的起源

2 蒙特卡羅方法的基本特征

2.1 蒙特卡羅方法的思想

用蒙特卡羅方法解決問題的基本思想是：

1)根據(jù)提出的問題，構(gòu)造或描述一個(gè)相關(guān)的概率模型或隨機(jī)過程，使問題所需求的解與構(gòu)建的模型中的一些統(tǒng)計(jì)值(如概率、均值或方差等)保持一致，所構(gòu)造的模型在主要特稱參量方面也要與所求問題相一致；

2)根據(jù)模型中各個(gè)隨機(jī)變量的分布，適當(dāng)?shù)貜囊阎植嫉哪阁w中抽樣，在計(jì)算機(jī)模擬中生成隨機(jī)數(shù)；

3)建立估計(jì)量，獲取結(jié)果，即根據(jù)隨機(jī)過程建立某些估計(jì)值，大量重復(fù)試驗(yàn)，對(duì)其比較分析，最終給出問題的最優(yōu)概率解，從而得到問題的近似值。

不難看出，與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法相比較，蒙特卡羅方法借助計(jì)算機(jī)減緩了實(shí)現(xiàn)的困難，且可操作性強(qiáng)、直觀易懂。而其他數(shù)學(xué)方法較難處理甚至不能處理的復(fù)雜問題，它都可以找到恰當(dāng)?shù)姆绞絹硖幚怼?/p>

2.2 蒙特卡羅方法的原理

蒙特卡羅方法的基本過程就是通過隨機(jī)數(shù)的抽樣值xi(i=1,2,…，N)，構(gòu)造未知待求量的估計(jì)值。其中最主要的理論依據(jù)為中心極限定理[3]。

隨機(jī)變量xi(i=1,2,…，N)彼此獨(dú)立同分布，并且均值為E(xi)=μ，方差為D(xi)=σ2，當(dāng)N充分大時(shí)(N→∞) ，有

即當(dāng)N充分大時(shí)，對(duì)于給定概率1-α(α為給定顯著水平)，有

3 蒙特卡羅方法在數(shù)值計(jì)算方面的應(yīng)用

3.1 理論基礎(chǔ)

隨著計(jì)算機(jī)的日益普及和信息技術(shù)的突飛猛進(jìn)，蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)、機(jī)械、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，它已經(jīng)成功解決了許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)和物理問題，尤其在物理過程、原子能技術(shù)、武器裝備論證[4]等問題和相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究中發(fā)揮了極其重要的作用，體現(xiàn)了很高的應(yīng)用價(jià)值。

(1)

從式(1)中可以看出，蒙特卡羅方法需要進(jìn)行大量的隨機(jī)模擬，其精度與樣本容量N有直接關(guān)系。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，該方法的計(jì)算成本劣勢(shì)已逐漸淡化。

3.2 應(yīng)用舉例

3.2.1 隨機(jī)投點(diǎn)方法

對(duì)(0,1)區(qū)間均勻分布隨機(jī)數(shù)抽樣(如圖1)，抽樣值為ξi，對(duì)(0,M)區(qū)間均勻分布隨機(jī)數(shù)抽樣(任取常數(shù)M≥f(x))，抽樣值為ηi，且當(dāng)ηi≤f(ξi)時(shí)，點(diǎn)(ξi，ηi)落入曲線y=f(x)下方，其中i=1,2,……，N。

3.2.2 重要度抽樣方法

在重選樣中我們選擇重砂1、重砂3、重砂5及重選尾礦進(jìn)行了全方位考察。鈮鉭礦物、黃鐵礦等金屬硫化物及其他比重較大的礦物主要富集于重砂1中，為此又對(duì)重砂1進(jìn)行了浮選分離(表6)，分離出以硫化物為主的硫精礦(浮硫精)和以氧化物為主的硫尾礦(浮硫尾)。重砂5中除石英外，云母含量亦較高，云母為銣的重要載體礦物，故我們對(duì)重砂5中云母進(jìn)行了浮選富集。重選尾礦樣經(jīng)X衍射分析結(jié)果表明，成分主要為云母、石英和長(zhǎng)石類礦物。

3.2.3 平均值方法

圖1 隨機(jī)投點(diǎn)方法示意圖 圖2 (a,b)上定積分的示意圖

圖3 (0，1)上的定積分示意圖

3.3 隨機(jī)模擬

function jifen=jifen(N)

n=0;

for i=1:N

x=rand;

y=rand;

if y

n=n+1;%累加小球落入陰影部分次數(shù)

else

n=n;

end

end

n

p=n/N

圖4 程序編寫示意圖

表1 程序運(yùn)行結(jié)果

可見，當(dāng)模擬的試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，其結(jié)果與真實(shí)值有一定誤差，而試驗(yàn)當(dāng)超過 次，其模擬的結(jié)果和真實(shí)值1/3很近似。

結(jié)論

可以看出，利用蒙特卡羅方法求解本來不具隨機(jī)性質(zhì)的確定性的實(shí)際問題，例如計(jì)算定積分，解線性方程組等問題，主要是人為構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)過程，建立估計(jì)量，使其期望值正好是所求問題的解，最后根據(jù)所構(gòu)造的概率模型編程計(jì)算，獲得結(jié)果。該方法在概率研究和計(jì)算機(jī)運(yùn)用方面有值得借鑒的意義。