含真空貢獻(xiàn)的3種味道的QM模型的手征相變*

魯海鵬，劉 敏

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 102206)

量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)是目前被大眾接受關(guān)于強(qiáng)相互作用的基礎(chǔ)理論，是夸克和膠子的動(dòng)力學(xué).不同于標(biāo)準(zhǔn)模型中的其他理論，QCD在低能下展現(xiàn)獨(dú)特的非微擾特性，所以QCD理論無(wú)法用嚴(yán)格的微擾論處理.一種可以代替QCD的格點(diǎn)QCD計(jì)算方法能夠在QCD相圖結(jié)構(gòu)中獲得更多的經(jīng)驗(yàn)，但因其在有限化學(xué)勢(shì)下會(huì)出現(xiàn)著名的符號(hào)問(wèn)題，故無(wú)法計(jì)算出QCD中的可靠結(jié)果，更嚴(yán)重的問(wèn)題是，不同格點(diǎn)方法之間是相互沖突的[1].鑒于格點(diǎn)QCD的局限性，低能有效模型獲得了發(fā)展，它與QCD有相似的對(duì)稱性，可再現(xiàn)QCD的一些特征和性質(zhì)，其中應(yīng)用最廣泛的是NJL模型[2]和夸克-介子(QM)模型[3-4].目前，在平均場(chǎng)近似下，直接將夸克真空貢獻(xiàn)略去的辦法是可行的，但標(biāo)準(zhǔn)的平均場(chǎng)近似(SMFA)帶來(lái)了不一致的結(jié)果預(yù)測(cè)，例如在手征極限下和零化學(xué)勢(shì)處，QM模型一直保持一級(jí)手征相變，這與期望的結(jié)果矛盾[5-6].一旦考慮夸克的真空貢獻(xiàn)[7-8]，這一問(wèn)題就會(huì)消失，因此明確如何處理狄拉克海(真空貢獻(xiàn))十分關(guān)鍵，而本研究主要就是考慮真空貢獻(xiàn)所帶來(lái)的影響.筆者將在詳細(xì)分析QM模型的 “拉氏量”的基礎(chǔ)上，利用拉氏量得到系統(tǒng)的熱力學(xué)勢(shì)，再對(duì)熱力學(xué)勢(shì)中的發(fā)散的真空貢獻(xiàn)進(jìn)行正規(guī)化；通過(guò)已知的真空介子質(zhì)量來(lái)確定參數(shù)后，用仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該研究方法的可行性.

1 3種味道的QM模型

Lm= Tr(?μφ??μφ)-m2Tr(φ?φ)-λ1(Tr(φ?φ))2-λ2Tr(φ?φ)2+

c(det (φ)+det (φ?))+Tr(H(φ+φ?))，

(1)

其中：Ψ=(u,d,s)表示味道自由度Nf=3和色自由度Nc=3時(shí)的夸克場(chǎng)；φ?qǐng)鲇蓸?biāo)量場(chǎng)σα和贗標(biāo)量場(chǎng)πα構(gòu)成的介子場(chǎng)來(lái)定義，即φ=Tαφα=Tα(σα+iπα).

Tr(TaTb)=δab/2，[Ta,Tb]=ifabcTc，{Ta,Tb}=dabcTc.

(2)

(3)

這時(shí)奇異夸克和輕夸克凝聚相互獨(dú)立[10].化簡(jiǎn)(2)式，可得

由(2)和(3)式可得

(4)

(5)

由此可知，與奇異夸克和凝聚之間的關(guān)系類似，輕夸克質(zhì)量和凝聚也為線性關(guān)系，但是系數(shù)不同.

2 熱力學(xué)勢(shì)

求熱力學(xué)勢(shì)的方法與2種味道的情況類似[11-12]，在熱平衡下通過(guò)路徑積分得到配分函數(shù)

(6)

(7)

由(7)式可以看出，介子部分貢獻(xiàn)比較簡(jiǎn)單，而夸克-反夸克部分的貢獻(xiàn)涉及較復(fù)雜的積分.與2種味道的模型類似，積分的處理方法要用到費(fèi)米子的Matsubara頻率求和方法[13]，最終的夸克-反夸克部分的貢獻(xiàn)

(8)

(9)

為了保證熱力學(xué)勢(shì)取得最小值，對(duì)熱力學(xué)勢(shì)關(guān)于σl和σs進(jìn)行微分并令等式為0，即

(10)

3 正規(guī)化

(11)

(12)

4 參數(shù)確定

(13)

給出.其中：i=s,p;φs,a=σa；φp,a=πa;φs,b=σb；φp,b=πb.

(14)

將(12)式代入(14)式的第1項(xiàng)，可得

(15)

(16)

其中：

將λ2代入(16)式，可得

(17)

hl和hs通過(guò)平衡性條件(10)來(lái)確定，整理后得到

(18)

由(18)式可知hl，hs與c一樣也為常數(shù)，但λ2和λ1會(huì)受截?cái)鄥?shù)影響，而且λ1還會(huì)影響m2.g可由輕夸克的組分質(zhì)量ml=300 MeV(即(4)式)來(lái)確定，

(19)

實(shí)驗(yàn)中的已知量:衰變常數(shù)，fπ=92.4 MeV,fK=113 MeV；真空中的介子質(zhì)量，mπ=138 MeV，mK=496 MeV，mη′=963 MeV，mη=539 MeV，但σ介子的質(zhì)量mσ是不確定的，其取值范圍為400～900 MeV.表1給出了各模型參數(shù)隨mσ的變化情況，但g與mσ無(wú)關(guān).

表1截?cái)鄥?shù)Λ=600MeV時(shí)，與mσ對(duì)應(yīng)的各模型參數(shù)的取值

Table1DifferentParameterSetsforVariousmσwithΛ=600MeV

mσ/MeVc/MeVλ1m2/(MeV)2λ2h1/(MeV)3hs/(MeV)34004 807.5-7.45786.24227.54120.733336.4135004 807.5-4.43751.96227.54120.733336.4136004 807.5-0.62706.34227.54120.733336.4137004 807.54.17644.41227.54120.733336.4138004 807.510.30555.18227.54120.733336.4139004 807.519.00395.35227.54120.733336.413

5 手征相變

確定7個(gè)模型參數(shù)以后，對(duì)熱力學(xué)勢(shì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并對(duì)熱力學(xué)勢(shì)做變分求凝聚，手征對(duì)稱性恢復(fù)是在有限的溫度和化學(xué)勢(shì)下進(jìn)行的，并考慮明顯手征對(duì)稱性的異常破缺(c≠0).自始至終c都保持為常數(shù)，雖然真實(shí)的c會(huì)隨溫度和化學(xué)勢(shì)發(fā)生變化，但這里忽略這些變化.

5.1 夸克凝聚

圖1 零化學(xué)勢(shì)不同截?cái)鄥?shù)下輕夸克凝聚和 奇異夸克凝聚隨溫度的變化Fig. 1 Changes of Light Quark and Strange Quark Condensates with Function of Temperature for Zero Chemical Potential and Different Truncation Parameters

手征相變的相圖結(jié)構(gòu)完全由系統(tǒng)的整體熱力學(xué)勢(shì)來(lái)決定，(10)式的解是2個(gè)凝聚關(guān)于溫度和化學(xué)勢(shì)的函數(shù).3種味道情況下，化學(xué)勢(shì)通常是各自獨(dú)立的，但是這里筆者考慮對(duì)稱夸克物質(zhì)，也就是具有統(tǒng)一的化學(xué)勢(shì)，即μ=μl=μs的物質(zhì)，之后直接用μ來(lái)表示每種味道的化學(xué)勢(shì)，下標(biāo)x表示輕夸克，下標(biāo)y表示奇異夸克.

5.2 相圖

圖3 mσ=800 MeV時(shí)，有/無(wú)真空貢獻(xiàn)時(shí)的相圖Fig. 3 Phase Diagram with Without Vacuum Contribution for Value of mσ=800 Mev

由真空π和K介子的質(zhì)量確定參數(shù)，進(jìn)而得到凝聚.輕夸克凝聚隨溫度T或者化學(xué)勢(shì)μ溶解的速度比奇異夸克凝聚的溶解速度要快，筆者用輕夸克凝聚的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為手征相變的分界線，然后以輕夸克凝聚的拐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的溫度和化學(xué)勢(shì)來(lái)作相圖，并選取一個(gè)確定的mσ值來(lái)分析無(wú)真空貢獻(xiàn)對(duì)相變的影響.

6 結(jié)語(yǔ)

研究了有限溫度和化學(xué)勢(shì)下的手征對(duì)稱性恢復(fù).利用具有SU(3)L×SU(3)R對(duì)稱性的夸克介子模型實(shí)現(xiàn)真空中手征對(duì)稱性自發(fā)破缺，產(chǎn)生手征破缺相.熱力學(xué)勢(shì)中不含真空貢獻(xiàn)時(shí)，在零化學(xué)勢(shì)對(duì)應(yīng)的有限溫度處，手征對(duì)稱性從破缺相過(guò)渡為恢復(fù)相；而在零溫度所對(duì)應(yīng)的有限化學(xué)勢(shì)處，輕夸克凝聚出現(xiàn)了突變，手征對(duì)稱性從破缺相躍變?yōu)榛謴?fù)相.對(duì)于mσ相同且有真空貢獻(xiàn)的情況，也會(huì)出現(xiàn)類似的結(jié)論，只是對(duì)應(yīng)的有限溫度和有限化學(xué)勢(shì)都比無(wú)真空貢獻(xiàn)時(shí)大一些.