呈現(xiàn)知識生成過程的全國卷高考數(shù)學(xué)試題探究
——以一道數(shù)列題目為例

（四川省瀘州市瀘州老窖天府中學(xué) 四川瀘州 646000）

一、背景分析

《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》從“知識要求”、“ 能力要求”、“個性品質(zhì)要求”、“考查要求”四個方面對考生和高考試卷提出了要求。 其中，“知識要求”的理解層面提到“對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識，知道知識間的邏輯關(guān)系”；掌握層面提到“能夠?qū)λ械闹R內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明”?！翱疾橐蟆敝刑岬健皩?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既要全面又要突出重點(diǎn)。注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面?！笨梢?，高考試題對學(xué)生的要求不僅僅是會用知識，還需全面把握知識。而對知識的把握，重要的一個環(huán)節(jié)就是了解知識的生成過程。

二、一個經(jīng)典題目的分析

縱觀這幾年的高考全國卷，2017年全國卷III的數(shù)列解答題的第一問，對知識生成過程的考查，是個經(jīng)典的例子。此題出現(xiàn)在解答題的第一題第一問，著實(shí)讓很多考生猝不及防。說此題前，我們先來說說整個高中要求學(xué)生掌握的數(shù)列公式的邏輯線。

數(shù)列知識從一列數(shù)起源，找到規(guī)律，利用不完全歸納法得出等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式。其中，等差數(shù)列是后一項(xiàng)在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上不斷地加同一個數(shù)（即公差，通常用字母d表示），因此等差數(shù)列通項(xiàng)公式是等比數(shù)列通項(xiàng)公式（q 是指公比）的推導(dǎo)原理類似。除了研究通項(xiàng)公式，我們還研究前n 項(xiàng)和公式。前n 項(xiàng)和，通常記作Sn，顧名思義，數(shù)列的前n 項(xiàng)和是指由此意義，我們還可以知道兩式做差，我們可以有如下演算過程：

公式③便是已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式時的一個重要公式。

除此以外，利用倒序相加法我們推導(dǎo)出了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

將an=a1+(n?1)d 代入化簡可得：對此公式進(jìn)一步整理還可以變形為：

發(fā)現(xiàn)d≠0的等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式是一個關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)。另外，利用錯位相減法，也可以推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：

對此公式進(jìn)一步整理還可以變形為：

發(fā)現(xiàn)q≠1的等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式是一個關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)。

理清邏輯線，學(xué)生反復(fù)推導(dǎo)，掌握并記憶這些公式應(yīng)該是非常容易的了。下面我們來看看前面提到的2017年全國卷III的17題第一問：

這個題的第一問，讓很多學(xué)生難以入手，即使對高中所有的數(shù)列公式都爛熟于心，也不知道究竟代哪個公式。實(shí)際上，題干中的的前n項(xiàng)和。這是一個已知前n 項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式的題目，也就是前面提到的公式③?，F(xiàn)在我們來嘗試解答一下第一問：

這樣分析下來，這道高考試題對知識生成過程的呈現(xiàn)真得堪稱經(jīng)典。遺憾的是，此題學(xué)生的得分率低，結(jié)合筆者一線任教的經(jīng)歷來看，我們能發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在學(xué)生普遍現(xiàn)狀是：公式倒背如流，直接代公式的題目也是在反復(fù)刷題后得心應(yīng)手，對知識生成的來龍去脈，對公式的推導(dǎo)過程，卻是一知半解，甚至全然無知的。

結(jié)合前面說到的《考試大綱》的要求和高考試題的走向，再看看學(xué)生現(xiàn)狀，下面提一些應(yīng)對措施，供大家參考，不足之處，請多指教。

三、應(yīng)對措施

1.教師提高自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)，對高中數(shù)學(xué)幾大知識板塊應(yīng)有更深更廣的了解。

2.提高重視程度，放慢教學(xué)速度，切實(shí)抓好概念課的啟發(fā)式教學(xué)。給學(xué)生更多時間和空間，讓他們能夠獨(dú)立或者互助地完成公式定理的推導(dǎo)。

3.重視教材正文。教材正文都有完整的推導(dǎo)過程，學(xué)生和老師都應(yīng)更加重視，學(xué)生更是應(yīng)該反復(fù)研讀，不斷提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教材外的，教師還應(yīng)適當(dāng)給學(xué)生補(bǔ)充，或者引導(dǎo)學(xué)生去補(bǔ)充完善。