一種外轉子開關磁阻電機的數(shù)學模型

陳濤 胡鑫 向中凡 李波 陳永忠

（1.成都產(chǎn)品質量檢驗研究院有限責任公司 2.西華大學機械工程學院）

0 引言

目前，電動汽車被視為替代燃油汽車的主要汽車類型。電動汽車一般有電機集中驅動和四輪獨立驅動等方式。本文針對電動汽車輪轂驅動所采用的外轉子開關磁阻電機進行數(shù)學建模分析。

外轉子電機具有直接驅動輪胎、減少齒輪箱、傳動軸等優(yōu)點。開關磁阻電機具有結構簡單、成本低、控制靈活以及效率高等優(yōu)點[1]。外轉子開關磁阻電機采用雙凸極結構，定、轉子均采用硅鋼片疊壓而成。與傳統(tǒng)內(nèi)轉子開關磁阻電機不同的是：外轉子開關磁阻電機采用內(nèi)定子-外轉子模式。正如文獻[2]中對外轉子開關磁阻電機所描述，將產(chǎn)生磁力線的主繞組布置在內(nèi)定子上面，磁力線通過氣隙、外轉子齒和外轉子磁軛與內(nèi)定子形成閉合磁路。

眾所周知，磁路可以由電感L來進行描述，而電感主要取決于繞組匝數(shù)，磁路幾何形狀與尺寸，磁路材料的磁導率。在電磁能量轉換裝置中，氣隙將可動磁路部分和其他部分分離。大多數(shù)情況下，因為鐵磁材料的磁導率高，磁路的磁阻Rm主要為氣隙的磁阻。因此，大多數(shù)能量儲存在氣隙中[3]。因此，外轉子開關磁阻電機的數(shù)學模型主要的目的是在外轉子轉動時選取其中一個瞬態(tài)，對氣隙磁導的分割求取，進一步達到電感和電磁轉矩的求取分析。

文獻[4-5]提出了一種無軸承開關磁阻電機的數(shù)學模型，該數(shù)學模型主要內(nèi)容是基于直線磁路和新型橢圓磁路分割來分析氣隙磁導，保證了電機在最大電感位置電磁轉矩和電感的連續(xù)性。同時也描述了沿α和β方向徑向懸浮力之間的耦合關系。

本文通過磁路和氣隙的對比分析，外轉子開關磁阻電機的氣隙分割采用文獻[5]的分割方式，通過得到外轉子轉動過程中電感與轉動角的關系式，得到電磁轉矩和轉動角的關系式。最后用Matlab進行圖形描述，并計算轉動過程中的電磁轉矩。

1 外轉子開關磁阻電機的運行原理

外轉子開關磁阻電機作為電動汽車輪轂驅動電機，需要減小轉矩脈動，因此本文以四相12/16結構的外轉子開關磁阻電機為例，在忽略掉因電機在轉動過程中沿α和β方向的微弱位移，理想狀況下，圖1中是外轉子開關磁阻電機A相導通的原理圖，實線表示電機內(nèi)定子四極繞組電流ia產(chǎn)生的對稱四極磁通。從圖中可以看出，外轉子開關磁阻電機與內(nèi)轉子開關磁阻電機一樣，由麥克斯韋應力理論可知，外轉子開關磁阻電機依然遵循最小磁阻原理。因此四極磁通中大部分磁力線在氣隙中是彎曲的，彎曲的磁力線中的切向磁力線產(chǎn)生使電機外轉子沿固定方向轉動的轉矩，而切向磁力線所產(chǎn)生的力因方向相反而抵消掉[6]。

圖1 外轉子開關磁阻電機運行原理

2 外轉子開關磁阻電機的數(shù)學模型

2.1 數(shù)學模型設定條件

電機的數(shù)學模型是對電機理論分析最重要的一個環(huán)節(jié)，本文將在內(nèi)轉子開關磁阻電機的磁場分析的基礎上，對外轉子開關磁阻電機的氣隙磁路進行分割，推導出適用于求取外轉子開關磁阻電機氣隙磁導的計算方法。然后根據(jù)氣隙磁導求取電感和電磁轉矩表達式，達到數(shù)學建模的目的。因此，在本次數(shù)學模型中，12/8三相外轉子開關磁阻電機采用有軸承結構，三相輪流導通。以圖1中的A相繞組進行分析，與氣隙長度相比，忽略外轉子的徑向位移；忽略定子交鏈轉子槽底的磁通；定義外轉子與定子極正對時的角度為0度，此時邊緣磁通為0；忽略實際電機中出現(xiàn)的磁飽和現(xiàn)象以及漏磁通；外轉子順時針旋轉轉角為正。

2.2 電感表達式的求取

圖2 A相外轉子開關磁阻電機等效磁路圖

文獻[4]提供了一組求取某一相繞組電感的表達式：

Lma就是相繞組的自感，P=P1+P2+P3+P4。

在本文中討論外轉子開關磁阻電機時，由于忽略外轉子的徑向位移，因此，氣隙長度不受外轉子徑向影響，所以氣隙磁導P1、P2、P3、P4相等。在內(nèi)定子主繞組自感遠遠大于互感，因此互感可以忽略不計[7]，所以僅需要計算內(nèi)定子繞組上的自感。由式（1）簡化為：

2.3 外轉子開關磁阻電機的氣隙磁導

根據(jù)對外轉子開關磁阻電機的有限元分析而產(chǎn)生的磁力線分布圖，內(nèi)定子繞組產(chǎn)生的氣隙磁路的邊緣磁力線接近于橢圓[2,8]。因此本文以圖1中畫出磁感線的A相繞組為例，對其中一個繞組按照橢圓進行磁路分割。如圖3所示，該氣隙磁導分為三部分組成：外轉子與內(nèi)定子之間重疊部分氣隙磁導為Pc和邊緣磁路產(chǎn)生的氣隙磁導Pa和Pb。由于磁路分割的對稱性，Pa與Pb近似相等，即A相的P1滿足下列公式：

圖3 A相一繞組的氣隙磁路分割

將A相一繞組分割如圖3所示的三部分，從外轉子開關磁阻電機磁路有限元分析[7]和無軸承內(nèi)轉子磁路分布的對比分析，外轉子開關磁阻電機的橢圓磁力線的短半軸位于外轉子齒上，長為t，而長半軸位于內(nèi)定子齒上，長度為ε+kt。磁路系數(shù)k是轉角θ和氣隙相關的函數(shù)[5]，可以表示為：

前面提到，有軸承外轉子開關磁阻電機中，電機外轉子徑向位移忽略不計，即理想狀態(tài)下，分析外轉子轉動角度與氣隙磁導的關系，如圖4所示，θ2表示電機外轉子與內(nèi)定子轉動時重疊角度的一半，而θ則表示外轉子與內(nèi)定子中心所形成的未重合的部分的夾角。

圖4 A相一繞組氣隙與定、轉子間數(shù)量關系

在圖4中，滿足如下幾何關系：

由圖3可以看出，將電機外轉子與內(nèi)定子之間重合的部分磁路近似于直線磁路，則這一部分的氣隙磁導Pc滿足下列表達式：

式中，h為外轉子電機中內(nèi)定子軸向內(nèi)定子鐵心長度；μ0為空氣中的磁導率；r為外轉子內(nèi)徑。

上述Pa=Pb，因此dPa的截面積ds可以近似表示為：

表示兩平行面磁路長度，而由于Pa和Pb部分是橢圓部分，因此引入橢圓周長計算公式求得

將式（7）帶入式（8）可得氣隙磁導Pa和Pb部分。

由式（10）和式（3）可得：

由式（11）可得外轉子開關磁阻電機的電感表達式：

2.4 外轉子開關磁阻電機的數(shù)學模型計算理論電磁轉矩

開關磁阻電機的電磁轉矩的求取一般采用虛功原理，大多數(shù)能量儲存在氣隙中。因此，電磁轉矩必然與氣隙磁場儲能有關，作用在外轉子上面的電磁轉矩可由氣隙磁場儲能W對θ求偏導，進行近似計算[3]。

由于忽略電機內(nèi)定子繞組互感，因此A相繞組齒極下面氣隙磁場能量為W為：

綜合式（10）和式（11）可以得到：

由式（12）可得：當θ≥0時，

當θ＜0時，

得到外轉子開關磁阻電機的電磁轉矩的公式：

當θ≥0時，

當θ＜0時，

對于A相瞬間電磁轉矩在一個開通周期內(nèi)的平均電磁轉矩為：

3 外轉子開關磁阻電機數(shù)學模型輸出

本實驗通過普通開關磁阻電機推演，得到電機外轉子外徑為262mm。參考開關磁阻電機相關參數(shù)設計[9]。外轉子部分減去軛高和齒高，外轉子內(nèi)徑為198mm，內(nèi)定子外徑為197mm。氣隙長度為0.5mm。為了與Ansoft Maxwell2D靜態(tài)場仿真結果對比，內(nèi)定子鐵心長度設置為1m。繞組匝數(shù)為27匝。因此，利用Matlab中的m函數(shù)對外轉子開關磁阻電機中A相繞組導通時產(chǎn)生的電感進行計算所得到的結果如圖5、6所示。

4 結束語

由于外轉子開關磁阻電機某一相繞組導通時磁路的有限元分析，與無軸承開關磁阻電機的磁路有限元分析相似，因此引用無軸承開關磁阻電機分割磁路的方法，對外轉子開關磁阻電機進行磁路分割，該方法能夠很好地計算外轉子開關磁阻電機理想狀況下的氣隙磁導，解決外轉子開關磁阻電機電感和電磁轉矩無公式化問題，還精確地得出外轉子開關磁阻電機在理想狀態(tài)下具有相對恒定的電磁轉矩。為外轉子開關磁阻電機實際設計提供理論依據(jù)。

圖5 A相導通時，電感La隨角度θ的變化曲線

圖6 Maxwell2D靜態(tài)場電感曲線仿真結果