加權(quán)復(fù)合算子在Dirichlet空間上的有界性

林慶澤

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

0 引言

當(dāng)0＜p＜∞時(shí)，用Ap表示單位圓盤Δ上滿足

Dirichlet空間D（p0＜p＜∞）為f'屬于Bergman空間Ap的單位圓盤Δ上所有滿足的解析函數(shù)f組成的空間.

容易驗(yàn)證，當(dāng)1≤p＜∞時(shí)，Dp是一個(gè)Banach空間.記H（Δ）表示單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)組成的函數(shù)空間.若φ，φ，f∈H（Δ）且φ（Δ）?Δ，則定義加權(quán)復(fù)合算子為

近年來(lái)，關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ作用在不同的函數(shù)空間上的研究是一個(gè)熱門的研究課題.文獻(xiàn)[1-2]得到了加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ作用在Hardy空間上有界性等性質(zhì).文獻(xiàn)[3-4]給出了Wφ，φ作用在不同加權(quán)Bergman空間之間和不同Hardy空間之間的有界性和緊性等性質(zhì)的刻畫.另外，文獻(xiàn)[5-7]還研究了加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ作用在Bloch型空間上的有界性、緊性和本性范數(shù)等性質(zhì).

關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子的研究背景，最具代表性的成果是文獻(xiàn)[8]證明了Hardy空間H1上的線性等距變換都是加權(quán)復(fù)合算子，緊接著Forelli在文獻(xiàn)[9]中證明了當(dāng)1≤p＜∞，p≠2時(shí)，在Hardy空間Hp空間上也有相同的結(jié)論.文獻(xiàn)[10-11]證明了導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp和Dirichlet空間Dp上的線性等距變換也有類似的結(jié)論.在加權(quán)Bergman空間上，Kolaski在文獻(xiàn)[12-13]上得到了線性等距變換可以表示為加權(quán)復(fù)合算子的相似結(jié)論.

對(duì)于加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ，如果令φ（z）＝z，便得到了乘法算子Mφ:fφf(shuō)；如果φ≡1，則得到復(fù)合算子Cφ:ff φ.近幾十年，這兩種算子在不同的函數(shù)空間上的有界性和緊性等性質(zhì)的研究也是一個(gè)熱門的研究課題，可參考文獻(xiàn)[14-16].而在導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp上的復(fù)合算子的研究則開(kāi)始于Roan的文獻(xiàn)[17].隨后，MacCluer在文獻(xiàn)[18]中用Carleson測(cè)度刻畫了Sp空間上的復(fù)合算子的有界性和緊性.Contreras和Hernandez-Diaz[19]將導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp上的加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性的研究轉(zhuǎn)化為研究Hp空間上的加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性.受文獻(xiàn)[19]思路的啟發(fā)，Kumar[20]利用Carleson測(cè)度[21]將Dirichlet空間Dp上的加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性的研究轉(zhuǎn)化為研究Ap空間上的加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性.

受文獻(xiàn)[22]的啟發(fā)，當(dāng)2＜q≤p＜∞時(shí)，本文給出了Dp空間中元素的基于有限零點(diǎn)的分解并得到了當(dāng)φ是Δ上的共形滿射時(shí)Dirichlet空間Dp到Dq上加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ的有界性的充要條件：Wφ，φ在Dp到Dq空間上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Dq.而作者與其他合作者關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ在導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp上的有界性的類似成果可參考文獻(xiàn)[23].

1 加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ在Dirichlet空間Dp上的有界性

下面命題1的證明思路參考于文獻(xiàn)[24-25]：

命題1若2＜p＜∞，則對(duì)于任意的f∈Dp，，從而Dp?H∞.

證明 若f∈Dp，則由定義f'∈Ap.由文獻(xiàn)[26-27]我們有

因此，

從而，

證畢.

下面的引理可參考文獻(xiàn)[27]：

引理1若φ是Δ上的解析函數(shù)且φ（Δ）?Δ，p＞0，則對(duì)于?f∈Ap，都有

我們證明下面的命題.

命題2若2＜p＜∞，當(dāng)φ是Δ上的共形滿射，f，g∈Dp時(shí)，以下結(jié)論成立：

（1）φ'∈H∞；

（2）存在某個(gè)與p和 φ 有關(guān)的常數(shù)cp，φ＞0，使得；

證明（1）由復(fù)分析可知，φ是Δ上的共形滿射當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)a∈Δ以及單位模復(fù)數(shù) ，使得

從而

（2）由命題1，我們有

證畢.

由命題2中（3）可推出，若2＜p＜∞，則Dp對(duì)于函數(shù)的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)Banach代數(shù).

下面給出Dp空間中元素的基于有限零點(diǎn)的分解.

命題3若2＜p＜∞，f∈Dp，而ζ∈Δ是f的n階零點(diǎn)，那么存在g∈Dp，使得g（ζ）≠0 且 f（z）＝（z－ζ）ng（z），z∈Δ.

證明 由 ζ∈Δ 是 f的 n階零點(diǎn)，故存在 g∈H（Δ），使得 g（ζ）≠0且 f（z）＝（z－ζ）n·g（z），z∈Δ.下面證明 g∈Dp.

由于g∈H（Δ），上面不等式右邊第一個(gè)積分必定有界，現(xiàn)只需考慮第二個(gè)積分的上界.命題證畢.

推論1若2＜p＜∞，f∈Dp，而ζ1，ζ2，…，ζn∈Δ是f的零點(diǎn)（可以相同），那么存在g∈Dp，使得g（ζ）i≠0，i＝1，2，…，n，且.

對(duì)于任意給定的z0∈Δ，若2＜p＜∞，由可知，線性泛函作用在D（p2＜p＜∞）空間上是有界的.下面的推論給出了線性泛函Ez0與算子Mz－z0作用在Dp空間上的聯(lián)系.

推論2若2＜p＜∞，當(dāng)線性泛函Ez0與算子Mz－z0作用在Dp空間上時(shí)，有：

證明 對(duì)于任意的f∈Ke（rEz0），由命題3，存在g∈Dp使得f（z）＝（z－z0）g（z），z∈Δ，即 f∈Ran（Mz－z0）.反過(guò)來(lái)則是顯然的.證畢.

下面給出當(dāng)φ是Δ上的共形滿射時(shí)加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ在Dp空間上的有界性的充要條件.

定理1當(dāng)2＜q≤p＜∞時(shí)，若φ，φ∈H（Δ），φ（Δ）?Δ，且φ是Δ上的共形滿射，則加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ在Dp到Dq空間上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Dq.

證明 若Wφ，φ是有界的，則取f＝1，由

可知φ∈Dq.

現(xiàn)假設(shè)φ∈Dq，則由命題2，有

亦即Wφ，φ在Dp到Dq空間上是有界的.證畢.

當(dāng)取φ（z）＝z，z∈Δ時(shí)，由定理1，我們得到了關(guān)于乘法算子Mφ在Dp到Dq空間上有界性的充分必要條件：

推論3當(dāng)2＜q≤p＜∞時(shí)，若φ∈H（Δ），則乘法算子Mφ在Dp到Dq空間上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Dq.

注1文獻(xiàn)[28]證明了當(dāng)0＜q＜p＜∞時(shí)，若φ∈H（Δ），則乘法算子Mφ在Dp到Dq空間上是有界的當(dāng)且僅當(dāng)φ≡0.