泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例

遠巧針 三門峽職業(yè)技術(shù)學院 公共教學部

泰勒公式主要是指以函數(shù)的形式描述某點信息及其附近取值的數(shù)學公式，若函數(shù)足夠平滑，則在函數(shù)已知及其某點導數(shù)各階數(shù)值已知情況下，運用泰勒公式可以將各階數(shù)值作為系數(shù)建立多項式，在此多項式加持下得到某點近似函數(shù)鄰域值，除得出函數(shù)值外，運用泰勒公式還能得出實際函數(shù)值與多項式之間的偏差。泰勒公式于1712年由布魯克 泰勒（英國數(shù)學家）提出，當前該公式作為高等數(shù)學重要教學內(nèi)容之一，可以提升學生數(shù)學素養(yǎng)，激活學生數(shù)學思維，充分發(fā)揮數(shù)學教學實踐能效，達到提高高等學校育人綜合質(zhì)量的目的?；诖?，為落實泰勒公式教學目標，教師應立足新課改背景，采用應用舉例教學法，探析泰勒公式在高等數(shù)學解題中的教學方略顯得尤為重要。

1. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學要點

1.1 學生。泰勒公式若想在應用舉例教學法加持下得以被學生所理解，需教師從學生視角出發(fā)，依據(jù)學生理解能力、社會閱歷、實踐經(jīng)驗、學習興趣等個性化學習因素，編設學生可以接受的應用舉例教學方案，確保學生在相關案例指引下可以獨立思考、自主學習、分析運算，將自己的思想與泰勒公式交織在一起，為學生深入理解該公式，有效落實高等數(shù)學教學目標奠定基礎。

1.2 教材。教材是教師教學實踐行為的出發(fā)點與歸屬點，為此教師需深入分析教材，在充分掌握泰勒公式內(nèi)涵基礎上，將相關知識滲透在應用舉例內(nèi)容中，以應用舉例教學法為橋梁，拉近學生與泰勒公式及相關數(shù)學知識的距離，引導學生進入高等數(shù)學知識的世界，削減高等數(shù)學教學阻力，提高高等數(shù)學教學質(zhì)量，達到有效落實泰勒公式教學目標的目的。

1.3 課標。新時代課程標準隨之發(fā)生變化，依據(jù)教學大綱完成教學任務的單一化課程標準悄然推出歷史舞臺，取而代之的是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為導向的課程標準，這就需要教師在利用應用舉例教學法講述泰勒公式及相關數(shù)學知識同時，還需培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，如獨立思考能力、運算能力、建模能力、邏輯推理能力、分析理解等能力，使學生在高等數(shù)學講堂上有更多收獲，繼而有效提高高等數(shù)學教學質(zhì)量，充分發(fā)揮應用舉例教學法育人能效。

2. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學原則

2.1 以人為本。泰勒公式作為求解高階導數(shù)某點數(shù)值，針對某點數(shù)值判斷函數(shù)極限及相關運算的數(shù)學知識，對于學生群體來講有一定學習難度，既要求學生掌握一定的數(shù)學基礎知識，如極限、函數(shù)等，還需學生掌握一定的數(shù)學素養(yǎng)，如運算、邏輯推理、判斷能力等，徒增學生泰勒公式學習及相關數(shù)學知識學習難度，為此教師在應用舉例教學過程中需秉持以人為本理念，從學生數(shù)學綜合學習實況出發(fā)，列舉學生可以通過自主思考與運算有效解決的數(shù)學案例，避免出現(xiàn)“應用舉例有余，教學引導不足”消極現(xiàn)象，旨在發(fā)揮應用舉例引導教學能效，使學生得以積極參與到泰勒公式學習活動中，在掌握該公式及相關數(shù)學知識同時，達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育目的。

2.2 創(chuàng)新爭優(yōu)。為避免教師陷入“模式論”、“經(jīng)驗論”教學誤區(qū)，教師需秉持創(chuàng)新爭優(yōu)原則，在累積應用舉例教學經(jīng)驗基礎上，積極整合新型教學手段，充分運用現(xiàn)有教學資源，創(chuàng)新應用舉例教學模式，為更好滲透泰勒公式及相關數(shù)學知識奠定基礎，這就需要教師不斷學習創(chuàng)新型教學手段，依據(jù)學生數(shù)學知識學習實況及泰勒公式應用情況，靈活調(diào)整教學手段，為數(shù)學講堂注入無盡動力，繼而推動高等數(shù)學教育事業(yè)良性發(fā)展。

2.3 反思自省。為有效落實泰勒公式教育目標，發(fā)揮應用舉例教學法育人能效，教師需秉持反思自省原則，不斷反觀自身泰勒公式教學歷程，通過分析學生泰勒公式相關應用案例解析成效，明晰自身泰勒公式教學要點、弱點、難點及重點，以此為由持續(xù)完善泰勒公式應用舉例教學體系，在落實高等數(shù)學教學目標同時，達到培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教育目的。

3. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學方略

3.1 明確應用舉例教學目標。教師需率先整合與泰勒公式教學相關教育資源，明確泰勒公式在高等數(shù)學解題中應用舉例教學目標，圍繞該目標制定教案，確保教師可以順利完成數(shù)學教學任務。

3.2 規(guī)設泰勒公式應用舉例層級。為突出學生數(shù)學教學主體地位，滿足學生個性化學習訴求，引導學生自主學習，教師需在因材施教教育理念加持下，規(guī)設泰勒公式應用舉例層級，為打造系統(tǒng)性、多元性、生本性數(shù)學教學體系奠定基礎。

3.3 做好及時評價工作。雖然應用舉例教學主體是學生，但教師仍需以“引導者”身份參與到高等數(shù)學教學實踐進程中，幫助學生解決學習困難，助其深入掌握泰勒公式及相關數(shù)學知識，為此教師需在應用案例教學過程中，用過程性評價代替結(jié)果性評價，使學生明確自主學習方向，助其樹立數(shù)學學習自信心，引導學生攻克泰勒公式學習難關，使應用舉例教學目標得以有效落實。

4. 分析幾例泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用實例

若在點x0上的函數(shù)f（x）某開區(qū)間有n+1階導數(shù)，其中該 開 區(qū) 間 為（a，b），則 任 意 x ∈（a，b），f（x）=f（x0）（x-x0）+f''(x0)/2！(x-x0)2+...+f(n)(x0)/n(x-x0)n+f(n+1)(ζ）/（n+1）?。▁+x0）n-1,在該公式中ζ屬于x0--x間某個值，此為泰勒公式，在明晰泰勒公式表現(xiàn)形式基礎上，運用應用舉例教學法，引導學生學習相關數(shù)學知識，旨在通過對幾例泰勒公式應用實例進行分析，落實高等數(shù)學教學目標。

4.1 極限應用舉例。在高等數(shù)學知識中，極限知識既常見又很重要，作為學生學習數(shù)學知識的重要工具，若其在求解過程中選擇的運算方式不佳，將徒增求解難度，增加其運算量，影響運算精準度，為此教師可以引導學生利用泰勒公式解答極限問題。如題： ex2-1-x2cosx/sinx4求解其極限。基于該算是分母為sinx4-x4（x→0），教師在引導學生解答該問題時，只需將x2cosx與ex2帶入麥克勞林公式（四階）中，表示為ex2=1+x2+x4/2+0(x4),經(jīng)計算求得 ex2-1-x2cosx/sinx4= x4+0(x4)/x4=1，此類函數(shù)極限問題運用泰勒公式予以解答，可以有效簡化解答步驟，降低解題難度，相較于洛必達法，此種計算方法簡單程度可見一斑。學生在解答該問題時，容易在公式套用時產(chǎn)生疑惑，為此教師需在應用舉例教學前，采用概念圖教學法，引導學生以極限為核心，建立數(shù)學知識網(wǎng)絡，將與極限相關數(shù)學知識納入其中，為將極限知識與泰勒公式關聯(lián)在一起奠定基礎，繼而引導學生自主完成實例論證學習任務。

4.2 求近似值。在許多專業(yè)中均涉及到近似計算知識，掌握近似計算技能，可以幫助學生更好開展學習與生活實踐活動，為此教師可以將“求近似值”設為應用舉例核心，以此為由設計如下問題：ex=1+x2/2！+...xn/n！+eθx/(n+1)！xn+1(0 ＜θ＜ 1)，在 x=1 情況下，e=1+1+1/2！+...+1/n！+eθ/(n+1)！，Rn(x)=eθ/(n+1)！ ＜ 3/(n+1)?。?.001。在n=6時此算式成立,繼而得出運算結(jié)果，若學生遇到存在連續(xù)性的導數(shù)函數(shù)，則可以運用泰勒公式予以解答，提高學生運算效率及精準度。

4.3 證明不等式。在高等數(shù)學教學內(nèi)容中，不等式證明相關知識的講解與滲透，可以有效培養(yǎng)學生邏輯推理能力、運算能力，使學生數(shù)學思維更為嚴謹，思考及解決問題的能力得以有效提高，同時證明多階性導函數(shù)亦可以運用泰勒公式予以解答。這就需要學生需率先掌握證明方法，可以有效分析不等式，為有效運用泰勒公式解決相關數(shù)學問題奠定基礎。如題：在[0,1]上設f(x)有二階連續(xù)導數(shù)，該導數(shù)為 f(1)=0，在 x∈（0,1）時，則有 |f''（x）|≤2，嘗試證明|f'（x）|≤1。證明過程如下：基于 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(θ)/2！(x-x0)2,且θ在x與x0范圍內(nèi)，在x取值為0，x0取值為x時，則所得泰勒 公 式 為：f(0)=f(x)+f'(x)(0-X)+f''(θ1）/2！(0-x)2（1）。當θ1在0與x范圍內(nèi)，且x取值為1，x0取值為x時，運用泰勒公式可得到如下算式：f(1)=f(x)+f'(x)(1-X)+f''(θ2）/2！(1-x)2（2），在該算式中θ2處于x到1之間，基于（1）、（2）可知，f'(x)=f(1)-f(0)+1/2！[f''(θ1)x2-f(θ2）（1-x）2]=1/2 ！[f''(θ1）x2-f''(θ2)(1-x)2]，|f'(x)|≤|f''(x)|/2！[x2+(1-x)2]=2x2-2x+1，基于 0≤x≤1情況下，2x2-2x+1≤1，則|f'(x)|≤1，至此證明完成。通過對該應用舉例進行解析可知，在不等式解答過程中運用泰勒公式，可以降低解答難度，提高證明效率，簡化證明過程，為提高學生證明過程中泰勒公式應用能力，教師可以將證明問題編設主導權(quán)交給學生，繼而激活學生數(shù)學思維，賦予學生反推、論證、創(chuàng)新及嚴謹?shù)臄?shù)學思維等數(shù)學能力，同時凸顯學生高等數(shù)學教學主體地位，在落實應用舉例教學目標同時，達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育目的。

結(jié)束語：綜上所述，為提高泰勒公式及相關數(shù)學知識講解質(zhì)量，教師在新課改背景下，積極采用應用舉例教學法，旨在有效落實高等數(shù)學教學目標，引導學生有效應用相關知識解決實際問題，并在完成高等數(shù)學教學任務同時培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。