Karabut系統(tǒng)的代數(shù)首次積分

曲婧佳，楊雙羚，孫佳慧

(1.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長春 130022；2.吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春 130114)

(1)

(2)

其中，“·”表示對時間t的求導(dǎo).

數(shù)值模擬顯示，Karabut系統(tǒng)(2)具有復(fù)雜的動力學(xué)行為.這里，將從不可積性的角度去認(rèn)識該系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).一般地，如果一個微分動力系統(tǒng)有足夠多的不變量(首次積分、對稱、不變n-形式，等等)使得它的解

可以通過四則運算、積分、求導(dǎo)、代數(shù)運算等得到，則稱這個微分動力系統(tǒng)是可積的.

對于一般動力系統(tǒng)，可積性并沒有統(tǒng)一的定義，并且判斷可積性也是十分困難的問題.本文主要研究系統(tǒng)(2)的代數(shù)可積性.如果一個n維常微分動力系統(tǒng)有n-1個函數(shù)獨立的代數(shù)首次積分，則稱該系統(tǒng)是代數(shù)可積的[5].

主要結(jié)果如下：

定理1 Karabut系統(tǒng)(2)至多有3個函數(shù)獨立的代數(shù)首次積分.

定理2 Karabut系統(tǒng)(2)不是代數(shù)可積的.

為了證明定理1，需要如下引理.引理1說明了解析向量場在奇點附近函數(shù)獨立的有理首次積分的數(shù)目與Jacobi矩陣特征值所張成自由模的秩的關(guān)系[6].

G:={(k1,k2,kn)∈nk1λ1+k2λ2++knλn=0,k1+k2++kn>0}

的秩等于s，那么該系統(tǒng)的任何有理首次積分一定是Φ1,,Φs的光滑函數(shù).

容易看出，系統(tǒng)(2)擁有由奇點構(gòu)成的平面(0,0,0,m,n).在奇點S(m,n)=(0,0,0,m,n)，系統(tǒng)(2)沿該平衡解線性化方程對應(yīng)的5個特征根是(λ1,λ2,λ3,0,0)，其中，λ1,λ2,λ3是三次多項式λ3+(m2+mn+n2)λ+mn(m-n)=0的3個根.取m=1,n=2，由求根公式得到：

假設(shè)系統(tǒng)(2)有4個函數(shù)獨立的代數(shù)首次積分.因為系統(tǒng)(2)是多項式系統(tǒng)，所以它也有4個函數(shù)獨立的有理首次積分Φ1,Φ2,Φ3,Φ4[5].由Ziglin引理[7]，存在多項式P1,P2,P3,P4使得函數(shù)Ψ1=P1(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ2=P2(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ3=P3(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ4=P4(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4)是函數(shù)獨立的，它們的最低齊次項也是函數(shù)獨立的.在奇點(0,0,0,1,2)，系統(tǒng)(2)線性化矩陣的秩是2，有2個零根和3個互不相同的非零根，因此，線性化矩陣是可對角的.利用引理1，Ψ4是Ψ1,Ψ2,Ψ3的函數(shù)，這與它們函數(shù)獨立矛盾,由此定理1得證.由定理1可知定理2成立.