張惠峰 華北理工大學

壓縮感知理論是由Donoho、Candes、Tao等人于2006年正式提出的。壓縮感知理論在一定程度上突破了Nyquist采樣定理對模擬信號采樣率必須大于信號帶寬兩倍的限制[1]。該理論的正式建立，便在信號與信息處理領域、通信領域以及醫(yī)療醫(yī)學成像技術領域開展了廣泛的研究，并取得了一些應用成果。正因為如此，本文對基于壓縮感知理論的圖像壓縮技術進行探討。

1 壓縮感知理論概述

壓縮感知理論的核心內容是已知信號進行某一正交變換后得到的系數(shù)大部分是近似為零的（信號可以進行稀疏變換），就可以以遠少于Nyquist采樣定理所要求的采樣數(shù)來重構出原始信號。自然界大多數(shù)信號都是可以進行稀疏表示的，所以傳統(tǒng)信號經(jīng)過Nyquist采樣后，對信號進行濾波、壓縮、特征提取等步驟之后，信號的有用信息僅僅集中于很小的一部分數(shù)據(jù)，其余大部分的采樣數(shù)據(jù)被當做冗余信息舍棄，這樣就造成了采樣資源的浪費，壓縮感知就可以突破Nyquist采樣定律的限制，以遠遠少于Nyquist采樣定律的采樣率對信號進行采樣，并高概率地重構出原始信號。壓縮感知理論有兩個關鍵點，原始信號的稀疏性和觀測的不相關性，稀疏性是壓縮感知的前提，是信號自身的性質，不相關性是壓縮感知觀測可行性的保障。壓縮感知有三個關鍵性問題，它們是信號的稀疏表示、觀測矩陣設計和重構算法設計。

壓縮感知和傳統(tǒng)的信號Nyquist采樣與壓縮的方法對比，有以下幾個方面的優(yōu)勢：一是信號編碼端計算量小傳統(tǒng)信號處理先進行Nyquist采樣再壓縮，而壓縮感知的方法突破了Nyquist采樣定理的限制，將信號的采樣與壓縮過程結合起來，直接獲取原始信號壓縮后的觀測值，大大減少了信號編碼端的計算量。二是對噪聲的魯棒性由于壓縮感知的每一個觀測值都含有原始信號的一定信息量，所以當某些觀測值受到噪聲干擾的影響，依然可以利用其它的觀測值重構出原始信號。三是可延展性壓縮感知重構信號的質量與觀測值的數(shù)量呈現(xiàn)一定程度的正比關系。因此可以根據(jù)實際情況的需要（系統(tǒng)的計算能力和重構信號的質量要求）靈活地改變觀測值的數(shù)量。除此以外，保密性壓縮感知觀測和信號重構時均需要相同的隨機觀測矩陣，對于某個特定的系統(tǒng)來說，該矩陣的可能性有無限多種，因此，可以利用觀測矩陣來實現(xiàn)信號的加密。

2 基于壓縮感知理論的圖像壓縮技術應用

圖像信號一直具有非常巨大的數(shù)據(jù)量，但是因為圖像在小波域或者離散余弦域上具有稀疏的特點，所以可以對圖像進行壓縮，無論圖像信號進行小波變換或者離散余弦變換，其中大系數(shù)都集中在較低的頻域范圍內，而在其余頻域上的系數(shù)數(shù)值較小，跟大系數(shù)相比可以認為是近似為零的，可以認為圖像信號在小波域和離散余弦域上是稀疏的。因此可以利用壓縮感知理論對圖像信號進行處理傳統(tǒng)圖像壓縮過程，將圖像進行正交基變換（如小波變換、離散余弦變換），得到數(shù)據(jù)中絕對值大的數(shù)據(jù)只占一少部分，其余大部分數(shù)據(jù)都是很小近似為零的，將這些小數(shù)據(jù)置零后，將剩余數(shù)值較大的數(shù)據(jù)進行編碼，這樣就降低了圖像的數(shù)據(jù)量，達到了圖像壓縮的目的。基于壓縮感知理論的圖像壓縮技術的圖像解碼的過程是，將壓縮后的數(shù)據(jù)進行補零，之后進行編碼端的反變換的到原來的圖像數(shù)據(jù)。這樣處理過程只保留了少部分變換后數(shù)值較大的低頻分量，而表示圖像細節(jié)部分的高頻分量則被舍棄，這樣壓縮后的圖片細節(jié)部分會有一定程度的失真，但人眼只對圖像的低頻分量敏感，所以這一系列的壓縮過程是可以被接受的。

壓縮感知在圖像壓縮領域中有著廣泛的應用，其壓縮處理過程包含以下步驟，直接對原始圖像進行隨機觀測，觀測后得到數(shù)據(jù)即為圖像的壓縮數(shù)據(jù)。在圖像的解碼端對觀測得到的數(shù)據(jù)進行壓縮感知的信號重構，重構出原始圖像數(shù)據(jù)。因為在處理圖像的過程中，利用壓縮感知的隨機觀測過程取代了傳統(tǒng)圖像壓縮方法中的正交基變換和小系數(shù)置零的過程，這一改進減少了計算量，降低了圖像壓縮中編碼端運算的復雜程度。在圖像壓縮過程中很順利地解決了壓縮感知的三大關鍵性問題，因為自然圖像信號在離散余弦域和小波域上是稀疏的，那么對原始信號的稀疏變換就可以采用小波基或者離散余弦基，隨機觀測矩陣可以采用隨機生成的高斯隨機矩陣對原始信號進行觀測，最后通過采用OMP、BP、GP等常用的壓縮感知信號重構方法對壓縮后的數(shù)據(jù)進行信號重構，恢復成圖像數(shù)據(jù)。應用壓縮感知的圖像編碼系統(tǒng)系統(tǒng)共有正交變換和正交反變換，線性測量和信號重構，量化和反量化。在編碼端正交模塊對圖像數(shù)據(jù)進行正交變換，使能量集中；線性測量模塊對輸入系數(shù)進行壓縮感知，輸出降維后的數(shù)據(jù)；量化模塊和編碼模塊完成對變換系數(shù)的壓縮和熵編碼。這樣就可以在只保留少數(shù)采樣點的條件下仍能獲得較好的圖像恢復質量。

3 結語

壓縮感知的核心思想是以提高后端信號處理的復雜度來換取前端信號獲取復雜度的降低，從而使得信號的采樣率可以突破傳統(tǒng)的采樣準則。伴隨著技術的不斷推動，基于壓縮感知理論的圖像壓縮技術會逐漸優(yōu)化，進而促進我國圖像壓縮技術水平的提高。