李慧玲, 宋德文

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034;2. 沈陽師范大學(xué) 遼寧省射線儀器儀表工程技術(shù)研究中心, 沈陽 110034;3. 電子科技大學(xué) 物理學(xué)院, 成都 611731)

0 引 言

早在20世紀(jì)70年代,貝肯斯坦[1]和霍金[2]發(fā)現(xiàn)了黑洞的熱力學(xué),這表明黑洞具有熱輻射。自從史蒂芬.霍金[3]提出霍金輻射理論后,廣義相對論、量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)建立了顯著的關(guān)系,人們提出了多種研究遂穿輻射的方法[4-13],證明了黑洞確實(shí)具有溫度, 黑洞物理學(xué)的研究也越來越受到人們的關(guān)注。

近些年來,黑洞的量子隧穿方法(該方法由帕里克和威爾切克提出[14])已經(jīng)引起了很多人的研究興趣,這種方法是研究霍金輻射的重要方法之一。此方法中虛數(shù)部分作用是用零測地線方程計(jì)算的。張和趙[15]將這種方法推廣到雷斯納-諾德斯特羅姆黑洞和克爾-紐曼黑洞[16-17],Angheben等[18]也提出了一個(gè)推導(dǎo)。從哈密頓-雅可比方程中計(jì)算粒子的經(jīng)典動(dòng)作,得到了霍金輻射。Padmanabhan等[19-20]做了復(fù)雜路徑分析的推廣。

顯然,黑洞不僅輻射標(biāo)量粒子和狄拉克粒子,還能輻射矢量粒子。最近,人們通過利用矢量粒子動(dòng)力學(xué)遵循的Proca場方程,應(yīng)用量子遂穿方法研究黑洞矢量粒子的遂穿輻射[21-27]。本文將嘗試?yán)么朔椒ㄓ懻揊insler 引力理論下Rutz-Schwarzschild黑洞的矢量粒子遂穿輻射。

1 芬斯勒黑洞的矢量粒子隧穿輻射

在芬斯勒幾何框架下,Rutz[28]于1993 年研究了Finsler時(shí)空中推廣的愛因坦真空引力場方程,得到了一個(gè)球?qū)ΨQ的Rutz-Schwarzschild黑洞解,其時(shí)空線元為

ds2=-fdt2+h-1dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2

(1)

其中f=(1-2M/r)(1-εdΩ/dt),h=1-2M/r,ε?1。-εdΩ/dt是對Schwarzschild黑洞的芬斯勒修正。很明顯r+=2M是芬斯勒黑洞的事件視界,而且線元的時(shí)間分量不僅與時(shí)空坐標(biāo)有關(guān),還與切矢量-εdΩ/dt有關(guān)。利用此度規(guī),本文嘗試探討矢量粒子的量子隧穿。為了方便起見,重新設(shè)定等式(1)為

ds2=A(r)dt2+B(r)dr2+C(r)dθ2+D(r)dφ2

(2)

其中設(shè)定A(r)=-f,B(r)=h-1,C(r)=r2,D(r)=r2sin2θ。時(shí)空線元的協(xié)變度規(guī)如下:

(3)

度規(guī)張量的行列式為

g=ABCD

(4)

gαβ的代數(shù)余子式寫為Δαβ。當(dāng)g≠0時(shí),可以定義逆變度規(guī)張量為

(5)

利用等式(5),可以得到度規(guī)張量的逆變分量為

(6)

由ψv=gμvψμ和ψμv=ψαβgμαgβv可以得到不為零的分量ψv和ψμv為

(7)

根據(jù)Kruglov[21-22],彎曲時(shí)空中矢量粒子的動(dòng)力學(xué)行為由Proca方程描述:

(8)

這里:Dμ是協(xié)變導(dǎo)數(shù);ψv與ψt,ψr,ψθ,ψφ有關(guān)系;m是矢量粒子的質(zhì)量;ψu(yù)v是個(gè)反對稱張量,它等于

ψvu=Dvψu(yù)-Duψv=?vψu(yù)-?uψv

(9)

因此,等式(8)能被改寫為

(10)

把等式(7)和等式(9)帶入到等式(10)中,得到

為了解方程(11)～(14),ψv被表達(dá)成如下形式[29]:

(15)

n=1,2,3…。利用WKB近似的方法,忽略掉?的高階項(xiàng),得到

(16)

同時(shí)由等式(9)能得到

(17)

接下來把式(16)和式(17)帶入到式(11)～式(14)中得

這些方程直接求解很困難,考慮到時(shí)空的對稱性,采用如下分離變量[30]:

S0=-ωt+W(r)+Θ(θ)+jφ

(26)

其中,j和ω[31-32]分別是遂穿粒子的質(zhì)量和角動(dòng)量,把等式(26)代入到等式(22)～(25)中并整理得到以?為主導(dǎo)的4個(gè)方程:

等式(27)～(30)即為矩陣方程:

(31)

等式(31)中的Λ是一個(gè)4×4的矩陣,它由以下組成:

(32)

其中W′=?rS0和j=?φS0,當(dāng)Det(Λ)=0時(shí),等式(31)有解:

(33)

其中X=ABD(?θΘ)2+ABCj2+ABCDm2。+代表遂穿粒子的出射解,反之代表入射解。因此,遂穿率為

(34)

利用如下公式:

Γ=exp(E/T)

(35)

其中E和T分別是發(fā)射粒子的能量和溫度,能計(jì)算此黑洞的霍金溫度為

(36)

2 結(jié) 論

本文利用量子遂穿方法討論了Finsler黑洞的矢量粒子遂穿行為。所討論的Finsler黑洞是Finsler理論愛因斯坦真空場方程的一個(gè)解,研究結(jié)果表明Finsler黑洞矢量粒子的遂穿率與霍金溫度除了與黑洞的質(zhì)量有關(guān),還與Finsler時(shí)空背景的性質(zhì)和隧穿粒子的能量有關(guān)系。通過比較得到的結(jié)果與Finsler黑洞的標(biāo)量和費(fèi)米子的遂穿結(jié)果,發(fā)現(xiàn)遂穿率與霍金溫度都相同。需要說明的是本文用Proca場方程對Finsler黑洞的矢量粒子隧穿輻射進(jìn)行了研究,在研究過程中,忽略了?的高階項(xiàng)對研究結(jié)果的影響,這是一種近似的計(jì)算,希望以后能夠更加深入的研究。