一道高考選擇題的思考與拓展

左金輝 沈文炳

摘? 要：運(yùn)用能量守恒定律和微分知識拓展2015年全國高考試卷Ⅱ的理綜第21題，并運(yùn)用GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn)相應(yīng)的圖像，有助于學(xué)生從定性和定量的角度理解該試題的情境。

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng);微分知識;GeoGebra軟件

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1003-6148（2019）10-0040-2

2015年全國高考試卷Ⅱ的理綜部分第21題涉及到兩個(gè)物體的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)，過程復(fù)雜，學(xué)生難以理解。本文嘗試從多角度分析和拓展試題，并借助GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生對復(fù)雜問題的理解能力。

1? ? 從運(yùn)動(dòng)和能量角度分析試題

例1 如圖1，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則（? ? ?）

A.a落地前，輕桿對b一直做正功

B.a落地時(shí)速度大小為

C.a下落過程中，其加速度大小始終不大于g

D.a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對地面的壓力大小為mg

解析 由于滑塊b向右先加速、后減速到零，輕桿對滑塊b的作用力先為推力、后為拉力，故輕桿對滑塊b先做正功、后做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。滑塊a下落過程，對滑塊a和b整體分析，滑塊b的初、末速度為零，滑塊a的末速度為v，滑塊a重力勢能的減少等于滑塊a動(dòng)能的增加，故mgh=mv2，即選項(xiàng)B正確。在輕桿對滑塊b的力由推力變?yōu)槔^程中，必有一個(gè)位置輕桿對滑塊b的作用力為零，此時(shí)滑塊a的加速度為g。當(dāng)滑塊a落地前瞬間，滑塊a的加速度為g。則滑塊a的加速度先增加到大于加速度g，然后減小到g。選項(xiàng)C錯(cuò)誤。當(dāng)滑塊b速度最大時(shí)機(jī)械能最大，此時(shí)滑塊a的機(jī)械能最小，輕桿對滑塊b的作用力為零，故滑塊b對地面的壓力大小為mg。

2? ? 運(yùn)用數(shù)學(xué)和圖像拓展分析

拓展1 滑塊b的最大速度為多大？

解析 設(shè)輕桿長為L，初始輕桿與水平面夾角為θ0。輕桿與水平地面夾角為θ時(shí)，滑塊a速度為v1，滑塊b速度為v2。由速度關(guān)聯(lián)有v1sinθ=v2cosθ。由機(jī)械能守恒定律有mgL（sinθ-sinθ）=mv+mv，得v2=sinθ，也可以表達(dá)成v2=。由于（sinθ0-sinθ）++=sinθ0，故當(dāng)sinθ0-sinθ=，即sinθ=sinθ0時(shí)，滑塊b速度v2有最大值sinθ0。

拓展2 滑塊a、b在運(yùn)動(dòng)過程中速度隨角度θ怎么變化？

解析 由上述關(guān)系可以求出滑塊a的速度：

v1=cosθ

為了簡單，令滑塊質(zhì)量m=0.1 kg、輕桿長度L=0.1 m、重力加速度g=10 m/s2、初始角度θ0=。作出滑塊a、b的速度與角度的關(guān)系圖像（如圖2），其中圖線1和圖線2分別為滑塊a和滑塊b的速度與角度的關(guān)系圖線。從圖像可以看出，滑塊a的速度從零逐漸加速到最大速度0.93 m/s;滑塊b速度先增大后減小，當(dāng)θ=0.62 rad，即θ=35.5°時(shí)，最大速度為0.31 m/s。

拓展3 滑塊a、b在運(yùn)動(dòng)過程中加速度隨θ怎么變化？

解析 如圖3，以輕桿和地面接觸點(diǎn)為原點(diǎn)O，沿水平向右建立x軸，沿豎直向上建立y軸?；瑝Ka的坐標(biāo)為（0，y），其中y=Lsinθ。滑塊b的坐標(biāo)為（x，0），其中x=Lcosθ。則滑塊a、b的速度分別為=Lcosθ和=-Lsinθ。而由能量關(guān)系已求出v2=，故可求出2=（sinθ0-sinθ），=-cosθ?；瑝Ka和b的加速度分別為=L（-2sinθ+cosθ）和=-L（-2cosθ+sinθ）。則滑塊a和滑塊b的加速度分別為a1=g（3sin2θ-2sinθ0sinθ-1）和a2=gcosθ（3sinθ-2sinθ0）。作出其圖像如圖4所示，其中圖線1和圖線2分別表示滑塊a和滑塊b的加速度與角度的關(guān)系圖線。滑塊a一直向下加速，加速度從2.5 m/s2逐漸增大到12.5 m/s2，然后減小到10 m/s2。當(dāng)θ=35.5°時(shí)，加速度為10 m/s2?；瑝Kb先向右加速，后向右減速，加速度大小從4.33 m/s2逐漸減小到0，然后反向增加到17.32 m/s2。當(dāng)θ=35.5°時(shí)，加速度為0。

拓展4? 輕桿的彈力隨θ怎么變化？

解析 設(shè)輕桿對滑塊b的力為F，由Fcosθ=ma2，得F=（3sinθ-2sinθ0）mg。作出圖像如圖5所示。由圖線可知，輕桿的彈力從0.86 N逐漸減小為0，然后反向逐漸增大到1.73 N。當(dāng)θ=35.5°時(shí)，彈力為0。

3? ? 結(jié)束語

本文通過機(jī)械能守恒定律和微分知識求解出兩個(gè)連接體的速度、加速度和力隨角度的變化過程，增強(qiáng)了學(xué)生對試題的理解。由于高中數(shù)學(xué)已經(jīng)引入了微積分初步，應(yīng)用微積分知識和物理規(guī)律求解復(fù)雜問題的速度、加速度和力的變化成為可能。應(yīng)用GeoGebra軟件呈現(xiàn)復(fù)雜表達(dá)式，有助于學(xué)生直觀理解物體運(yùn)動(dòng)的宏觀和微觀過程。這都有利于幫助學(xué)生理解復(fù)雜問題，培養(yǎng)解決復(fù)雜問題的能力。

（欄目編輯? ? 陳? 潔）