黃 芮，陳 捷

(1.西北工業(yè)大學(xué) 人事處，西安 710072; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072)(*通信作者電子郵箱jie.chen@nwpu.edu.cn)

0 引言

保障無線傳輸過程中信息的安全是無線通信面臨的一個核心問題。近年來，以信息論安全為基礎(chǔ)的物理層安全技術(shù)得到了廣泛的關(guān)注[1]。物理層安全利用無線信道的傳輸特性，直接在無線通信系統(tǒng)的物理層保證信息的安全傳輸，具有更強的針對性。協(xié)作中繼技術(shù)是一項重要的提高無線傳輸物理層安全性能的技術(shù)[2]。通過多個中繼節(jié)點間的協(xié)作，利用協(xié)作波束形成(Cooperative Beamforming, CB)方法和協(xié)作人工干擾(Cooperative Jamming, CJ)方法[3-10]，分別用于提高合法用戶的接收信號、降低竊聽方的接收信號的信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)，從而有效地提高物理層安全性。

本文重點研究雙向多中繼系統(tǒng)中的物理層安全傳輸技術(shù)。文獻[5-6]研究了放大轉(zhuǎn)發(fā)(Amplify-and-Forward, AF)雙向多中繼網(wǎng)絡(luò)中的協(xié)作波束形成技術(shù)，期望最優(yōu)化系統(tǒng)的安全和速率(Secrecy Sum Rate, SSR)；但是該問題是一個非凸優(yōu)化問題，難以求解。因此文獻[7]提出了迫零協(xié)作波束形成方案以簡化問題，并給出一種迭代優(yōu)化算法優(yōu)化中繼節(jié)點的波束形成向量和源節(jié)點的功率分配；這種方案雖然有效地降低了計算復(fù)雜度，然而如文獻[8]指出的，當竊聽方接收天線數(shù)增加到中繼節(jié)點數(shù)時，迫零方案的性能將急劇下降。為了克服這一缺點，協(xié)作干擾技術(shù)[9-10]通過協(xié)作節(jié)點發(fā)射人工干擾信號阻礙竊聽者，來進一步提高物理層安全性能。文獻[11]提出了雙向多中繼系統(tǒng)中的混合波束形成與協(xié)作干擾技術(shù)，將部分協(xié)作節(jié)點用于轉(zhuǎn)發(fā)信息，而另外一部分用于發(fā)射人工噪聲干擾竊聽方，顯著地提高了安全性能。

上述研究[5-11]均假設(shè)竊聽節(jié)點的信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)精確已知，從而進行安全和速率的優(yōu)化。然而在實際中，該假設(shè)過于理想。雖然有研究表明，有可能通過從被動竊聽者接收機射頻前端泄露的本地振蕩器功率來估計其CSI[12]，但是，無線信道和噪聲的天然隨機性會不可避免地引入估計誤差[13]，因此，假設(shè)竊聽方CSI不精確已知更加符合實際場景。與基于理想信道CSI的安全傳輸方案相比，信道CSI的不理想將會影響協(xié)作人工噪聲和波束形成向量的設(shè)計，并且對系統(tǒng)保密性能帶來不利影響。文獻[14]研究了單向中繼網(wǎng)絡(luò)中魯棒的波束形成和人工噪聲問題，然而，目前尚沒有在雙向多中繼系統(tǒng)中對該問題的研究。因此，在竊聽方CSI無法精確已知的情況下，設(shè)計使雙向多中繼系統(tǒng)中保密速率最大化的魯棒性安全傳輸方案就成為當前一個重要的研究問題。

針對AF雙向多中繼系統(tǒng)中CSI不理想情況下的魯棒的物理層安全傳輸問題，本文提出了魯棒的協(xié)作波束形成和人工噪聲聯(lián)合物理層安全傳輸方法方案。該方案充分考慮了信道狀態(tài)“最差情況”，為了在總發(fā)射功率約束下達到最大化系統(tǒng)安全和速率的目標，同時優(yōu)化了波束形成向量、協(xié)作干擾向量，以及兩個源節(jié)點的發(fā)射功率。在人工噪聲波束形成(Artificial-Noise and BeamForming, ANBF)方案中，通過交替迭代的思想將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為兩個子問題，每一個子問題都可以采用連續(xù)參數(shù)凸近似(Sequential Parametric Convex Approximation, SPCA)算法將原來的非凸子問題轉(zhuǎn)化為一系列凸近似問題，迭代求解最終得到局部最優(yōu)的優(yōu)化結(jié)果。仿真結(jié)果和性能分析驗證了本文所提方案的有效性，并指出ANBF方案可以得到最高的安全總速率。

1 魯棒的雙向多中繼物理層安全傳輸

1.1 雙向中繼系統(tǒng)安全傳輸模型

如圖1所示，本文考慮一個雙向多中繼通信系統(tǒng)，其中包括兩個合法源節(jié)點Tm(m=1,2)，N個中繼節(jié)點Rn(n=1,2,…,N)和一個竊聽節(jié)點E(Eve)。該系統(tǒng)中的所有節(jié)點都只配備單天線。兩個合法源節(jié)點希望能夠在N個中繼節(jié)點的幫助下互換信息，同時防止信息泄露給竊聽方E?？紤]時分雙工并假設(shè)信道互易。fR,n、gR,n、fE、gE、cE,n(n=1,2,…,N)分別表示T1到Rn、T2到Rn、T1到E、T2到E以及Rn到E的信道系數(shù)。假設(shè)所有的無線信道服從準靜態(tài)衰落，并且所有合法節(jié)點之間的CSI是已知的；而對于竊聽者信道，假設(shè)CSI不能理想已知，而是存在誤差。將信道的不確定性建模如下：

(1)

整個信息傳輸過程由兩個階段組成：多址(Multiple ACcess, MAC)通信階段和廣播通信階段。在多址階段，T1和T2發(fā)送各自的信息，N個中繼節(jié)點的接收信號可以表示為：

(2)

其中：yR=[yR,1,yR,2,…,yR,N]T;fR=[fR,1,fR,2,…,fR,N]T；gR=[gR,1,gR,2,…,gR,N]T；si和Pi(i=1,2)分別是Ti節(jié)點的發(fā)送符號和發(fā)射功率;nR是中繼節(jié)點處方差為σ2的加性噪聲。

圖1 雙向多中繼竊聽信道模型Fig. 1 Two-way multi-relay eavesdropping channel model

在廣播(BroadCast, BC)階段，中繼節(jié)點對接收的信號進行加權(quán)處理并嵌入?yún)f(xié)作干擾信號，然后將信息轉(zhuǎn)發(fā)給源節(jié)點。中繼節(jié)點的發(fā)送信號可以表示為：

xR=WyR+v

(3)

此時，T1和T2節(jié)點處接收到的信號分別可以表示為：

yT1=fRTxR+nT1=

(4)

yT2=gRTxR+nT2=

(5)

其中:w=[w1,w2,…,wN]T；FR=diag(fR)；GR=diag(gR)；nT,1、nT,2分別是T1、T2處在第二個階段的加性噪聲。

同理，竊聽方在兩個階段收到的信號可以表示為如下的矩陣形式：

(6)

(7)

其中：I(yTi;si)(i=1,2)表示源節(jié)點的互信息;I(yE;s)表示竊聽方的互信息。根據(jù)雙向中繼的標準處理方法，由于T1和T2知道自己的傳輸信息，可以從式(4)、(5)中減去自干擾項，從而源節(jié)點的互信息可以分別表示為：

(8)

(9)

另一方面，在信道信息不確定的前提下，竊聽方可達的速率表示為：

(10)

其中:

A=σ4I+P1|fE|2σ2I+P2|gE|2σ2I+

P1σ2fRfRH+P1P2(fEgR-gEfR)(fEgR-gEfR)H+

P2σ2gRgRH

竊聽方等效的噪聲協(xié)方差矩陣為：

QE=diag(σ2,σ2(1+wHCECEHw)+cEHΣcE)

R′=σ2+P1|fE|2+P2|gE|2

Q=σ2P1|fE|2+σ2P2|gE|2+σ4

將式(8)～(10)代入(7)中可見，由于對竊聽者Eve的CSI存在未知誤差ΔcE，精確的安全總速率的表達式是未知的?？紤]魯棒的設(shè)計原則，即對Eve最有利，也就是對合法收發(fā)方最不利的“最差情況”下的保密速率(Worst Case-Secrecy Rate Maximization, WC-SRM)。這種魯棒的保密速率的意義在于在‖ΔcE‖≤ξ的范圍內(nèi)，所設(shè)計出來的信號至少能確保優(yōu)化所得的保密速率。最差情況下系統(tǒng)的保密速率如下：

最大化最差情況人工噪聲波束形成(Worst Case-Artificial-Noise and BeamForming, WC-ANBF)方案保密速率的優(yōu)化問題可表示為：

(11a)

s. t.wHTw+tr(Σ)+Ps≤PM

(11b)

其中：式(11b)表示總功率約束，T=P1Rff+P2Rgg+σR2I；PM表示系統(tǒng)總功率；Ps=P1+P2，P1、P2表示源節(jié)點T1和T2的發(fā)射功率。

由于考慮魯棒的設(shè)計，目標函數(shù)式(11a)中包含的式(10)具有非常復(fù)雜的形式：矩陣A中包含優(yōu)化變量P1、P2，并且所有分式的分子和分母均包含優(yōu)化變量w。整個優(yōu)化問題是一個復(fù)雜的非凸優(yōu)化問題，對該優(yōu)化直接求解是非常困難的。對此，下面給出本文提出的高效求解方法。

1.2 半正定松弛

首先利用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation, SDR)法對優(yōu)化問題進行變形。半正定松弛是一種高效的近似方法，它經(jīng)常被用于解決非凸的二次約束的二次規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Program, QCQP)問題。更重要的是，這種方法已被證明可以提供近似最優(yōu)的(有些情況下甚至是最優(yōu)的)解。

具體來講，SDR可以分為以下三步：

1)對原優(yōu)化變量w，作變量代換Λ=wwH,且Λ0,rank(Λ)=1。

2)由于約束條件rank(Λ)=1使該問題非凸。為了保證該問題為凸優(yōu)化問題，省略該約束，也即“松弛”。

3)由于在第1)步中省略了秩為1的約束條件，相當于將可行域擴大，因此得到的Λ的秩未必是1。如果恰好有rank(Λ*)=1，則可以分解為：Λ*=w*Hw*，w*是SDR處理前原優(yōu)化問題的最優(yōu)解；而如果有rank(Λ*)≠1，需要根據(jù)一定的方法來通過Λ*得到原問題的可行解w*，如高斯隨機化方法等。

基于SDR技術(shù)，竊聽方可達的速率可以表示為：

(12)

其中:

(13)

且有:

Rfg=P2FRgRgRHFRH+σ2FRFRH

Rgf=P1GRfRfRHGRH+σ2GRGRH

Rff=σ2FRFRH

Rgg=σ2GRGRH

下面對問題式(12)進一步作處理，忽略常數(shù)1/2并且引入松弛變量α、β和t，問題式(11)可以重新表示為：

(14)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

lb(α)-lb(β)≤t

利用矩陣的性質(zhì):

tr(ABCD)=tr(D(ABC))=vecT(DT)vec(ABC)=

vecT(DT)(CT?A)vec(B)

進行等式變換，得：

(15)

式中:矩陣B和D為N×N的矩陣，其第(i,j)個元素分別為Bi, j=(AT?Λ)(i-1)N+i,(j-1)N+j和Di, j=(I?Λ)(i-1)N+i,(j-1)N+j。這樣問題式(14)可以表示為：

(16a)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

(16b)

(16c)

(16d)

lb(α)-lb(β)≤t

(16e)

這里需要強調(diào)的是，由于未知的信道誤差的存在，問題式(16)的中間兩個約束條件式(16c)和(16d)實際上包含無窮多個約束條件。為了進一步將問題化簡，直接應(yīng)用文獻[13]中的S-procedure引理對約束進行變換，可得：

?θ≥0

(17a)

?τ≥0

(17b)

這樣，無窮多個不等式約束條件‖ΔcE‖2≤ξ2的問題轉(zhuǎn)化為兩個線性矩陣不等式約束條件，并且轉(zhuǎn)化后的問題符合凸優(yōu)化問題的標準形式。問題式(16)可以更新為：

(18a)

s. t. tr(Σ)+tr(ΛT)-(PM-Ps)≤0

(18b)

(18c)

lb(α)-lb(β)≤t

(18d)

式中：Π1-B-R′Σ+θIN；Π2σ4D+σ2Σ+τIN；Ω2

分析優(yōu)化問題式(18)，此時的優(yōu)化變量包括標量t、α、β、θ、τ、P1、P2，以及矩陣Σ和Λ。下面給出一種基于交替優(yōu)化技術(shù)的高效迭代算法，對進行半正定松弛以后的問題式(18)進行求解。

1.3 交替優(yōu)化算法

采用交替優(yōu)化算法，將優(yōu)化變量分為三組，分別為({t,α,β,θ,τ},{P1,P2},{Σ,Λ}，先固定{P1,P2}，同時優(yōu)化{t,α,β,θ,τ}和{Σ,Λ}；再固定{Σ,Λ}，同時優(yōu)化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}。具體過程如下：

1)固定{P1,P2}，優(yōu)化{t,α,β,θ,τ}和{Σ,Λ}。

引入輔助變量k1和k2，分別代替式(18)目標函數(shù)中的非凸項-lb(tr(ΛRff)+fRHΣfR+σ2)和-lb(tr(ΛRgg)+gRHΣgR+σ2)，則優(yōu)化問題可以重新表示為：

lb(tr(ΛRgf)+gRHΣgR+σ2)-

lb(k1)-lb(k2)-t}

(19a)

s. t. 式(18b)、(18c)、(18d )

tr(ΛRff)+fRHΣfR+σ2≤k1

(19b)

tr(ΛRgg)+gRHΣgR+σ2≤k2

(19c)

通過上述變換，整個優(yōu)化問題式(19)中，除目標函數(shù)中的-lb(k1)-lb(k2)以及最后一個約束條件lb(α)為凹函數(shù)以外，其余所有項均為凸函數(shù)。為了求解該問題，基于文獻[15]，本文采用連續(xù)凸近似(Successive Convex Approximation, SCA)方法。SCA方法的基本思路在于通過利用非凸函數(shù)的凸上界函數(shù)近似，將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列迭代求解的凸優(yōu)化問題進行求解。每一次迭代都以上一個迭代問題的初始值作為起點?？梢宰C明，SCA方法的解能夠收斂于一個滿足優(yōu)化問題式(19)的KKT((Karush-Kuhn-Tucher)條件的解。

(20)

其中α(l-1)是第l-1次迭代得到的優(yōu)化解。

lb(tr(ΛRgf)+gRHΣgR+σ2)-t-lb(k1(l-1))-

(21)

s. t. 式(18b)、(18c)、(18d)、(19b)、(19c)

至此，已將包含無窮多個不等式約束條件的非凸問題轉(zhuǎn)化為僅包含線性矩陣約束的凸優(yōu)化問題，并可以通過SCA迭代算法求得原問題的KKT解。優(yōu)化Σ和Λ的算法總結(jié)如算法1所示。

算法1 優(yōu)化Λ和Σ。

1) 設(shè)定算法終止條件δ為δ=10-3，i=0。

1.1)選取優(yōu)化問題的可行初始值α(0),k1(0),k2(0)，開始迭代求解凸問題式(21)。

1.2)當連續(xù)兩次的迭代值相差大于δ時，繼續(xù)迭代過程；否則停止迭代過程，并輸出Λ和Σ。

2) 固定{Σ,Λ}，優(yōu)化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}。接下來考慮{Σ,Λ}固定時，優(yōu)化{t,α,β,θ,τ}和{P1,P2}的問題。此時，優(yōu)化問題式(18)轉(zhuǎn)化為如下形式：

(22a)

s. t.P1(1+tr(RffΛ))+P2(1+tr(RggΛ))+tr(Σ)≤

PM-σ2tr(Λ)

式(18c)、(18d)

(22b)

式中：

可以采用類似于SCA方法對式(22)求解，此處不再贅述。經(jīng)過一系列變換，問題式(22)轉(zhuǎn)換為：

(23)

s. t. 式(22b)、(18c)

經(jīng)過以上兩步，通過將原問題進行凸近似轉(zhuǎn)化，進而采用交替優(yōu)化求解。整個算法總結(jié)如算法2所示。

算法2 交替優(yōu)化的迭代算法。

1)初始化兩個源節(jié)點的發(fā)射功率P1和P2，設(shè)定算法的終止條件δ為δ=10-3，i=0。

2) 開始迭代過程：

2.1)設(shè)定固定的P1和P2值，用SCA算法求解優(yōu)化問題式(19)，得到{Λ,Σ}。

2.2)用固定的{Λ,Σ}，用SCA算法求解優(yōu)化問題式(23)，得到兩個源節(jié)點的發(fā)射功率P1和P2。

2.3)將得到的Λ、Σ、t、P、P2的值代入優(yōu)化式(18)的目標函數(shù)，得到第i步迭代的結(jié)果f(i)(Λ,Σ,t,P1,P2)。

2.4)如果|f(i+1)(Λ,Σ,t,P1,P2)-f(i)(Λ,Σ,t,P1,P2)|<δ，停止上述的迭代過程，否則返回2.1)，繼續(xù)迭代直至收斂。

3)若rank(Λ)=1,則通過特征分解求得w滿足；否則利用高斯隨機法重構(gòu)一個w，輸出并w、Σ、P1、P2。

1.4 復(fù)雜度分析

本節(jié)簡單分析算法的復(fù)雜度。由算法2可知，算法主要由優(yōu)化式(19)和式(23)兩個部分組成，均為采用SCA迭代算法的復(fù)雜度決定。基于文獻[15]，迭代優(yōu)化的復(fù)雜度是迭代收斂的步數(shù)和每一步的凸優(yōu)化復(fù)雜度的乘積。假設(shè)優(yōu)化算法式(19)和式(23)達到收斂之前分別經(jīng)過M1和M2次迭代，則總的計算復(fù)雜度為O(M1o1+M2o2)，其中o1和o2分別為優(yōu)化式(19)和(23)過程中每一步凸優(yōu)化問題的復(fù)雜度。對于每一步凸優(yōu)化問題，采用CVX工具包[16]求解，復(fù)雜度為優(yōu)化變量維度的三次方量級。因此，總的計算復(fù)雜度為O(M1(N+8)3+73M2)量級。從仿真實驗可知該計算復(fù)雜度還是可以接受的。

2 無人工噪聲輔助的波束形成方案

作為比較對象，本章簡單討論不加入人工噪聲時的最優(yōu)波束形成問題，也就是多個中繼用全部的功率來轉(zhuǎn)發(fā)有用信號的情況下。此時竊聽方可達的速率可以表示為：

(24)

此時，系統(tǒng)最差情況下的保密總速率為：

(25)

最大化保密總速率的問題可以表示如下：

(26)

s. t. tr(ΛT)+P1+P2≤PM

采用交替優(yōu)化算法可以求解該優(yōu)化問題，方法與1.3節(jié)類似，此處不再贅述。

3 實驗仿真及結(jié)果分析

本章采用蒙特卡洛仿真評估所提方案的保密性能。在每一次仿真實現(xiàn)中，所有的信道系數(shù)fR、gR、fE、gE和cE隨機生成，且服從零均值單位方差復(fù)高斯分布。仿真中使用Matlab CVX工具包[16]來求解問題。下面結(jié)果是1 000次隨機獨立實驗的平均結(jié)果。

3.1 最差情況下的保密速率仿真結(jié)果

首先來研究最差情況下的保密速率(WC-SRM)與信道估計偏差范圍ξ之間的關(guān)系。保密速率隨信道偏差范圍ξ的變化曲線如圖2所示。仿真中，設(shè)置信噪比為20 dB，中繼節(jié)點數(shù)K=4。其中，WC-ANBF代表最差情況下有人工噪聲的波束形成方案，最差情況波束形成(Worst Case BeamForming, WC-BF)代表最差情況下無人工噪聲的波束形成方案。

圖2 不同ξ的系統(tǒng)最差情況下保密總速率Fig. 2 Total rate of secrecy in the worst case of different ξ

由圖2可以看出，隨著不準確范圍ξ的增加，兩種方案的保密速率均在減小，尤其是當ξ超過0.4之后，保密總速率減小至0。這說明當信道估計的偏差過大時，兩種方案的性能都會出現(xiàn)很快的下降，將不能夠?qū)崿F(xiàn)保密通信。同時也可以看到，通過采用加入人工噪聲以及去除迫零約束的方法，隨著信道估計誤差的增大，系統(tǒng)的保密速率雖然會減小，但減小的速度卻低于不加入人工噪聲的方案。這說明相比于單純地發(fā)射有用信號，采用加入人工噪聲的方案依然可以有效地提升系統(tǒng)的保密性能。

3.2 精確已知CSI和存在偏差下的仿真結(jié)果對比

為了觀察竊聽方的CSI不準確對系統(tǒng)性能的影響，將文中所提出的兩種方案WC-ANBF和WC-BF分別與理想CSI情況下的兩種方案BF和ANBF作對比。仿真中設(shè)置參數(shù)為：信道估計偏差ξ=0.2，中繼節(jié)點數(shù)K=4。

3.2.1 WC-ANBF與ANBF的比較

竊聽方信道存在估計偏差情況下，ANBF方案保密速率的性能對比如圖3所示。由于此時WC-ANBF方案是在竊聽方信道不準確情況下的波束形成方案，因此傳輸過程中信息的泄露是不可避免的。

圖3 ξ=0.2情況下ANBF與WC-ANBF保密總速率對比Fig. 3 Total rate comparison of secrecy between ANBF and WC-ANBF in case of ξ=0.2

由圖3可以看出，在低的發(fā)射功率下，WC-ANBF方案的保密速率接近于0。這是因為存在信道估計的偏差時，收發(fā)節(jié)點對Eve的估計誤差以及發(fā)射功率的不足，使得采用人工噪聲以及采用波束形成技術(shù)來提高保密速率的方法變得沒有意義，這也從另一個側(cè)面說明了分配合理的發(fā)射功率的重要作用。

同時可以看到，在較高的發(fā)射功率下，ANBF方案與WC-ANBF方案的差距在進一步擴大。這是由于當信道精確已知時，對于ANBF方案而言，足夠的發(fā)射功率可以保證分配合適的功率發(fā)射有用信號和人工噪聲；而對于WC-ANBF方案，發(fā)射功率較大時，信道估計偏差會導(dǎo)致更多的有用信號泄露到Eve端,從而導(dǎo)致其與ANBF方案的差距進一步擴大。通過合適的波束形成和添加人工噪聲技術(shù)可以比較顯著地降低Eve端的信干噪比，降低Eve端的信道容量，從而提高系統(tǒng)的保密速率。

3.2.2 WC-BF與BF、ZFBF的比較

WC-BF 與BF、迫零波束形成(Zero Forcing BeamForming, ZFBF)方案的保密速率的性能對比結(jié)果如圖4所示。WC-BF與BF相比，即Eve存在信道估計偏差的方案與精確已知CSI的方案相比，保密速率有不少的降低，這說明了信道估計準確度的重要性。另外，本文提出的WC-BF與ZFBF相比，由圖4可知，由于缺乏竊聽者的CSI，傳統(tǒng)的ZFBF無法實現(xiàn)真正的迫零，因此其性能最差。由此可以看出，本文提出的WC-BF方案的有效性。而由圖4的對比可以看出，即使存在信道估計偏差的情況下，加入合適的人工噪聲方案的優(yōu)勢仍然被凸顯出來。

圖4 ξ=0.2情況下WC-BF與BF、ZFBF保密總速率對比Fig. 4 Total rate comparison of secrecy of WC-BF, BF and ZFBF in case of ξ=0.2

與理想CSI情況下得到的結(jié)果對比可知，當竊聽方的CSI精確已知時，即使不加入人工噪聲，也可以通過設(shè)計合適的波束形成向量來獲得較高的保密速率;而當竊聽方存在信道估計偏差時，即使獲得足夠的發(fā)射功率，系統(tǒng)的保密速率與理想CSI情況下相比依然有減小。

3.3 算法收斂性能分析

為了驗證本文所提算法的收斂性能，在系統(tǒng)總功率為20 dBW時，分別給出了在信道估計偏差ξ=0.2時，在WC-ANBF方案和WC-BF方案下，系統(tǒng)保密總速率隨迭代步數(shù)變化的情況如圖5所示。

由圖5可以看出，對不同的中繼節(jié)點數(shù)目，算法在經(jīng)過5次左右的迭代后，保密總速率都會達到一個趨于穩(wěn)定的值。以上結(jié)果驗證了本文算法的收斂性，還表明了算法的收斂速度基本不受中繼節(jié)點數(shù)目的影響。

圖5 交替優(yōu)化算法的迭代速度Fig. 5 Iterative speed of alternate optimization algorithm

4 結(jié)語

本文研究了魯棒雙向中繼系統(tǒng)中的物理層安全傳輸問題?？紤]到實際中竊聽節(jié)點的CSI并不能精確已知，本文在竊聽方有一定信道估計偏差的假設(shè)下，提出一種最差情況下能夠使系統(tǒng)保密速率最大化的魯棒性優(yōu)化方案，并采用交替優(yōu)化算法對問題求解。仿真結(jié)果表明，隨著信道估計偏差的增大，系統(tǒng)的保密速率在減小，當信道的估計偏差增大到一定范圍后，系統(tǒng)將不能實現(xiàn)保密通信；也可以看出，WC-ANBF方案具有優(yōu)于WC-BF方案的性能。仿真結(jié)果從另一個側(cè)面既表明了采用波束形成和人工噪聲聯(lián)合優(yōu)化方案的有效性，也表明了在通信中信道估計準確度的重要性。仿真結(jié)果同時分析和驗證了所提方案的收斂性。