樊亞莉

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展,對應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的人才需求和要求亦有顯著提升。越來越多的實際工作崗位不僅要求應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的人才具有較強的邏輯思維和抽象思維能力,更需要具有較強的創(chuàng)新能力和綜合應(yīng)用能力。概率論作為應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程之一,是專門研究客觀世界中隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支課程,其突出特點是既有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),又廣泛應(yīng)用于自然社會人文等眾多領(lǐng)域,與眾多學(xué)科具有密切聯(lián)系。因此概率論課程在培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和創(chuàng)新創(chuàng)造能力等方面,起著非常重要的作用。

但是,筆者在多年的本科教學(xué)過程中感到,目前應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué),普遍存在偏理論輕應(yīng)用的現(xiàn)象,學(xué)生往往分析解決實際問題能力不高,創(chuàng)新創(chuàng)造意識不強。這使得我們培養(yǎng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才很難滿足當(dāng)前經(jīng)濟市場的需求。造成這種現(xiàn)象的原因涉及到教學(xué)方法、教學(xué)觀念和成績評價體系等多方面因素。就概率論課程而言,傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往偏重理論推理、公式運用以及計算解題等方面,而忽視對概率論在實際問題的應(yīng)用方面的介紹和訓(xùn)練,這就使得學(xué)生對概率論中眾多思想方法,如大數(shù)定律、中心極限定理等,缺乏深刻理解,也難以運用到實際問題中。同時,偏重理論的教學(xué)方法也容易使學(xué)生失去對概率論的學(xué)習(xí)興趣。筆者的這些發(fā)現(xiàn)與參考文獻[2-4]中的觀點基本一致。

概率論課程緊密聯(lián)系實踐的特點決定了在教學(xué)過程中開設(shè)實驗課的可行性,受到參考文獻[5]和[6]中遞進式教學(xué)方法的啟發(fā),本文希望通過對概率輪課程中實驗課的設(shè)計,來輔助理論教學(xué),將教學(xué)過程中難以理解的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為直觀的、易于理解的內(nèi)容。學(xué)生通過簡單易學(xué)的數(shù)學(xué)軟件,自己設(shè)置參數(shù)并完成實驗,從而深刻領(lǐng)會概率論的基本思想,逐步提高實踐能力。

一、實驗課程教學(xué)設(shè)計

(一)實驗課程教學(xué)目的

熟練掌握幾種常見離散型和連續(xù)型分布的相關(guān)函數(shù)命令,包括對應(yīng)分布的隨機數(shù)產(chǎn)生、分布函數(shù)、密度函數(shù)、分位數(shù)函數(shù)等命令;熟練掌握常用的特征數(shù)字的函數(shù)命令,例如均值、方差、中位數(shù)、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、變異系數(shù)、峰度系數(shù)、偏度系數(shù)等;掌握常見的作圖方法,包括繪制分布函數(shù)、密度函數(shù)、直方圖等;能編寫簡單的程序來驗證大數(shù)定律和中心極限定理;能設(shè)計簡單的蒙特卡洛試驗,來估計感興趣的數(shù)值。

(二)軟件介紹

由于實驗課程中的案例的實現(xiàn)需要數(shù)學(xué)軟件的輔助才能完成,因此在實驗課程實現(xiàn)之前,需要學(xué)生熟悉一個合適的軟件。目前數(shù)學(xué)和統(tǒng)計軟件很多,比如功能強大的綜合性軟件MATLAB,統(tǒng)計學(xué)專業(yè)軟件SPSS、SAS等。對于專業(yè)性較強的軟件,往往需要專門的課程來學(xué)習(xí)。對于概率論這門獨立課程,顯然沒有太多的課時用于軟件學(xué)習(xí),因此作為教學(xué)輔助,一款簡單易學(xué)且容易配置的軟件才能滿足要求。R軟件正是這樣一款符合要求的軟件。首先,R軟件是一個開源項目,在很多操作系統(tǒng)上都可以免費安裝;其次,R軟件功能強大,基本安裝就涵蓋了數(shù)以百計的概率統(tǒng)計函數(shù)和圖形函數(shù);最后,R的最大優(yōu)點在于可讀性強,簡單易學(xué),學(xué)生往往只需要1課時就可以掌握R的基本操作。基于上述原因,本文接下來的案例設(shè)計都是基于R軟件進行的。

(三)實驗課教學(xué)內(nèi)容

以56課時的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的概率論課程為例,設(shè)計了8課時的實驗課程。

1.重要的概率分布

計劃用3課時使學(xué)生深刻理解重要分布的分布特點,參數(shù)含義以及密度函數(shù)的圖形特征。重要的概率分布有:二項分布B(n,p)、泊松分布P(λ)、幾何分布G(p)、均勻分布U(a,b)、指數(shù)分布Exp(λ)、正態(tài)分布N(μ,σ2)等。

實驗Ⅰ內(nèi)容如下:

(1)給定參數(shù),繪制上述6種常見概率分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖,理解參數(shù)的大小變化對分布的影響;

(2)給定參數(shù),計算常見概率分布的中位數(shù),并與對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望進行比較;

(3)給定參數(shù),考察運用泊松定理和中心極限定理對于二項分布下概率計算的近似程度。例如設(shè)隨機變量X服從二項分布B(1 000,0.006),則計算概率隨機變量X取值不超過8的概率的精確值,并利用泊松定理和中心極限定理分別計算其近似值,并加以比較。

實驗Ⅰ的設(shè)計意圖如下:

(1)希望學(xué)生通過實驗理解常見分布的特點。比如通過更改參數(shù)λ的大小,可以發(fā)現(xiàn),隨著參數(shù)λ的增加,泊松分布的密度函數(shù)峰值向右偏移,而且泊松分布總是在參數(shù)λ附近取得較大概率值,而在距離λ較遠(yuǎn)處,概率值迅速向零衰減。又如對于正態(tài)分布,當(dāng)參數(shù)μ固定時,改變σ的大小,分布的密度函數(shù)的陡峭程度發(fā)生改變,σ越小,分布越陡峭,而當(dāng)參數(shù)σ固定時,改變μ的大小,分布的密度函數(shù)會左右平移,這樣可以幫助學(xué)生理解μ為位置參數(shù),而σ是形狀參數(shù)。以正態(tài)分布N(0,1)為例,繪制密度函數(shù)和分布函數(shù)圖在R中可以用命令

x<-pretty(c(-3,3),50);y<-dnorm(x,mean=0,sd=1);

z<-pnorm(x,mean=0,sd=1)

plot(x,y,type=″l″,xlab=″x″,ylab=″f(x)″)

plot(x,y,type=″l″,xlab=″x″,ylab=″F(x)″)

這里,用f(x)表示密度函數(shù),用F(x)表示分布函數(shù)。

(2)希望學(xué)生理解各種常見分布與正態(tài)分布比較時的偏度。由于當(dāng)分布右偏時,中位數(shù)小于分布的期望值,當(dāng)分布左偏時,中位數(shù)大于分布的期望值,因此通過比較中位數(shù)和期望,可以理解該分布的偏度。以指數(shù)分布Exp(0.2)為例,通過命令qexp(0.5,0.2)可以算出指數(shù)分布Exp(0.2)的中位數(shù)為3.465 736,而期望值為5,因此推出指數(shù)分布的分布形狀是右偏的。

(3)希望學(xué)生理解并運用泊松定理和中心極限定理求二項分布概率的近似值。在上述例子中,可以用命令pbinom(8,1 000,0.006)算出概率P{X≤8}的精確值為0.847 859 7,用命令ppois(8,6)和pnorm(8,6,sqrt(6×0.994))可分別算出泊松近似值為0.847 237 5,正態(tài)近似值為0.793 594 6,可見泊松近似較好。

2.蒲豐投針問題

用1課時完成蒲豐投針的模擬實驗,要求學(xué)生根據(jù)課本上講過的蒲豐投針問題設(shè)計一個蒙特卡洛實驗,并在具體參數(shù)值下估算圓周率π的值。

實驗Ⅱ內(nèi)容如下:

假設(shè)平面上有間隔為d的等距平行線,向平面隨機投擲一根長度為l的針(l

該實驗可以在R中用以下命令來實現(xiàn)

A=NULL;n=10 000;d=1;l=0.8;

for(iin1∶200){x=runif(n,0,d/2);

y=runif(n,0,pi);

F=(x<=(l/2)×(siny));F=as.numeric(F);

A[i]=mean(F);mean(A)}

2×l/mean(A)

這里,設(shè)定平行線距離為1,針長為0.8,重復(fù)200次,用上述命令可以求得π的近似值為3.141 816,學(xué)生也可以采用其他參數(shù)設(shè)置。

該實驗的設(shè)計意圖是希望學(xué)生深刻理解幾何概率的原理方法,并理解蒙特卡洛實驗的作用,為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模和本科畢業(yè)設(shè)計打下良好基礎(chǔ)。

3.大數(shù)定律

用3課時完成實驗Ⅲ。該實驗的設(shè)計主要參考文獻[1],目的是希望學(xué)生深刻理解大數(shù)定律的含義,同時通過概率實驗來求出一些復(fù)雜積分的近似值。

實驗Ⅲ內(nèi)容如下:

實驗Ⅲ的設(shè)計思路如下:

一般情況下,要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的定積分,如果該函數(shù)的取值介于0和1之間,則可以把該積分值看成一個概率值。事實上,設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從矩形{0≤x≤1,0≤y≤1}上的均勻分布,則可求得邊際分布分別為區(qū)間[0,1]上的均勻分布,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的定積分等價于隨機變量Y的取值不超過f(X)的概率,因此可以用頻率來估計這個概率值。根據(jù)伯努力大數(shù)定律,隨著做實驗的總數(shù)n趨于無窮大,頻率可以依概率收斂到概率。對于一般的復(fù)雜積分,如函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,可以做一個變換,把它變?yōu)樯鲜龅谝活惙e分。另外,也可以從另一個概率論角度來看待,由于假設(shè)X服從[0,1]上的均勻分布,可以把函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的定積分看作函數(shù)f(x)的數(shù)學(xué)期望,然后可以根據(jù)辛欽大數(shù)定律,用平均值估計期望值的方法來求改積分的近似值。同樣對于一般的積分,可以通過變量變換變?yōu)樯鲜龅谝活惙e分。

以積分Ⅰ為例,可以通過以下命令來求該積分的近似值

A=NULL;n=10 000;

for(iin1∶200){x=runif(n,0,1);y=runif(n,0,1);

F=(y<=sinx×cosx×exp(-(x^2)/2));

F=as.numeric(F);

A[i]=mean(F)};mean(A)

這個程序運行之后,得到積分Ⅰ約等于0.288 118 5。該實驗也可以使用以下程序

A=NULL;n=10 000;

for(iin1∶200){x=runif(1,0,1);A[i]=sinx×cosx×exp(-(x^2)/2)}

mean(A)

上述程序運行一次之后可以得到積分Ⅰ約等于0.280 482 3,兩種模擬給出的近似值接近,因此可以推斷積分積分Ⅰ的值介于0.28到0.29之間。

4.中心極限定理

用1課時完成下列實驗Ⅳ。該實驗的設(shè)計目的是希望學(xué)生通過蒙特卡洛實驗來驗證并深刻理解中心極限定理。

實驗Ⅳ內(nèi)容如下:

實驗Ⅳ中的參數(shù)可以改變,比如可以把隨機變量序列的共同分布改為參數(shù)為0.3的指數(shù)分布,同時修改相應(yīng)的Yn的表達(dá)式即可。中心極限定理所描述的結(jié)論正是,無論隨機變量序列服從什么分布,只要滿足獨立同分布,那么隨著n趨于無窮大,獨立和的標(biāo)準(zhǔn)化變量都趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對于上述實驗,可以通過以下程序?qū)崿F(xiàn)。

A=NULL;n=10 000;

for(iin1∶2 000){x=runif(n,0,1);y=(sum(x)-n×0.5)/sqrt(n/12);A[i]=y}

hist(A)

運行該程序一次,可以得到以下直方圖,如圖1所示。

可以看到,模擬出來的Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

這里需要說明的是,上述實驗Ⅱ、實驗Ⅲ、實驗Ⅳ的結(jié)果都依賴于所產(chǎn)生的隨機數(shù),如果沒有固定隨機種子,那么每次運行相同的實驗產(chǎn)生的隨機數(shù)雖然分布相同,但具體數(shù)值不盡相同,因此每一位同學(xué)所得到的結(jié)果不完全相同。學(xué)生正是在這種對隨機性和規(guī)律性的不斷觀察中可以深刻理解概率論中有關(guān)隨機性的基本概念。

圖1 實驗Ⅳ產(chǎn)生的直方圖示例Fig.1 Sample histogram in experiment Ⅳ

二、結(jié)束語

針對應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生,采用緊密聯(lián)系實際的問題設(shè)計了8課時的概率論實驗課程。實驗課和理論課相輔相成,互相促進。學(xué)生通過對實驗課的學(xué)習(xí),能引起對理論學(xué)習(xí)的興趣,加深對理論學(xué)習(xí)的理解,增強學(xué)生學(xué)習(xí)的信心,同時理論學(xué)習(xí)也對學(xué)生實驗課程具有指導(dǎo)意義。在理論教學(xué)中增設(shè)實驗課的教學(xué)方式是實現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的有效途徑,能夠促進學(xué)生養(yǎng)成對問題進行深入研究和思考的良好習(xí)慣。在應(yīng)用型本科教學(xué)要求和大數(shù)據(jù)時代背景下,概率論實驗課作為概率論理論知識和實際問題應(yīng)用的橋梁,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神起到十分積極的作用。