呂春紅 李 洋 趙 坤 董 純

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

隨著MEMS技術(shù)的不斷發(fā)展和成熟，一些低成本的炮彈、導(dǎo)彈和火箭彈等武器需要采用低成本的慣性器件實(shí)現(xiàn)自主導(dǎo)航。但問題是MEMS慣性器件的精度低，各項(xiàng)性能指標(biāo)不能達(dá)到導(dǎo)航系統(tǒng)的要求，因此，為提高M(jìn)EMS捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度，需要對(duì)現(xiàn)有慣性器件的誤差特性進(jìn)行深入研究并建模，采用切實(shí)有效的補(bǔ)償方法加以消除。MEMS慣導(dǎo)工具誤差一般可分為靜態(tài)、動(dòng)態(tài)和隨機(jī)誤差項(xiàng)。靜態(tài)和動(dòng)態(tài)誤差一般認(rèn)為是與載體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等有關(guān)的確定性誤差項(xiàng)，可通過試驗(yàn)標(biāo)定補(bǔ)償。而隨機(jī)漂移是陀螺的重要特性，國內(nèi)外在陀螺漂移測試及建模方面做了大量工作。從陀螺的質(zhì)量塊、彈簧系統(tǒng)等諧振結(jié)構(gòu)層面建立MEMS陀螺儀的數(shù)學(xué)物理模型，然后對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，雖能取得較好的效果，但是在大多數(shù)情況下，由于缺乏MEMS陀螺制造結(jié)構(gòu)等相關(guān)信息，大都采用時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)建模等方法。其中Allan方差法是對(duì)陀螺噪聲進(jìn)行分析的標(biāo)準(zhǔn)方法，它可以將各種誤差源及其對(duì)整個(gè)噪聲統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行辨識(shí)。除此之外，還可采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]、小波分析[2]等對(duì)陀螺的隨機(jī)誤差進(jìn)行建模。文獻(xiàn)[3-5]給出了一般陀螺的隨機(jī)誤差典型Allan方差分布。

結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，描述了根據(jù)MEMS慣導(dǎo)輸出，采用時(shí)間序列分析方法，對(duì)陀螺進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)、平穩(wěn)性檢驗(yàn)及周期檢驗(yàn)，然后采用基于Allan方差估計(jì)出MEMS陀螺主要隨機(jī)誤差項(xiàng)，建立AR模型，通過Kalman濾波對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償。

1 時(shí)間序列分析方法

陀螺的隨機(jī)漂移一般是時(shí)間的函數(shù)，實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)過程。對(duì)于隨機(jī)過程，我們無法用時(shí)間t的確定性函數(shù)來加以描述。但是，可以借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，通過對(duì)大量漂移數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律或者統(tǒng)計(jì)特性。

時(shí)間序列分析方法將平穩(wěn)、正態(tài)和零均值的隨機(jī)序列看作是各時(shí)刻相關(guān)的序列，序列由各時(shí)刻出現(xiàn)的白噪聲組成，即k時(shí)刻為：

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φnxk-n-
θ1ak-1-θ2ak-2-…-θmak-m+ak

(1)

如果模型中θi=0(i=1,2,…,m)，則模型簡化為：

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φnxk-n+ak

(2)

該模型稱為n階自回歸模型AR(n)。如果模型中φi=0(i=1,2,…,n)，則模型簡化為：

xk=ak-θ1ak-1-θ2ak-2-…-θmak-m

(3)

該模型稱為m階的滑動(dòng)平均模型MA(m)。

2 陀螺漂移數(shù)據(jù)預(yù)處理

ARMA模型要求數(shù)據(jù){xt}是平穩(wěn)、正態(tài)和零均值的時(shí)間序列。陀螺輸出的原始信號(hào)中一般包含有緩慢變化的趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)漂移項(xiàng)。所以在采用時(shí)間序列分析法進(jìn)行建模前，一般需將原始信號(hào)中的趨勢(shì)項(xiàng)去掉。

2.1 基于二次擬合的趨勢(shì)項(xiàng)提取方法

一般趨勢(shì)項(xiàng)可以采用線性、指數(shù)等函數(shù)進(jìn)行擬合。本文采用二次擬合的方法，趨勢(shì)項(xiàng)的函數(shù)如下：

mt=a0+a1t+a2t2

(4)

其中，a0,a1,a2為待估參數(shù)。

(5)

也可用差分法消除趨勢(shì)項(xiàng)。一階差分算子定義為：

▽xt=xt-xt-1

(6)

二階差分定義為：

▽2xt=▽(▽xt)=xt-2xt-1+xt-2

(7)

實(shí)際問題中往往需要差分的階數(shù)很低，一階或兩階就已經(jīng)足夠。

2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性檢驗(yàn)是陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的首要問題，它用來檢驗(yàn)漂移數(shù)據(jù)序列是否具有不隨時(shí)間推移而變化的統(tǒng)計(jì)特性。本文采用逆序法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。首先設(shè)定每個(gè)子樣的個(gè)數(shù)l為20，原始序列的長度為N，則子序列的長度為n=N/l。逆序總數(shù)的理論平均值為：

(8)

逆序總數(shù)的理論方差為：

(9)

通過對(duì)100個(gè)子序列進(jìn)行計(jì)算，可以得出計(jì)算的逆序總數(shù)為651。利用構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出的u=0.6525。

從圖1可以看出，各子序列的逆序數(shù)總體是呈線性遞減的趨勢(shì)，并且在真實(shí)逆序數(shù)的上下變化。當(dāng)顯著性水平為0.05時(shí)，若|u|<1.96，則說明是平穩(wěn)序列。而上面計(jì)算出的u為0.6525，滿足平穩(wěn)序列的要求。

圖1 各子序列的逆序數(shù)分布圖

2.3 周期性檢驗(yàn)

周期性檢驗(yàn)用來識(shí)別陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)中是否包含有隨機(jī)量以外的周期性分量，周期性檢驗(yàn)的方法是直接考察從漂移數(shù)據(jù)得到的概率譜密度函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度的圖形。從圖2可以看出，功率譜密度圖中也沒有明顯的譜峰，說明陀螺的輸出中不包含有周期項(xiàng)。

圖2 陀螺漂移的功率譜密度

3 基于Allan方差的隨機(jī)誤差估計(jì)

將MEMS慣組放置在試驗(yàn)室隔離地基上，測試軸置于水平面內(nèi)東西方向，采樣頻率100Hz，采樣3000s。MEMS陀螺的原始輸出曲線圖如圖3。

圖3 MEMS陀螺靜態(tài)輸出曲線圖

在陀螺隨機(jī)誤差中通常存在角隨機(jī)游走，速率隨機(jī)游走，偏差不穩(wěn)定性，量化噪聲和速率斜坡。根據(jù)上面對(duì)5項(xiàng)隨機(jī)誤差的分析，總的Allan方差可以表示為5項(xiàng)隨機(jī)誤差的Allan方差之和，形式如式(10)[6]。

(10)

根據(jù)陀螺靜態(tài)測試數(shù)據(jù)，計(jì)算的Allan標(biāo)準(zhǔn)差與的雙對(duì)數(shù)(log-log)曲線圖如圖4所示。

圖4 MEMS陀螺的Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖

對(duì)式(10)采用最小二乘擬合方法可計(jì)算得到角度隨機(jī)游走系數(shù)、零偏不穩(wěn)定性系數(shù)、速率隨機(jī)游走系數(shù)、速率斜坡和量化噪聲的估計(jì)值，如表1所示。

表1 MEMS陀螺的各項(xiàng)隨機(jī)誤差估計(jì)值

從表1可以看出，該陀螺的角度隨機(jī)誤差為MEMS隨機(jī)誤差中的主要部分，其他噪聲項(xiàng)的系數(shù)非常小，可以忽略不計(jì)。

由于MEMS陀螺的隨機(jī)漂移模型階次比較低，一般不超過二到三階，所以在實(shí)際建模中選用了AR(1)、AR(2)和AR(3)三種時(shí)間序列模型進(jìn)行討論。AR模型結(jié)構(gòu)式可寫成式(2)的形式。對(duì)各參數(shù)估計(jì)得到數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 AR模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

采用FPE(最終預(yù)報(bào)誤差)準(zhǔn)則分析模型定階。從表中可看出，AR(3)模型的FPE最小，但與AR(1)模型的FPE基本相同，所以可采用AR(1)模型來描述陀螺的隨機(jī)漂移模型。

上面已經(jīng)確定出陀螺隨機(jī)漂移模型的類型和參數(shù)，采用AR(1)進(jìn)行建模。采用所建立的模型即可進(jìn)行卡爾曼濾波。AR(1)模型如式(11)：

x(k+1)=-0.3326x(k)+w(k)

(11)

其中，x(k)是陀螺漂移模型的狀態(tài)，w(k)是均值為0，方差為σ2的白噪聲。

建立的卡爾曼濾波狀態(tài)方程如式(12)：

x(k+1)=Φ(k,k-1)x(k)+Fw(k)

(12)

其中，Φ(k,k-1)=-0.3326,F=1。

系統(tǒng)的觀測值可以表示為狀態(tài)量加上白噪聲：

y(k)=x(k)+v(k)

(13)

則H=1，V(K)為白噪聲序列。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)上述建立的隨機(jī)誤差A(yù)R(1)模型，建立Kalman濾波方程，進(jìn)行陀螺輸出隨機(jī)誤差估計(jì)。狀態(tài)方程的噪聲方差陣Q和觀測噪聲方差陣R取為AR(1)模型的估計(jì)誤差的方差。濾波誤差的協(xié)方差陣初值p(0/0)取為1，狀態(tài)量的初始值x(0)取為0。圖5為陀螺靜止時(shí)采樣1min的數(shù)據(jù)，采樣頻率為100Hz。

圖5 陀螺輸出的原始數(shù)據(jù)

圖6 卡爾曼濾波后的陀螺輸出

圖6為Kalman濾波后的陀螺輸出曲線。濾波前陀螺輸出的原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0143(°)/s，濾波后陀螺輸出的標(biāo)準(zhǔn)差為0.00424(°)/s，提高了3倍。

5 結(jié)論

采用Allan方差法分析了陀螺中的各項(xiàng)隨機(jī)誤差系數(shù)，通過時(shí)間序列方法對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行建模，再應(yīng)用Kalman濾波可以減小MEMS陀螺的隨機(jī)誤差。仿真實(shí)驗(yàn)表明采用時(shí)間序列分析進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可以有效消除MEMS慣組導(dǎo)航方程中的模型誤差和測量誤差，從而大大提高M(jìn)EMS捷聯(lián)慣導(dǎo)的精度。本文是根據(jù)靜態(tài)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)誤差建模，后續(xù)可以結(jié)合導(dǎo)彈當(dāng)前運(yùn)動(dòng)模型，研究動(dòng)態(tài)條件下MEMS慣導(dǎo)的隨機(jī)誤差建模與補(bǔ)償方法。