二維PSD的非線性畸變校正算法

王靜儀，王興東，劉 釗，曾 鏞,仄士春

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081;2.揚(yáng)州力德工程技術(shù)有限公司，江蘇 揚(yáng)州，225131)

隨著制造業(yè)的高速發(fā)展，自動(dòng)化焊接在實(shí)際工程中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，并已成為先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成部分。焊縫自動(dòng)跟蹤是焊接自動(dòng)化的關(guān)鍵技術(shù)環(huán)節(jié)之一，對(duì)保證焊縫質(zhì)量、改善勞動(dòng)條件、提高生產(chǎn)率有重要的作用。焊縫跟蹤系統(tǒng)一般由視覺傳感器、控制系統(tǒng)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)三部分組成，其中視覺傳感器對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的跟蹤精度至關(guān)重要。位置敏感探測(cè)器 (position sensitive detector, PSD)是一種先進(jìn)的光電位置傳感器，因其分辨率高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)而被應(yīng)用于焊縫跟蹤[1-2]，但PSD存在的非線性畸變問題會(huì)降低焊縫跟蹤系統(tǒng)的數(shù)據(jù)置信度。

為了上述問題，研究人員提出了各種校正方法。袁紅星等[3]運(yùn)用雙一次插值及雙二次插值算法對(duì)PSD的非線性進(jìn)行補(bǔ)償，但其精度還有待提高。管炳良等[4]提出了適用于非均勻網(wǎng)格的二維PSD離散標(biāo)定誤差修正方法，經(jīng)補(bǔ)償后在PSD中心1 mm范圍內(nèi)示值誤差小于2 μm。張風(fēng)齊等[5]使用雙調(diào)和樣條插值算法來(lái)校正PSD產(chǎn)生畸變的離散點(diǎn)，仿真分析顯示，校正后在PSD整個(gè)感光面上的均方誤差不超過2.29 μm。Cui等[6]提出兩個(gè)線性度指數(shù)用于評(píng)估二維位置測(cè)量精度，并設(shè)計(jì)了新的估計(jì)公式以消除PSD非線性畸變的影響。

本文以二維PSD在焊縫跟蹤系統(tǒng)應(yīng)用中產(chǎn)生的非線性畸變?yōu)檠芯繉?duì)象，首先對(duì)圖像縮放算法中應(yīng)用較多的雙三次插值法進(jìn)行介紹，然后針對(duì)PSD在離散標(biāo)定中出現(xiàn)的非均勻網(wǎng)格提出雙三次插值改進(jìn)算法，最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)算法對(duì)于二維PSD非線性畸變校正的有效性以及在實(shí)際焊縫跟蹤系統(tǒng)中的適用性。

1 二維PSD工作原理

PSD的工作原理是基于半導(dǎo)體的橫向光電效應(yīng)，分為一維和二維兩大類，二維PSD可以測(cè)量光斑在平面上的運(yùn)動(dòng)位置。二維PSD的光敏面常為正方形，有兩對(duì)電極，其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示，其中陰影部分為二維PSD的有效工作區(qū)域。

當(dāng)入射光點(diǎn)位置與各電極距離不同時(shí)，4個(gè)電極收集的電流強(qiáng)度也不相同，并且與光點(diǎn)在光敏面上的位置相對(duì)應(yīng)。光斑中心點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)可根據(jù)下式求得[7]：

(1)

式中：X1、X2、Y1、Y2為每一電極的輸出信號(hào)(光電流)；L為相鄰電極間的距離。

2 PSD非線性畸變校正

制作PSD所用硅片材料的非均勻性往往呈現(xiàn)出一種緩慢的梯度變化。若將整個(gè)PSD光敏面上的位置誤差函數(shù)E(x,y)離散化，得到一系列網(wǎng)格點(diǎn)陣上的誤差函數(shù)值，對(duì)于非網(wǎng)格點(diǎn)上的誤差，則可用插值、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法進(jìn)行函數(shù)逼近，這樣便可得到待校正點(diǎn)的逼近值。

2.1 雙三次插值算法

雙三次插值是三次插值在二維空間上的一種擴(kuò)展[8]。為了減少計(jì)算復(fù)雜度，雙三次插值過程被分解為水平和垂直兩個(gè)一維插值，如圖2所示。

圖2 雙三次插值示意圖Fig.2 Schematic diagram of bicubic interpolation

首先進(jìn)行水平插值，根據(jù)待校正點(diǎn)P(x,y)周圍4×4點(diǎn)陣的坐標(biāo)及與待校正點(diǎn)的距離插值，得到4個(gè)虛擬點(diǎn)P1、P2、P3、P4；再由這4個(gè)虛擬點(diǎn)與待校正點(diǎn)進(jìn)行垂直插值，得到校正后的點(diǎn)P：

(2)

式中：C1、C2、C3、C4為水平插值系數(shù)；H1、H2、H3、H4為垂直插值系數(shù)。

針對(duì)二維PSD非線性畸變校正，根據(jù)式(2)可以整理得出插值函數(shù)φ(xp,yq)：

(3)

則點(diǎn)P(x,y)在X、Y方向上的畸變值為：

(4)

式中：EX(xp,yq)和EY(xp,yq)分別為網(wǎng)格頂點(diǎn)(xp,yq)在X、Y方向上的畸變值。

2.2 改進(jìn)的雙三次插值算法

理論上，前述4×4點(diǎn)陣網(wǎng)格是均勻的，以圖3中的待校正點(diǎn)P(x,y)為例，按照雙三次插值的思想，由式(3)可知，插值函數(shù)φ(xp,yq)代表了P(x,y)周圍的點(diǎn)對(duì)它的補(bǔ)償，函數(shù)值是通過網(wǎng)格中16個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算的。在均勻點(diǎn)陣中，這16個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以由點(diǎn)A1、A2、A3、A4的橫坐標(biāo)和點(diǎn)A1、A5、A9、A13的縱坐標(biāo)來(lái)表示，在計(jì)算網(wǎng)格中的任意一點(diǎn)對(duì)點(diǎn)P(x,y)的補(bǔ)償分量時(shí)，其實(shí)是利用了圖3中橢圓圈內(nèi)7個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)信息。

圖3 改進(jìn)的雙三次插值示意圖

Fig.3Schematicdiagramofimprovedbicubicinterpolation

然而實(shí)際上，PSD自身存在的非線性畸變導(dǎo)致所標(biāo)定的網(wǎng)格是不等間距的。假如需要求點(diǎn)A7對(duì)點(diǎn)P(x,y)的補(bǔ)償值，根據(jù)雙三次插值算法，點(diǎn)A7的插值函數(shù)φ(xi+2,yj+1)僅與橢圓圈內(nèi)的點(diǎn)有關(guān)。而在非均勻網(wǎng)格中，點(diǎn)A7的橫、縱坐標(biāo)與點(diǎn)A3的橫坐標(biāo)及點(diǎn)A5的縱坐標(biāo)不相等，因此得到的插值函數(shù)φ(xi+2,yj+1)并不準(zhǔn)確，無(wú)法體現(xiàn)出點(diǎn)A7對(duì)點(diǎn)P(x,y)的補(bǔ)償分量，所以不能籠統(tǒng)地用橢圓圈內(nèi)的7個(gè)點(diǎn)對(duì)待校正點(diǎn)的補(bǔ)償來(lái)代替該點(diǎn)所在網(wǎng)格對(duì)它的補(bǔ)償。

下面對(duì)雙三次插值算法進(jìn)行改進(jìn)，仍以點(diǎn)A7為例進(jìn)行說明。A7對(duì)待校正點(diǎn)P(x,y)的補(bǔ)償分量應(yīng)該與兩點(diǎn)之間的距離相關(guān)，即距離越近補(bǔ)償分量越大。將網(wǎng)格中與A7位于同一行或同一列的7個(gè)點(diǎn)(A3,A5,A6,A7,A8,A11,A15)的坐標(biāo)值代入式(3)中得到插值函數(shù)φ(xi+2,yj+1)，這樣就反映了A7點(diǎn)對(duì)P(x,y)的補(bǔ)償分量，也反映了兩點(diǎn)之間的距離關(guān)系。其他點(diǎn)對(duì)P(x,y)的補(bǔ)償分量同樣按照上述方法得到，此處不贅述。最后通過式(4)即可得出點(diǎn)P(x,y)最終的校正值。

基于改進(jìn)雙三次插值的PSD非線性畸變校正算法流程如下：

(1)在PSD光敏面上得到均勻點(diǎn)陣Ai，并計(jì)算出點(diǎn)陣中每個(gè)點(diǎn)在X、Y方向的畸變值；

(2)找到某待校正點(diǎn)P(x,y)在Ai中所處4×4網(wǎng)格；

(3)得到網(wǎng)格中每個(gè)頂點(diǎn)所在行和列的7個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入式(3)，求得插值函數(shù)φ(xp,yq)；

(4)將φ(xp,yq)和該頂點(diǎn)的畸變值代入式(4)，得出待校正點(diǎn)P(x,y)在X、Y方向上的畸變值EX(x,y)和EY(x,y)；

(5)EX(x,y)和EY(x,y)分別加上點(diǎn)P(x,y)的橫、縱坐標(biāo)即為校正后的P點(diǎn)坐標(biāo)。

3 算法驗(yàn)證

3.1 仿真

仿真采用的數(shù)據(jù)由PSD的畸變模型[9]得到：

(5)

式中：I1～I(xiàn)4為4個(gè)電極輸出的電流；I0為光生電流；X、Y分別為光點(diǎn)的理論橫、縱坐標(biāo)；l為PSD光敏面的邊長(zhǎng)，這里取單位長(zhǎng)度1。

根據(jù)式(5)以及二維PSD的位置計(jì)算公式(1)，產(chǎn)生9×9的樣本點(diǎn)集(見圖4)，得到每個(gè)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)和測(cè)量坐標(biāo)。分別用雙一次插值[3]、雙二次插值[3]、改進(jìn)的雙二次插值[4]、雙三次插值以及本文提出的改進(jìn)雙三次插值算法對(duì)圖4所示非線性畸變進(jìn)行校正，計(jì)算出各個(gè)算法的誤差均差和方差，如表1所示。

圖4 樣本點(diǎn)集Fig.4 Sample points

表1各算法的校正誤差對(duì)比

Table1Comparisonofcorrectionerrorsbydifferentalgorithms

算法誤差均值/μm方差/nm雙一次插值2.9513.760雙二次插值2.5522.190改進(jìn)雙二次插值2.2811.820雙三次插值2.2391.770改進(jìn)雙三次插值1.2010.721

由仿真結(jié)果可得，與其它4個(gè)算法相比，改進(jìn)雙三次插值算法的誤差均差和方差都有明顯降低，表明該算法能夠很好地實(shí)現(xiàn)PSD的非線性畸變校正。

3.2 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。選用深圳達(dá)瑞鑫光電科技有限公司生產(chǎn)的PSD-1515型位移傳感器，其最大感光面積為15 mm×15 mm，分辨率為1 μm，光譜響應(yīng)范圍為380～1100 nm；點(diǎn)激光器的功率為50 mW、波長(zhǎng)為650 nm；三軸精密位移平臺(tái)的精度為1 μm。PSD的有效工作區(qū)域在光敏面中心8 mm×8 mm范圍內(nèi)，故本實(shí)驗(yàn)僅在此區(qū)域內(nèi)進(jìn)行畸變校正。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5 Experimental apparatus

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

(1)系統(tǒng)初始化。將PSD固定于三軸精密位移平臺(tái)上，使點(diǎn)激光垂直照射于PSD的感光區(qū)域，調(diào)整激光器焦距，使光斑面積最小。

(2)獲取誤差函數(shù)。選擇一定步長(zhǎng)S0，由于PSD的原點(diǎn)存在偏移，故設(shè)計(jì)螺旋軌跡，控制精密位移平臺(tái)，使激光點(diǎn)從原點(diǎn)開始分別沿PSD的X、Y方向移動(dòng)，獲得一系列網(wǎng)格點(diǎn)陣(xi,yi)，根據(jù)式(6)可以得到每個(gè)頂點(diǎn)的誤差值:

(6)

式中：xi、yi為理論坐標(biāo)值；xi0、yi0為PSD測(cè)量值。

(3)激光點(diǎn)回到原點(diǎn)位置，重復(fù)步驟(1)進(jìn)行初始化。

(4)修正待校正點(diǎn)。選擇步長(zhǎng)S1(S1

表2是本文算法對(duì)PSD非線性畸變的部分校正結(jié)果，其中，樣本1～5是PSD光敏面中心1 mm×1 mm范圍內(nèi)(A區(qū))的采樣點(diǎn)，樣本6～10是PSD光敏面中心1 mm×1 mm以外、8 mm×8 mm以內(nèi)范圍(B區(qū))的采樣點(diǎn)。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，對(duì)A區(qū)樣本點(diǎn)的校正效果較好，全體樣本的平均誤差為4 μm；對(duì)B區(qū)樣本點(diǎn)的平均校正誤差為16 μm；越靠近PSD有效區(qū)域中心，誤差越小。

表2 改進(jìn)算法對(duì)PSD非線性畸變校正的部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Partial experimental results of PSD nonlinear distortion corrected by the improved algorithm

上述實(shí)驗(yàn)是對(duì)靜態(tài)光斑的采集與畸變校正，而在實(shí)際焊縫跟蹤系統(tǒng)中，PSD采集的是動(dòng)態(tài)變化的光斑。為了驗(yàn)證本文算法的實(shí)用性，采用點(diǎn)激光器在待焊板材上產(chǎn)生動(dòng)態(tài)光斑，通過二維PSD進(jìn)行跟蹤。如圖6所示坐標(biāo)-時(shí)間曲線為系統(tǒng)采集的未經(jīng)過校正的原始數(shù)據(jù)，其中x、y分別是動(dòng)態(tài)光斑通過PSD示出的橫、縱坐標(biāo)。將原始數(shù)據(jù)通過改進(jìn)的雙三次插值算法進(jìn)行校正，校正前后的數(shù)據(jù)與理論值的誤差分布如圖7所示，經(jīng)過計(jì)算得出原始數(shù)據(jù)的誤差均值為37.5μm，校正后的誤差均值為6.2 μm。由此可見，改進(jìn)的雙三次插值算法可以應(yīng)用于焊縫跟蹤系統(tǒng)中的PSD非線性畸變校正。

圖6 校正前的焊縫數(shù)據(jù)Fig.6 Weld seam data before correction

圖7 校正前后的誤差分布Fig.7 Error distributions before and after correction

4 結(jié)語(yǔ)

本文在分析雙三次插值算法原理的基礎(chǔ)上，提出了適用于PSD非線性畸變校正的改進(jìn)雙三次插值算法，然后通過仿真和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行算法驗(yàn)證。采用改進(jìn)算法對(duì)PSD非線性畸變的仿真樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行校正后，在PSD全感光面上的誤差均值為1.2 μm，與其它4種經(jīng)典插值算法相比有明顯優(yōu)勢(shì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，經(jīng)過本文算法校正，PSD光敏面中心1 mm×1 mm范圍內(nèi)的非線性畸變誤差平均值為4 μm，1 mm×1 mm以外、8 mm×8 mm以內(nèi)范圍的誤差平均值為16 μm。該算法對(duì)于PSD采集的動(dòng)態(tài)光斑也取得了比較好的校正效果，可實(shí)際應(yīng)用于焊縫跟蹤系統(tǒng)。