廣東省華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 何小亞

始于1999年，以《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》及三維目標為標志的第八次數(shù)學課程改革，到2017年已經(jīng)實施了19年，這項課程改革盡管已經(jīng)取得了不俗的成就，但仍然還存在著許多問題，這就需要進一步深化課程改革，要求我們正視問題，找準問題，分析問題，解決問題.那么數(shù)學教學還存在什么嚴重的問題? 數(shù)學教育的未來路在何方? 什么是數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學核心素養(yǎng)，二者與數(shù)學三維目標是什么關(guān)系? 如何具體落實數(shù)學核心素養(yǎng)? 科學且具有實操性的數(shù)學教學設(shè)計的標準是什么? 下面，運用質(zhì)性研究方法來研究回答這些問題.

1.數(shù)學教學存在的問題

1.1 例題習題分不清，學生參與成空談

按照數(shù)學教學專業(yè)標準，例題要由教師示范講授，而習題要由學生自己完成.但如今很多數(shù)學課上，看不到教師完整的講解例題過程，而是叫大家先做，然后教師問：“會不會”，學生答：“會!”(中國的學生誰愿意說不會啊?).于是就對答案；一旦意識到一些學生不會，老師就叫學生講，而講的學生往往因其使用的字母符號、圖形和大家的不一致，或者是字跡、圖形、聲音不清楚，無法保證同伴形成清晰的問題空間.沒有清晰的問題空間，何來思維的同步共鳴? 學生參與數(shù)學思維名存實亡.而且學生往往只是講了綜合法形式，并沒有講出他或她是如何由因?qū)Ч绾螆?zhí)果索因，如何上下緊逼、前后夾攻而思路貫通——找到了問題的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)的邏輯聯(lián)系[1]，沒有數(shù)學解題和數(shù)學證明的思路探索過程的示范展示，怎么可能做到真正提高學生的數(shù)學思維水平?

而布置學生做習題時，老師又不完全放手，像保姆一樣喋喋不休地公開啟發(fā)提示，到底是老師做還是學生做? 剝奪了學生解題思路探索的機會，怎么能提高學生的問題解決能力?

聽了不少普通中學、重點中學的數(shù)學課，我們發(fā)現(xiàn)，無論是正常上課還是大型的同課異構(gòu)課，學生積極參與數(shù)學思維的大概也就四分之一.如此低的參與度怎么能保證數(shù)學教學的效果? 學生參與度較低的主要原因是學生分層的缺失、教學設(shè)計的不專業(yè)、吸引和激勵學生玩數(shù)學的手段之匱乏.

如果要想真正提高學生的數(shù)學思維水平和問題解決能力，必須恢復(fù)例題、習題的本來功能.例題就是要由老師來完整地示范講解，不能再低效地半做半講，學生代替老師講.你叫學生做例題，那例題就不是例題了，應(yīng)該選擇另外的問題作為例題.而學生在做練習時，教師要公開閉嘴! 要想大面積提高學生的成績，數(shù)學教學必須實施分層教學!

1.2 方法先行失創(chuàng)新，問題解決難實行

某重點大學畢業(yè)了十多年的教師，在一節(jié)立體幾何復(fù)習課中，講線面平行的證明，是按照其發(fā)給學生的學案結(jié)構(gòu)順序進行的：

類型一 線面平行的證明(中位線法，平行四邊形法，面面平行法)

(1)方法一：中位線法 例1、變式1、變式2；

(2)方法二：平行四邊形法 例2、變式1、變式2；

(3)方法三：面面平行法 例3、變式1、變式2.

某重點中學的教師講數(shù)列通項與求和時，其板書的順序是：

一、求通項 1.公式法——例1； 2.累加法——例2； 3.累乘法——例3；4.倒數(shù)法——例4；5.待定系數(shù)法——例5.

盡管以上兩位老師的內(nèi)容不同，但他們教學生解題的方式完全一樣，那就是總結(jié)專題類型，方法先行，例題跟上，也就是用習題來說明方法，為方法而解題.在解題之前，學生就知道此題用此法，彼題用彼法，還有什么思維訓練價值? 中考、高考時可沒有人來提醒你，此題用A 法，彼題用B 法來解答.方法先行的解題教學的后果是，學生只會重復(fù)一個解題反應(yīng)，沒有學會獨立去創(chuàng)造一個反應(yīng)——問題解決! 為什么平時的校際聯(lián)考、地區(qū)性考試，甚至一些模擬考，學生成績還不錯，但一到真正的高考(指的是以問題解決為價值取向的高考)學生的成績就不行了? 因為方法先行的解題教學難以教會學生解決真正的問題(Problem：老師沒講過，自己也沒有練過，沒有現(xiàn)成模式和算法可套的問題)[2]P201-240.筆者相信，張奠宙先生的在天之靈絕對反對這樣的變式教學!

1.3 標準缺失生亂象，數(shù)學本質(zhì)未揭示

許多教師，包括名校出身的、教了幾十年的教師，在教數(shù)學概念和原理時，由于缺少數(shù)學概念、原理的專業(yè)標準的支持，不知道，數(shù)學概念教學的本質(zhì)? 數(shù)學概念學習的幾種水平? 數(shù)學原理學習的本質(zhì)? 數(shù)學原理學習的幾種水平? 數(shù)學教學到底要教什么? 無法幫助學生建構(gòu)起良好的概念圖式和原理圖式[3]P40-71.例如，為什么要學習對數(shù)? 理解對數(shù)要理解什么? 為什么要學習等差數(shù)列、等比數(shù)列? 為什么要講基本初等函數(shù)? 為什么要求曲線的方程? 求曲線的方程本質(zhì)上是求什么? 由于缺少問題解決教學理論的指導(dǎo)，講數(shù)學題就是講答案，講算法(一做什么，二做什么，三做什么)，沒有講出怎么想出來的.有具體的解法，但沒有思路探索的揭示，更沒有數(shù)學思想.

數(shù)學教學低效的直接原因是，很多教師在上課時并不清楚這節(jié)課到底要學生學會什么，于是在快下課小結(jié)時問一些無效的問題：懂了沒有? 會不會? 大家要急著出去玩耍、上廁所、約會，誰會說不懂! 誰敢說不會! 一說不會，老師會追問：“哪里不會? 這么簡單，別人會你怎么不會? ”(潛臺詞是：笨蛋! 弱智! 不努力!)于是教師聽到的是大聲整齊的回答：“會了! 懂了! ”于是大家都十分開心地閃了.假設(shè)有人問這位老師：“什么叫會? 什么叫懂? ”這位先生十有八九是糊涂的、非專業(yè)的，因為他并不清楚數(shù)學教學除了教知識與技能之外，還有什么高大上的追求?

和其它學科相比，數(shù)學是最不受歡迎的學科，也是傷害眾多網(wǎng)友的學科[4].過程與方法目標，尤其是情感態(tài)度價值觀目標的缺失是導(dǎo)致“大眾不喜歡數(shù)學”這一現(xiàn)象最直接的原因.

產(chǎn)生以上亂象的根本原因是，數(shù)學教師在備課時缺少專業(yè)標準的指引.

1.4 不良觀點引誤解，數(shù)學素養(yǎng)難實現(xiàn)

盡管數(shù)學課程改革已經(jīng)實施了十幾年，但許多教師，包括專業(yè)的數(shù)學教育研究者，仍未能明確數(shù)學三維目標的內(nèi)涵和外延.

許多一線教師都在抱怨，三維目標還沒搞明白，怎么又出來“核心素養(yǎng)目標”呢? 華東師范大學的崔允漷教授認為“三維目標”本身就比較難理解，尤其是“過程與方法”的目標.由于看不清“過程與方法”目標的內(nèi)涵和外延，他認為三維目標是較低的2.0 版本，核心素養(yǎng)目標是較高的3.0 版本[5].三維目標真的過時了嗎? 事實上，三維目標本身體現(xiàn)的恰恰就是核心素養(yǎng)的要求，我們不能因自己不知道、不理解而對其持否定的態(tài)度.

其實，核心素養(yǎng)的定義和特點表明，以核心素養(yǎng)為標志的第九次數(shù)學課程改革不是革命性的，課堂教學改革更不是革命性的(革命是要否定，要推翻，要打倒重來的! )，而是對第八次數(shù)學課程改革的傳承，是補齊沒有落實好過程與方法、情感態(tài)度價值觀目標這一短板的深化改革，這也是中央文件《關(guān)于深化教育體制機制改革的意見》的精神.

不少數(shù)學教育專家、教研員在各種場合說：“三維目標是課程目標，不是課堂教學目標，在數(shù)學課堂教學設(shè)計中沒必要都寫三維目標”；“情感態(tài)度價值觀目標要靠過程教學來完成，過程性目標里就有情感態(tài)度價值觀目標，怎么能分開來寫? ”試問：沒有每一節(jié)課的過程與方法、情感態(tài)度價值觀目標的具體化設(shè)計、追求，何來總體課程的過程與方法、情感態(tài)度價值觀目標的實現(xiàn)? 認為不能把過程性目標和情感態(tài)度價值觀目標分開來寫的原因是他們自身并沒有明確數(shù)學三維目標的內(nèi)涵和外延.

在設(shè)計數(shù)學課堂教學目標時，眾多的數(shù)學教育雜志上的優(yōu)秀教案，不少國家級、省級的獲獎教案，都出現(xiàn)了這樣一些硬傷：目標內(nèi)涵不清楚、目標串位、目標層次要求不清楚，目標只是一個擺設(shè)，空洞無物，與內(nèi)容不協(xié)調(diào)，與學生實際不符.請看某初中教師設(shè)計的《平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的使用》這節(jié)課很不專業(yè)的教學目標：

知識與技能：讓學生接觸并解決一些社會生活中問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，重視和提高學生的理解水平.

過程與方法：根據(jù)不同的問題情景，選擇合理的統(tǒng)計量進行分析決斷，在問題解決過程中，培養(yǎng)學生自主學習能力；

情感、態(tài)度與價值觀：提供適當?shù)膯栴}情景，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生學習數(shù)學興趣，在合作學習中，學會交流，相互評價，提高學生的合作意識與能力.

再比如，某個獲得省級教學大賽特等獎后再獲得某學會全國青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎的說課教案《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》的教學目標也出現(xiàn)了前述的一些問題[6]P263-275.

2.數(shù)學教育的未來之路

數(shù)學教育的未來之路必然是以追求理解、追求探究、追求問題解決為價值取向，最終實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的達成，并促進學生的核心素養(yǎng)發(fā)展.問題是很多數(shù)學教師不清楚：數(shù)學是什么? 什么是理解? 什么是問題? 什么是問題解決? 什么是數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學核心素養(yǎng)，二者與數(shù)學三維目標是什么關(guān)系?數(shù)學三維目標的內(nèi)涵、外延是什么? 什么是學生發(fā)展的核心素養(yǎng)?

2.1 發(fā)展學生的核心素養(yǎng)

改革開放40年，中國取得了舉世矚目的成就.經(jīng)濟學家測算，再過15年左右，中國的經(jīng)濟總量可以達到全球第一.要實現(xiàn)中國夢，僅有經(jīng)濟第一還不行，還要有地球村民認同的文化軟實力.為此，2012年11月，習近平主席提出具有全球視野的普世價值觀——社會主義核心價值觀(富強、民主、文明、和諧，自由、平等、公正、法治，愛國、敬業(yè)、誠信、友善).2017年9月24日，國務(wù)院針對文化軟實力發(fā)展的需要和第八次課程改革存在的問題，頒布了《關(guān)于深化教育體制機制改革的意見》的中央文件，由此掀起了以核心素養(yǎng)為標志的第九次課程改革.為此，教育部曾于2013年委托北京師范大學和華南師范大學等五所高校研究學生發(fā)展的核心素養(yǎng)，最終于2016年9月13日正式發(fā)布了《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架.

這一框架以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三大領(lǐng)域，綜合表現(xiàn)為人文底蘊；科學精神；學會學習；健康生活；責任擔當；實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，每一個素養(yǎng)又依次具體細化為三個要點，一共十八個基本要點：人文積淀、人文情懷、審美情趣； 理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究； 樂于善學、勤于反思、信息意識；珍愛生命、健全人格、自我管理；社會責任、國家認同、國際理解；勞動意識、問題解決和技術(shù)運用.

核心素養(yǎng)是學生在接受相應(yīng)學段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.其基本特點是：①核心素養(yǎng)是所有學生應(yīng)具有的最關(guān)鍵、最必要的基礎(chǔ)素養(yǎng)； ②核心素養(yǎng)是知識、能力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn)； ③核心素養(yǎng)可以通過接受教育來形成和發(fā)展；④核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性； ⑤核心素養(yǎng)兼具個人價值和社會價值； ⑥學生發(fā)展核心素養(yǎng)是一個體系，其作用具有整合性.[7]

2.2 提高學生的數(shù)學素養(yǎng)[8]

數(shù)學素養(yǎng)是一種十分重要的學生發(fā)展的核心素養(yǎng).在全球10 個發(fā)達國家，3 個先進組織，2 個發(fā)達地區(qū)的核心素養(yǎng)框架中，有13 個將“數(shù)學素養(yǎng)”列為學生發(fā)展核心素養(yǎng)的一級指標.

數(shù)學素養(yǎng)是滿足學生自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學方面的品格和能力，是數(shù)學的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn).數(shù)學素養(yǎng)的構(gòu)成要素為：數(shù)學化、數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)學意識、數(shù)學思想方法和數(shù)學情感態(tài)度價值觀.按照學生獲得的先后順序和難易程度，數(shù)學素養(yǎng)的表現(xiàn)水平可以由低到高分成三個層次：數(shù)學知識與技能、數(shù)學過程與方法和數(shù)學情感態(tài)度價值觀.

當前，數(shù)學教學低效的主要原因是教師不知道理解數(shù)學要理解什么? 也不清楚到底要教會學生什么? 因此，要提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，首先就要提高教師的數(shù)學素養(yǎng).于是，數(shù)學教師培訓必須解決的核心問題是：如何幫助教師深刻認識數(shù)學和欣賞數(shù)學? 如何提高教師對數(shù)學具體內(nèi)容的理解水平?如何由低效的應(yīng)試刷題教學轉(zhuǎn)向數(shù)學問題解決教學?

2.3 數(shù)學核心素養(yǎng)的細分

數(shù)學核心素養(yǎng)則是一些重要的、關(guān)鍵的數(shù)學能力.2018年1月16日公布的普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)中給出的高中數(shù)學核心素養(yǎng)是：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)給出了十個關(guān)鍵詞，也就是小學初中的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析能力、運算能力、推理能力、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、模型思想.當前，最迫切需要解決的問題是，在數(shù)學教學中，如何科學、具體地落實這些數(shù)學核心素養(yǎng)?

首先，考慮到數(shù)學抽象的研究對象有兩類，一是真實世界，二是數(shù)學世界.另外，數(shù)學抽象的內(nèi)容主要有三類：一是問題，二是數(shù)學概念，三是數(shù)學原理.于是數(shù)學抽象的內(nèi)容就可以細分為兩類六種：一是在真實世界中利用理想化和數(shù)學表示提出數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理，這個叫水平數(shù)學化(horizontal mathematization).數(shù)學建模是一種很重要的水平數(shù)學化，可以將其單列出來討論；二是在數(shù)學世界中提出更高級的數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理，這個叫垂直數(shù)學化(vertical mathematization).

其次，標準中所說的邏輯推理的內(nèi)容實質(zhì)上包括了演繹推理與部分合情推理的內(nèi)容.

第三，直觀想象這一條核心素養(yǎng)中的“直觀”屬于數(shù)學思想.直觀只是化歸的手段之一，它只解決了代數(shù)與幾何的聯(lián)系問題.其實化歸是比直觀更普遍、更重要的數(shù)學核心素養(yǎng).無論是初等代數(shù)還是高等代數(shù)，處理方程問題時，都是在把多元問題化歸為少元問題，最終少到一元；把高次問題化歸為低次問題，最終低到一次.立體幾何中也是將空間問題化歸為平面問題，平面問題化歸為數(shù)軸問題.而想象則屬于合情推理，它是一種重要的合情推理形式.

基于以上三點考慮，結(jié)合文[9]的研究結(jié)論，可以將數(shù)學核心素養(yǎng)細分調(diào)整為：數(shù)學化、數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)學意識、數(shù)學思想方法和數(shù)學情感態(tài)度價值觀.

數(shù)學化是從現(xiàn)實世界到數(shù)學世界或者由低層數(shù)學到高層數(shù)學的轉(zhuǎn)化過程.它主要包括：形式化：用簡潔有效的符號來表示心里產(chǎn)生的數(shù)學問題、概念、原理和結(jié)構(gòu)模式的過程，它可以分為水平數(shù)學化(在真實世界中利用理想化和數(shù)學表示提出數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理)和垂直數(shù)學化(在數(shù)學世界中提出更高級的數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理).

圖式化：是對形式的數(shù)學本質(zhì)內(nèi)容的內(nèi)化過程，是對數(shù)學概念、原理、模式的理解過程.

數(shù)學建模：就是運用理想化和數(shù)學表示的手段從實際問題中概括提煉出一個數(shù)學模型，求出模型的解，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，從而使這一實際問題得以解決的過程.

數(shù)學運算是指，根據(jù)算理和算法對數(shù)與式進行的運算.它要求運算要正確、迅速、合理，并對運算結(jié)果的正確性進行判斷、驗算.它包括：數(shù)值計算、代數(shù)運算.

數(shù)學推理是指，由一個或幾個已知判斷得出一個新的數(shù)學判斷的思維形式.它包括：

演繹推理(deductive reasoning中國學界習慣稱之為邏輯推理)：從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理規(guī)則進行的推理，它是一種必然性推理.

合情推理(plausible reasoning)：從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過不完全歸納、類比和想象等方式來推斷某些結(jié)果的推理，它是一種或然性推理.

數(shù)學意識是個體在思考問題時在數(shù)學方面的自覺意識或思維習慣，是用數(shù)學的眼光看世界的具體內(nèi)容，它包括：

數(shù)的意識：對數(shù)的意義的理解；數(shù)的表示；數(shù)的大小的相對性；用數(shù)進行交流；算法的選擇；數(shù)值的估算與解釋.

符號意識：能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，所得到的結(jié)論具有一般性，能用符號進行交流.

空間觀念：指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形，圖形的分解與組合，等等.

數(shù)據(jù)分析意識：意識到數(shù)據(jù)中隱藏著重要信息；有收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、用數(shù)據(jù)說理的習慣；意識到數(shù)據(jù)分析方法的多樣性與合理性；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性.

應(yīng)用意識：一是有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；二是認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決.

數(shù)學思想方法是數(shù)學思想和數(shù)學方法的統(tǒng)一，它既包括觀念層面的數(shù)學思想(一種數(shù)學觀念，它是貫穿于一類數(shù)學方法中的普遍的方法原則、策略和規(guī)律)又包括操作層面的數(shù)學方法.比如數(shù)形結(jié)合思想、公理化思想、化歸思想、模型化思想、統(tǒng)計思想、隨機思想、微積分思想，等等.

數(shù)學情感態(tài)度價值觀是指，個體對數(shù)學學科、數(shù)學活動、數(shù)學對象的喜好、立場觀念等心理傾向.它包括：對數(shù)學的自信心，對數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值的認識，對數(shù)學的獨特之美的感受，等等.

3.數(shù)學課堂教學設(shè)計的標準[3]P20-24

3.1 數(shù)學教學設(shè)計的理念

數(shù)學教學設(shè)計是教師根據(jù)學生的認知發(fā)展水平和課程培養(yǎng)目標，來制定具體教學目標，選擇教學內(nèi)容，設(shè)計教學過程各個環(huán)節(jié)的過程.主要解決以下三大問題：要達到什么目標? 如何實現(xiàn)目標? 設(shè)計效果如何? 其設(shè)計理念是：

3.1.1 提高教學效率

數(shù)學教學設(shè)計最基本、最重要的理念是提高教學效率.教學效率的高低主要體現(xiàn)在：是否激發(fā)了學生學習的動機，尤其是內(nèi)在動機；是否促進了學生的學習；是否落實了教學目標要求.

3.1.2 教是為了不教

“一切為了學生的發(fā)展”是數(shù)學新課程的核心理念.學生是數(shù)學教學系統(tǒng)中最重要的一個要素.數(shù)學教學必須以促進學生的學習為主要目標，體現(xiàn)“以人為本”的先進教育理念.現(xiàn)代的數(shù)學教育十分強調(diào)以問題解決教育為價值取向，這就要求數(shù)學教學設(shè)計必須以提高學生的問題解決能力為重要目標，使學生逐步學會獨立學習，從而實現(xiàn)“教是為了不教”的最終目標.

3.1.3 追求數(shù)學素養(yǎng)的達成

新課程提出，要改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調(diào)形成積極主動的學習態(tài)度，使獲得基礎(chǔ)知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程.在培養(yǎng)目標上強調(diào)知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀三維目標的整合.最終實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的達成和促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展的目標.

因此，數(shù)學教學已不再僅僅以“知能(Literacy：讀、寫、算)”為目的，而是更加關(guān)注知識技能的形成過程和學習方式的多樣化.讓學生在多樣化的數(shù)學活動中感受、體驗數(shù)學的探索與創(chuàng)造，使學生對數(shù)學有好的理解，形成良好的情感態(tài)度價值觀.

3.2 知識與技能

這一維度指的是數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能.其內(nèi)容主要包括三類：一類是數(shù)學概念、數(shù)學原理(即數(shù)學定理、性質(zhì)、公式、法則)、基本的數(shù)學事實結(jié)論這樣一些用于回答“是什么”問題的陳述性知識，它屬于言語信息；第二類是涉及到數(shù)學概念、數(shù)學原理、基本的數(shù)學事實結(jié)論的運用，用于回答“做什么”的問題的程序性知識，它屬于認知技能；第三類是數(shù)學操作性技能，它屬于動作技能.

知識與技能目標的要求可以分成以下四個層次：

了解：能回憶出知識的言語信息；能辨認出知識的常見例證；會舉例說明知識的相關(guān)屬性.

理解：能把握知識的本質(zhì)屬性；能與相關(guān)知識建立聯(lián)系；能區(qū)別知識的例證與反例.

掌握：在理解的基礎(chǔ)上，能直接把知識運用于新的情境.

綜合運用：能綜合運用知識解決問題.

“了解”(同義語：知道、認識、辨認)、“理解”、“掌握”都是針對某一具體的數(shù)學知識而言的.“綜合運用”則強調(diào)綜合運用各種知識來解決問題.而這里所說的“問題”則包括純數(shù)學問題和實際問題，以及介于這兩者之間的應(yīng)用題(部分理想化了的實際問題).需要強調(diào)的是，“掌握”是以理解為前提的單個知識的運用水平.那種會套用而不理解的水平不屬于“掌握”水平.

由于綜合運用的難度主要取決于知識點的數(shù)量與由已知通向答案的步驟的數(shù)量，以及思路步驟間的跨度大小，因此，綜合運用層次還可以據(jù)此細分.

我們在寫知識與技能目標時，可以根據(jù)其知識與技能的內(nèi)容和層次要求來寫.比如說，“了解什么”“理解什么”“掌握什么”“綜合運用什么”.綜合運用還可以再寫細一些，如“使學生達到兩個知識點三步驟的綜合運用水平.”

了解和理解反映了構(gòu)建知識意義的水平；掌握與綜合運用反映了知識遷移運用的水平.知識運用的水平可以分成正用水平、逆用水平和變形使用水平.如“逆用……定理”、“逆用……公式”、“變形使用……公式”.“會解”、“會用”、“解決”這些術(shù)語既指單一知識點的掌握水平，也指綜合運用水平.

3.3 過程與方法

過程與方法目標的內(nèi)容是：通過數(shù)學學習過程，把握數(shù)學思想方法、形成數(shù)學能力，改善數(shù)學思維品質(zhì)(廣闊性、深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和嚴謹性)，發(fā)展數(shù)學意識，提高問題解決能力(參看文獻[2]P201-241)和積累基本活動經(jīng)驗.

標準中所說的數(shù)學核心素養(yǎng)就是數(shù)學能力系統(tǒng)中的一些關(guān)鍵能力，也就是說，數(shù)學能力已經(jīng)包括標準中所說的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等能力.

培養(yǎng)學生的“數(shù)學眼光”實際上就是培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，其操作性定義為：數(shù)的意識、符號意識、空間觀念、數(shù)據(jù)分析意識、應(yīng)用意識.

基本活動經(jīng)驗是指經(jīng)歷一項數(shù)學基本活動后所獲得的意會知識(tacit knowledge).“意會知識是指不能言傳的、不能系統(tǒng)表述的知識.意會知識是鑲嵌于實踐活動之中的，是情境性的和個體化的，只可意會，不可言傳.只有通過親身的活動體驗才能學會和提高.”[2]P140基本活動經(jīng)驗是否符合專業(yè)標準，取決于我們?yōu)閷W生提供了什么樣的活動.學生經(jīng)常接吻，就獲得了吻的經(jīng)驗；經(jīng)常刷題，就獲得刷題的經(jīng)驗；經(jīng)歷問題解決的過程，就獲得了問題解決的經(jīng)驗；經(jīng)歷了數(shù)學試算、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)的過程，就積累了數(shù)學研究發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗.

描述過程與方法目標的常見術(shù)語有：經(jīng)歷……過程、培養(yǎng)……能力、領(lǐng)悟……思想方法、發(fā)展……意識、學習……的問題解決方法； 觀察、參與、嘗試； 探索、研究、發(fā)現(xiàn)； 合作、交流、反思.在寫過程與方法目標時，可以根據(jù)其內(nèi)容和上述術(shù)語來寫.

3.4 情感態(tài)度與價值觀

這里的情感是指，在數(shù)學活動過程中比較穩(wěn)定的情緒體驗.數(shù)學態(tài)度是指，對數(shù)學活動、數(shù)學對象的心理傾向或立場，表現(xiàn)出興趣、愛好、喜歡與否、看法立場.數(shù)學態(tài)度可以演變?yōu)閿?shù)學信念——對數(shù)學持有的較為穩(wěn)定的總體看法、觀念，一旦形成就難以改變.數(shù)學態(tài)度包括對數(shù)學學科的態(tài)度(即數(shù)學信念)、對數(shù)學的興趣、對數(shù)學具體內(nèi)容的態(tài)度.這一維度目標的內(nèi)容還包括宏觀的價值觀和數(shù)學審美觀，如：對數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值的看法；辯證法的觀點；數(shù)學的精確之美、嚴謹之美、簡潔之美、概括之美、統(tǒng)一之美，以及奇異、對稱、和諧之美.

刻畫情感態(tài)度目標的術(shù)語有：感受……、體會……、領(lǐng)悟……；形成……觀點、養(yǎng)成……習慣、欣賞……之美.在寫情感與態(tài)度目標時，可以根據(jù)其內(nèi)容和上述術(shù)語來寫.

3.5 數(shù)學三維目標設(shè)計的注意事項

3.5.1 知識與技能目標要具體詳細

對于概念，不能只空洞地寫理解什么概念，而要寫出理解的具體內(nèi)容.要做到這一點，教師首先要對概念要有好的理解，即具備此概念的良好圖式.概念圖式的核心內(nèi)容就是主體對概念的看法.良好的概念圖式要求看法要多，看法要準確，看法要深刻.例如，字母a的良好圖式是：“看死a，它就是一個數(shù)； 看活a，它就是一個變數(shù)，可大，可小，可正，可負；a和x沒有什么不同，他倆都表示數(shù)，當然，其值可能相同也可能不同；跳出代數(shù)看a，它是某一點的坐標，某一線段的長度，某一圖形的面積，某一幾何體的體積，這些度量的正負是有意義的，表明了對象所處的方位； …….”只有良好地理解了字母a，我們才有可能寫出理解a的具體內(nèi)容.

對于原理，也不能只是寫理解什么原理，而要寫出理解的具體內(nèi)容.理解原理就是要理解原理結(jié)構(gòu)的不變性和概括性(讓人跪拜之屬性!)，理解其表達形式的可變性、多樣性.

對于概念、原理的運用，需要按照運用的層次來寫.劃分水平層次的標準一是正用、逆用、變用； 二是知識點的數(shù)量，步驟的數(shù)量，步驟間跨度的大小(這是一個相對的指標，只能做定性分析.當然，我們可以用增加步驟來解決跨度大的問題，實在增加不了，可以不考慮這一指標，但要在難點之處說明)；三是學生水平層次比較接近時，可考慮完成任務(wù)的人數(shù)比例維度(80%是個比較合理的要求).

3.5.2 過程與方法目標要抓六方面

傳統(tǒng)教學是“重操作，輕理解； 重知識，輕思想； 重結(jié)論，輕過程”，而數(shù)學新課程則十分強調(diào)過程教學.知識分為明確知識與意會知識.知識與技能目標主要解決明確知識方面的目標，而意會知識方面的目標要通過數(shù)學學習活動的過程來實現(xiàn).過程與方法目標反映了過程教學的理念.這一目標要從數(shù)學思想、數(shù)學能力、數(shù)學思維、數(shù)學意識、問題解決、活動經(jīng)驗這六個方面的具體內(nèi)容去考慮書寫，要寫出具體的什么思想，這一思想的內(nèi)容是什么，什么能力，什么樣的思維品質(zhì)內(nèi)容，什么樣的意識，問題解決中的什么內(nèi)容，以及什么過程.

3.5.3 情感態(tài)度與價值觀目標要抓小放大

情感態(tài)度價值觀屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu)，不是明確知識，而是意會知識，無法通過傳授而直接獲得，必須通過學生的過程學習間接獲得.教師在進行教學設(shè)計時，要以知識技能為基礎(chǔ)，以過程方法為途徑，在引導(dǎo)學生學習數(shù)學的過程中，形成良好的情感態(tài)度與價值觀.在設(shè)計這一目標的內(nèi)容時，著重考慮以下幾個層次：

一是學習的興趣.數(shù)學教育應(yīng)當使學生對數(shù)學有一個比較客觀、正確的認識，愿意接近數(shù)學、了解數(shù)學、談?wù)摂?shù)學，對數(shù)學現(xiàn)象保持一定的好奇心.這就要求課堂教學要從學生已有的生活經(jīng)驗、數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，注意創(chuàng)設(shè)良好的問題情境(水平數(shù)學化需要創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實世界的真情境，不要瞎編一些不存在的實際問題；垂直數(shù)學化需要創(chuàng)設(shè)數(shù)學世界的情境，沒必要每節(jié)課都聯(lián)系生產(chǎn)生活實際)，使學生對問題或?qū)W習內(nèi)容產(chǎn)生好奇，產(chǎn)生“我想學”的興趣.

二是學生的參與.和其他學科相比，數(shù)學是最抽象，最不好玩，最難玩的學科.因此，數(shù)學教師要想法使學生主動參與學習，學得快樂、學得成功，獲得情感上的滿足.

三是學生的體驗.在數(shù)學活動中，獨立思考，自主判斷，體驗數(shù)學概念的形成過程，體驗數(shù)學原理的發(fā)現(xiàn)過程，體驗問題解決的過程，體驗數(shù)學活動的探索性和創(chuàng)造性，逐步形成一種對數(shù)學、對現(xiàn)實世界的態(tài)度和價值觀.

四是學生的主體性.學生在數(shù)學學習活動中獲得了強烈的主體意識，學習數(shù)學、提高自己的數(shù)學素養(yǎng)成為學生自身的主體愿望和自覺行為.

在寫情感態(tài)度價值觀目標時，要多寫當期的、微觀的具體內(nèi)容的感受、體會、喜好，少寫遠期的、宏觀的信念、價值觀.

例如，關(guān)于平方差公式的教學設(shè)計，有位高級老師將情感態(tài)度價值觀目標設(shè)計為：

“敢于面對數(shù)學活動中的困難，并有獨立克服困難勇氣和運用知識解決問題的成功體驗，有學好數(shù)學的自信心；體驗數(shù)、符號和圖形是有效的描述現(xiàn)實世界的重要手段，認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具，通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學猜想，體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結(jié)論的確定性；在獨立思考的基礎(chǔ)上，積極參與對數(shù)學問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，并尊重與理解他人的見解；能從交流中獲益.”

顯然，這樣的目標太多，太全，太空，沒有針對性和現(xiàn)實性.文獻[6]中的案例20（“首屆東芝杯中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”數(shù)學組一等獎（冠軍））則將這一目標設(shè)為：“糾正片面觀點：‘數(shù)學只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義! 學了數(shù)學沒有用! ’體會數(shù)學源于實際，高于實際，運用于實際的科學價值與文化價值.”與前一目標相比，這一目標更有針對性和現(xiàn)實性，也簡潔實用得多.

如何讓學生對數(shù)學生情呢? 首先，教師自己要對數(shù)學生情，并在教學中公開表達自己的數(shù)學之情.只有理解了具體的數(shù)學概念、原理，才可能對這些概念、原理生情.沒有理解就有了傷害! 其次，數(shù)學教學要讓學生與數(shù)學“談戀愛”[10]，即：相識：創(chuàng)設(shè)情境，使其一見鐘情；勾魂：問題驅(qū)動，使其欲罷不能；解惑：解決問題，使其豁然開朗；相知：理解數(shù)學，使其情意綿綿；動情：欣賞數(shù)學，使其情不自禁.

在此，僅舉一些對數(shù)學及其內(nèi)容的情感體驗的例子供大家參考：

講直線與圓的位置關(guān)系，必須將“眼見并不為實! ”貫穿始終，教師要感慨：數(shù)學好精確哦，可以解決肉眼不能分辨的微觀粒子問題.

講到不完全歸納的相關(guān)問題時，教師贊嘆：數(shù)學真的好嚴謹，其邏輯性，尤其是舉反例的思維簡直是獨一無二的.

在短線段上的點與長線段上的點之間建立一一對應(yīng)之后，教師要驚嘆：短線段上的點與長線段上的點竟然一樣多，好神奇噢! 太不可思議了! 以后學習研究數(shù)學真的不能從真實世界的角度去看數(shù)學!

數(shù)學是因為追求簡單而誕生的.例如，為了簡化浪費時間、浪費人力物力在樹干上刻痕計數(shù)的工作，人類用0，1-9 這十個數(shù)字、進位制以及小數(shù)點，就可以表示超大的數(shù)，無限接近0 的數(shù)；加法就是數(shù)數(shù)的簡化；乘法就是復(fù)雜加法的簡化，不是新東西.不信請看：請寫出10000 個2 相加.你要重復(fù)寫10000 個2，9999 個加號，你累不累啊! 浪費時間，浪費筆墨紙張，很不環(huán)保! 怎么辦? 簡化它! 2 就寫一個，加號寫一個，不對! 那就把它旋轉(zhuǎn)45 度，給她取個名，叫乘號，于是，10000 個2 相加可以簡化為2×10000，這就是乘法! 哇，乘法太簡潔了!到了初中，老師如法炮制：乘方不是新運算，你們在小學早已學過.乘方就是復(fù)雜乘法的簡化，不信請看：請寫出10000個2 相乘.你要重復(fù)寫10000 個2，9999 個乘號，你累不累啊!浪費時間，浪費筆墨紙張，很不環(huán)保! 怎么辦? 簡化呀! 2 就寫一個，乘號就懶得寫了，就在2 的右上角寫上10000，于是，10000 個2 相乘可以簡化為210000，這就是乘方! 哇塞，乘方太簡潔了! 有了乘方，知道冪和指數(shù)求底數(shù)就是開方；知道冪和底數(shù)求指數(shù)就是求對數(shù).數(shù)學，真是太漂亮了!

數(shù)學最精彩的不是抽象性，而是概括性，即通殺性——以一個有限的模式搞定無窮的具體! 數(shù)學的概括性讓人跪拜!! 你不信? 請看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少個向量? 向量有長有短，長至十萬八千里，短至1 納米，還有無窮無盡的方向，這么多無窮無盡的向量如何掌控，我的媽呀，太復(fù)雜了! 不過所有向量都逃不出我數(shù)學佬的手心，我的世界我做主! 對于平面上的任意一個非零向量-→AB，我在這個平面上隨意選定兩個不共線的向量i,j，分別過起點A和終點B作直線a平行于i，直線b平行于j，因為i和j不共線，所以直線a,b必然交于一點，根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘向量就可得出-→AB=mi+nj.看到了吧，這么多無窮無盡的向量居然可以只用兩個不共線的已知向量i和j線性表示，哇，平面向量基本定理太簡單了! 太概括了! 太強大了! 強大到以一個有限的模式駕馭無窮的具體! 老夫我不得不跪拜!! 還有哦，平面向量基本定理就是數(shù)乘向量的推廣，平面向量基本定理還可以推廣到三維空間，其方法、結(jié)果形式幾乎是一樣的.哇塞，數(shù)學是聯(lián)系的、統(tǒng)一的...，哦，My god，數(shù)學讓我，讓我心跳加快，血壓升高....

4.課堂教學目標設(shè)計的案例

從內(nèi)容角度考慮，教數(shù)學就是要三教，即：一教概念；二教原理；三教問題解決.決定一堂課好不好的核心要素是這節(jié)課的教學目標，以下是根據(jù)上述課堂教學目標設(shè)計的理論標準進行設(shè)計的案例.

4.1 數(shù)學概念教學目標設(shè)計案例

案例一：對數(shù)概念第一節(jié)課的教學目標(“第六屆東芝杯中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”數(shù)學組一等獎(冠軍))[11]

知識與技能：理解對數(shù)的概念(即：對數(shù)loga N是一個實數(shù)，她十分有魅力，我喜歡稱她為“小鮮數(shù)”，你要問我她等于多少，就是在問底a的多少次冪等于真數(shù)N)以及指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系.

過程與方法：

①經(jīng)歷對數(shù)概念的提出過程，學習將乘法和除法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加減以及乘方和開方轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘除運算的化歸思想；

②通過類比減法、除法、開方運算學習對數(shù)概念的過程，學習類比思想，積累垂直數(shù)學化的經(jīng)驗.

情感態(tài)度與價值觀：

①感受引入對數(shù)十分必要；

②領(lǐng)悟?qū)?shù)超強的簡化運算的功能；

③體會對數(shù)源于生活中數(shù)學運算的需要，它有較高的科學價值和應(yīng)用價值.

案例二：《雙曲線及其標準方程》第一節(jié)課的教學目標知識與技能：

①理解雙曲線的定義；

②會推導(dǎo)雙曲線的標準方程；

③明確雙曲線標準方程中a,b,c的關(guān)系，知道怎樣求a,b,c；

④能分清什么形式的方程是雙曲線的標準方程，并知道焦點的位置與方程形式的對應(yīng)關(guān)系.

過程與方法：

①經(jīng)歷用拉鏈畫雙曲線的活動，培養(yǎng)動手操作能力與合作意識，積累水平數(shù)學化的經(jīng)驗；

②通過雙曲線的定義和標準方程的推導(dǎo)過程，提高運算化簡能力，并最終形成這樣一種能力：“求曲線的方程實質(zhì)上就是求該曲線上任意一點的坐標所滿足的關(guān)系式.為此，需要建立直角坐標系，設(shè)點坐標，抓住該曲線上的點滿足的幾何性質(zhì)，將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程，證明這個方程就是所求的方程”.

③通過拓展練習3 和4，學習分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并證明初中的反比例函數(shù)圖像就是雙曲線.

情感態(tài)度價值觀：

①通過用拉鏈畫雙曲線感受數(shù)學實驗活動的樂趣；

②通過發(fā)掘雙曲線定義的細節(jié)體會數(shù)學的嚴謹性；

③通過雙曲線標準方程的推導(dǎo)過程，感受“追求簡單化”這一數(shù)學的靈魂；

④通過雙曲線標準方程及圖像感受數(shù)學的簡潔、對稱、概括、統(tǒng)一之美.

4.2 數(shù)學原理教學目標設(shè)計案例

案例三：《正弦定理》第一節(jié)課的教學目標(“第七屆東芝杯中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”數(shù)學組一等獎(冠軍))[12]

知識與技能：

①了解正弦定理的應(yīng)用背景，探索與證明正弦定理；

②理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達這一不變性的“字母可變性”.

③知道解三角形的概念，學會“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其它”和“已知兩邊及其中一邊對角求其它”的問題.

過程與方法：

①經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的思路探索過程，學習由特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)合情推理能力；

②通過嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學思想.

情感態(tài)度價值觀：

①感受正弦定理的統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美；

②體會正弦定理的科學價值和應(yīng)用價值，形成崇尚數(shù)學的精神.

案例四：《2.3 數(shù)學歸納法》教學目標(“第五屆東芝杯中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”數(shù)學組三等獎(第9 名))[13]

知識與技能：

①理解兩步驟的必要性與合理性；

②會用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡單問題.

過程與方法：

①借助具體問題與直觀模型，經(jīng)歷數(shù)學歸納法的“再創(chuàng)造”過程，積累水平數(shù)學化的經(jīng)驗；

②理解將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題的化歸思想，培養(yǎng)數(shù)學探究的意識.

情感態(tài)度價值觀：喜歡數(shù)學歸納法，并體驗以有限駕馭無限，以靜制動的超強威力.

4.3 問題解決教學目標設(shè)計案例

案例五：《走進數(shù)學建模世界》的教學目標(“第二屆東芝杯中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”數(shù)學組一等獎(冠軍))[6]P231-243

知識與技能：

①理解數(shù)學模型、數(shù)學建模兩個概念；

②掌握框圖2——數(shù)學建模的過程.

過程與方法：

①經(jīng)歷解決實際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；

②提高學生通過建立函數(shù)模型解決實際問題的能力.

情感態(tài)度價值觀：

①體驗將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的數(shù)學化過程；

②感受數(shù)學的實用價值，體會數(shù)學以不變應(yīng)萬變的魅力.