□姬梁飛

（華中科技大學(xué)教育科學(xué)研究院，湖北武漢 430074）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出“四能”課程目標(biāo)，從數(shù)學(xué)視角培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析及解決問題的能力[1].解決問題并非單純的智力活動(dòng)，也是一種心理分析活動(dòng)或認(rèn)知操作過程.波利亞認(rèn)為，把解題活動(dòng)看成純粹的“智力活動(dòng)”是錯(cuò)誤的，它也是一種意志教育，決心與情緒起到了重要作用，學(xué)生若沒有機(jī)會(huì)體會(huì)到由解題活動(dòng)帶來的各種情緒變化，那么這種數(shù)學(xué)教育是失敗的[2].所以，解決問題活動(dòng)具有創(chuàng)造性與目的性，并受以思考和探索為主導(dǎo)下心理活動(dòng)的影響.本文圍繞四個(gè)維度，從雙向、雙示、雙聯(lián)、雙維等視角，探究數(shù)學(xué)問題解決的心理思維過程，為問題解決提供一種理解和視角.

一、目標(biāo)導(dǎo)向：直接與迂回

解決問題具有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)，正是問題的現(xiàn)狀與目標(biāo)之間的斷層引發(fā)了個(gè)體內(nèi)部心理認(rèn)知的矛盾沖突.良好的目標(biāo)導(dǎo)向能夠激發(fā)個(gè)體積極的心理狀態(tài)，利用目標(biāo)導(dǎo)向設(shè)計(jì)問題的解決方案，產(chǎn)生自覺探索、主動(dòng)思考、克服困難的心理傾向.維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論，將學(xué)生發(fā)展的可能性和目標(biāo)鎖定在最近發(fā)展區(qū)，它是學(xué)生有可能做到，但又不能獨(dú)立完成的那個(gè)區(qū)域.如果目標(biāo)不明確，往往導(dǎo)致耗時(shí)耗力，或勞而無功.利用目標(biāo)導(dǎo)向，需要分清“欲求量”和“已知量”之間的關(guān)聯(lián)，“欲求量”是目標(biāo)，“已知量”是手段.在“欲求量”或“已知量”的周圍尋找出“相鄰近量”，選用“相鄰近量”打通兩者的聯(lián)系.同時(shí)，設(shè)計(jì)合理的解決方案或途徑，需要把握兩條目標(biāo)路線.第一種是直接路線，從問題的已有條件入手，選擇正面解決問題.第二種是迂回路線，從問題的結(jié)果或結(jié)論入手，采用間接的或曲徑通幽的，甚至是反面思考的方式解決問題.

依據(jù)問題的存在形式，問題分為原始形式、過渡形式和目標(biāo)形式.問題解決可以從原始形式開始，也可以從目標(biāo)形式開始，然后尋找適當(dāng)方法或路徑建構(gòu)過渡形式，完成問題形式的合理轉(zhuǎn)化.比如，方程和不等式問題可以選擇函數(shù)思想方法去解決，討論方程根的問題可以構(gòu)造輔助函數(shù)來解決，研究函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系可以運(yùn)用圖象、數(shù)形結(jié)合的方法來解決.

例1已知m＞0,n＞0，求證

一般地，問題的條件與結(jié)論是相輔相成的，可以根據(jù)條件論證結(jié)論，反之，也可以根據(jù)結(jié)論印證條件.如果條件簡明充分，求解思路清晰順暢，則可選直接路線，尋找相關(guān)中間量，由條件推證結(jié)論.如果結(jié)論過于繁雜，或已知條件無從下手，則可選迂回路線.其中常用的是反面思考策略，利用排除法、逆推法、反例法、反證法等方式求解.比如求證不可能是等比數(shù)列中的三項(xiàng)，可假設(shè)其成立，然后尋找矛盾（推理結(jié)果和已知條件，已知公理、定義、定理產(chǎn)生矛盾，或從兩個(gè)不同角度得到的結(jié)論不一致等），從而間接解決問題.利用目標(biāo)導(dǎo)向是應(yīng)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去探索新情境中的問題，挖掘現(xiàn)有問題形態(tài)和欲達(dá)到的目標(biāo)形態(tài)間隱藏的關(guān)系.從而拓展兩種形態(tài)間相互轉(zhuǎn)化的路徑，縮短“已知量”和“欲求量”的距離，引導(dǎo)個(gè)體積極主動(dòng)的心理思維過程，這也是目標(biāo)導(dǎo)向解決問題的優(yōu)勢(shì)所在.

二、模式識(shí)別：內(nèi)容與形式

英國數(shù)學(xué)教育家懷海特認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門關(guān)于模式的科學(xué)，本質(zhì)特征就是在對(duì)模式化的個(gè)體進(jìn)行抽象，并在這個(gè)過程中研究其模式[3].解決數(shù)學(xué)問題需要具備一定的識(shí)別能力，能夠識(shí)別研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模式.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家塔爾塔科夫斯基曾經(jīng)把解決問題類比為“捕捉藏在石頭堆里耗子”，他認(rèn)為捕捉石頭堆里的耗子有兩種辦法.其一，將石頭堆的石塊不斷地移開，直到露出老鼠.其二，圍繞石頭堆，留心觀察四周的石頭，是否有從石頭縫里露出的老鼠尾巴.若一旦發(fā)現(xiàn)，就抓住尾巴，將其從石頭堆里拖出來.

識(shí)別數(shù)學(xué)模式，有助于快速捕捉隱含信息，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)問題，有時(shí)哪怕僅前進(jìn)了微小的幾步，但卻極大地推動(dòng)問題的解決.數(shù)學(xué)模式可以從內(nèi)容和形式等兩方面去識(shí)別，分析其內(nèi)涵結(jié)構(gòu)，觀察呈現(xiàn)形式.根據(jù)內(nèi)容與形式，在新情境中促成概念的形成與同化.只有培養(yǎng)敏銳的觀察與識(shí)別能力，才能充分挖掘必要信息，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)問題和解決問題.模式識(shí)別，需要發(fā)揮數(shù)學(xué)問題模式的明示與暗示功能.明示與暗示是一種普遍的心理現(xiàn)象，是個(gè)體與環(huán)境進(jìn)行信息交流的媒介，有時(shí)是直白的形式，有時(shí)是含蓄的方式，這些都需要個(gè)體用心去觀察和領(lǐng)悟.問題模式的明示功能具有提示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)關(guān)系等典型特征的作用，暗示是通過特有的條件、結(jié)論、數(shù)據(jù)、關(guān)系、結(jié)構(gòu)、表達(dá)式等方式，為個(gè)體傳遞某種隱含信息，指引某種恰當(dāng)?shù)乃季S方法，或有助于個(gè)體提出新方案、新方法的感應(yīng)媒介，它具有開拓個(gè)體潛力、提升其想象力和創(chuàng)造力的作用.它們是發(fā)現(xiàn)、分析問題模式的顯性途徑和隱性工具，兩者相輔相成、相互配合，能夠?yàn)樽R(shí)別數(shù)學(xué)模式提供線索與思路，是引導(dǎo)個(gè)體直覺思維與發(fā)散思維的誘因.

例2已知函數(shù)，求ω=的值.

領(lǐng)會(huì)明示與暗示，有助于問題的高效解決，個(gè)體心理體驗(yàn)也會(huì)得到延伸與升華，對(duì)心理和行為產(chǎn)生積極影響.識(shí)別數(shù)學(xué)模式，需要洞察其內(nèi)容與形式，開發(fā)問題解決中的明示與暗示功能，感悟數(shù)學(xué)問題的表達(dá)藝術(shù)，或以形傳神，或形神結(jié)合，或以虛見實(shí)，或虛實(shí)相生，不一而足.

三、方法調(diào)試：聯(lián)系與猜想

美國數(shù)學(xué)家柯朗認(rèn)為，無論是普通人還是科學(xué)家，唯一能夠回答數(shù)學(xué)是什么的問題，答案不是其他，而是數(shù)學(xué)本身具有的鮮活經(jīng)驗(yàn)[4].美國數(shù)學(xué)家克萊恩認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)展正是利用直覺洞察與經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一些合適的形式結(jié)構(gòu)，并對(duì)這些形式結(jié)構(gòu)給予演繹分析，建立結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系[5].數(shù)學(xué)是關(guān)于結(jié)構(gòu)與關(guān)系的科學(xué).一方面，數(shù)學(xué)的誕生與數(shù)學(xué)思想文化的形成都起源于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，既含有人類思想文化、理性精神的痕跡，又帶著自身意志、心理活動(dòng)的烙印.另一方面，不論是形式主義、邏輯主義，還是直覺主義，這三大流派都認(rèn)為數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)量、空間形式的一種結(jié)構(gòu)與關(guān)系.

首先，數(shù)學(xué)與環(huán)境建立一種聯(lián)系.數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，它既是客觀事物的反映，又為人們優(yōu)化認(rèn)知策略.比如，幾何為人們刻畫空間結(jié)構(gòu)形式，代數(shù)為人類生活提供便利，函數(shù)描述客觀物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，概率與極限揭示微觀世界與宏觀世界的聯(lián)系與奧妙等.從心理學(xué)角度看，解決問題時(shí)，人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)需要同化與順應(yīng)，在已有知識(shí)框架上進(jìn)行必要的重建和優(yōu)化，建構(gòu)新的理解視角.其次，數(shù)學(xué)是一種關(guān)于關(guān)系與結(jié)構(gòu)的科學(xué).數(shù)學(xué)知識(shí)不是無序的堆積，而是一種內(nèi)在的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)體系.在組織方法上，它需要?dú)w納與綜合，建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)，形成或擴(kuò)充一個(gè)排列有序、層次分明、條理清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).只有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、熟練駕馭知識(shí)的能力，才有解決問題的可能，是尋找可行方案的前提.在調(diào)試方法上，它需要聯(lián)系生活，聯(lián)系外部環(huán)境，具有跨學(xué)科的知識(shí)視野，多角度地積累經(jīng)驗(yàn)，從知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)、生長點(diǎn)、交融處選擇解決問題的方法.在選擇與調(diào)試方法過程中，需要調(diào)控心理活動(dòng)過程，既需要對(duì)各種途徑進(jìn)行試誤式的篩選，又需要突然受某種啟發(fā)的頓悟式的抉擇.不論是試誤還是頓悟，都需要經(jīng)過多角度聯(lián)系，或相似聯(lián)想，或大膽猜想等探究式思考的過程.

例3某社區(qū)委員會(huì)打算組織本社區(qū)青少年進(jìn)行戶外登山運(yùn)動(dòng)，想了解青少年參加意愿與性別之間的關(guān)聯(lián).問題：有多大把握認(rèn)為本社區(qū)青少年參加戶外登山運(yùn)動(dòng)的意愿和性別有關(guān)？

解決方案：這是一個(gè)關(guān)于應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)問題，聯(lián)系社區(qū)實(shí)際情況，可選擇抽樣調(diào)查.若猜想或假設(shè)青少年參加意愿與性別有關(guān)的話，可結(jié)合已有數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法.首先，采用分層抽樣方法從該社區(qū)調(diào)查了300位青少年，調(diào)查結(jié)果：愿意參加的225人（男：165人；女：60人）；不愿意參加的75人（男：45人；女：30人）.其次，計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表，所以有95%的把握認(rèn)為該社區(qū)青少年戶外登山意愿與性別有關(guān).可見，數(shù)學(xué)作為一門語言學(xué)科，可以選擇數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法來描述事物間的結(jié)構(gòu)關(guān)系.通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，為人們提供驗(yàn)證事物間關(guān)系的方法和事物變化關(guān)系的數(shù)據(jù)信息.

世界是一個(gè)矛盾綜合體，人的思維矛盾和心理“阻礙”無時(shí)無處不在.數(shù)學(xué)問題不過是人們?cè)谔剿魇澜绲倪^程中所產(chǎn)生的一種心理“阻礙”的延展與感知.解決數(shù)學(xué)問題就是打通這種心理“阻礙”，以多元的視角，不分畛域地看待問題，選擇合適的方法去化解或突破問題.所以，在問題解決的認(rèn)知過程中，數(shù)學(xué)作為人類思維結(jié)構(gòu)與心理活動(dòng)的產(chǎn)物，需要有意識(shí)地監(jiān)控、調(diào)節(jié)心理活動(dòng)進(jìn)程與方向，以便更積極自覺地調(diào)試方法、組織策略、操作進(jìn)程.

四、思維變換：升維與降維

良好的心理調(diào)試與監(jiān)控能夠依據(jù)現(xiàn)有環(huán)境及問題解決的需要，對(duì)自身的心理認(rèn)知活動(dòng)加以調(diào)節(jié)和管控，以便更好地指導(dǎo)思維方向、調(diào)整思維策略、監(jiān)控信息交流進(jìn)程等.阿達(dá)瑪認(rèn)為，應(yīng)切實(shí)加強(qiáng)自覺思維活動(dòng)，正是有意識(shí)的活動(dòng)開動(dòng)了無意識(shí)的思維機(jī)器[6].思維能力是問題解決的關(guān)鍵所在，常見的思維變換有升維和降維.升維就是在原有知識(shí)框架基礎(chǔ)上，建構(gòu)新的知識(shí)體系，從特殊到一般、從部分到整體、從具體到抽象、從簡易邏輯到公理化系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)心理思維的領(lǐng)會(huì)與同化.比如，用字母表示數(shù)及其運(yùn)算，由于字母的“任意性”，使得運(yùn)算由靜止走向動(dòng)態(tài)，由單一走向多元，從而由單調(diào)的算術(shù)走向完備的代數(shù)，為引進(jìn)函數(shù)概念奠定基礎(chǔ).降維是對(duì)抽象復(fù)雜事物進(jìn)行合理的分解、重組、變形等操作，將其降解為簡單的事物，然后利用已有的、成熟的方法進(jìn)行解決.比如，空間的局部問題可以降維為平面問題，高次運(yùn)算問題可以降冪為低次問題，超越問題可以降級(jí)為同解問題等.

例4已知函數(shù)2x在R上是增函數(shù)，求m的取值范圍.

剖析：求導(dǎo)得g'(x)=cos2x+msinx+2，由于三角函數(shù)運(yùn)算的特殊性，需要換算為同名函數(shù)，即g'(x)=-2sin2x+msinx+3.此時(shí)需要思維變換，可以進(jìn)行降維，設(shè)sinx=t,t∈[-1,1]，則問題等價(jià)于g'(x)=-2t2+mt+3≥0.再進(jìn)行升維變換，將其看成一個(gè)關(guān)于自變量為t的二次函數(shù)?(t)=-2t2+mt+3.這是一條在[-1,1]上，開口向下的拋物線弧段，只需使其判別式Δ=m2+24＞0，?(-1)≥0,?(1)≥0即可，故m∈[-1,1].在問題解決過程中，遇到阻礙或困難，個(gè)體并不是無方向的胡思亂想，更不是不知變通地鉆牛角尖，而是自覺地應(yīng)用內(nèi)在動(dòng)機(jī)和心向引導(dǎo)思維發(fā)展方向與進(jìn)程，積極提取信息，組織策略，選擇最佳路徑.

綜上所述，心理活動(dòng)是調(diào)節(jié)、組織、監(jiān)控認(rèn)知策略的主要因素，對(duì)反省認(rèn)知、反饋認(rèn)知、調(diào)控認(rèn)知有著重要作用.目標(biāo)導(dǎo)向，聚焦問題關(guān)鍵特征，準(zhǔn)確判斷事物發(fā)展方向，有機(jī)組合認(rèn)知策略.模式識(shí)別，挖掘題設(shè)、結(jié)論、結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)等或明或暗的信息，提升個(gè)體敏銳的洞察能力，既是一種思維的頓悟，也是一種心靈的碰撞，一種意念的感知.方法調(diào)試，聯(lián)系問題內(nèi)外環(huán)境，完善個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，利用相似聯(lián)想進(jìn)行問題遷移，進(jìn)而選擇合適方法，發(fā)展個(gè)體發(fā)散性思維.思維變換，為了思維不受阻，合理地評(píng)估問題、研究問題，進(jìn)行升維和降維轉(zhuǎn)換，解除不必要的心理障礙.探索問題解決的心理思維機(jī)制，引導(dǎo)問題的發(fā)展和遷移，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，優(yōu)化解決問題策略，既是一項(xiàng)深刻而又含蓄的藝術(shù)，又是一種發(fā)展心理思維的教育智慧 .