聚焦函數(shù)的零點問題

■徐春生

函數(shù)的零點是高考命題的熱點，考題類型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。高考常見的幾種命題角度有：（1）求函數(shù)的零點;（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù);（3）判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間;（4）已知函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍。

一、求函數(shù)的零點

例1已知函數(shù)f（x）則函數(shù)f（x）的零點是

解：當x≤1時，令2x-1=0，得x=0;當x＞1時，令，得此時不合題意。綜上所述，函數(shù)f（x）的零點是0。

評析：求函數(shù)f（x）的零點時，通常轉(zhuǎn)化為解方程f（x）=0，若方程f（x）=0有實根，則函數(shù)f（x）存在零點，該方程的根就是函數(shù)f（x）的零點;否則，函數(shù)f（x）不存在零點。

二、判斷函數(shù)的零點個數(shù)

例2函數(shù)的零點個數(shù)為

解：當x≤0時，令x2+2x-3=0，得x=-3或x=1（舍去）;當x＞0時，令-2+lnx=0，得x=e2。

故函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2。

評析：判斷函數(shù)的零點個數(shù)主要有三種方法：（1）通過解方程求出函數(shù)的零點個數(shù);（2）利用函數(shù)的圖像進行判斷;（3）借助函數(shù)的單調(diào)性進行判斷。

三、判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間

例3函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（ ）。

A.（6，7） B.（7，8）

C.（8，9） D.（9，10）

解：由可得f（9）·f（10）＜0，所以函數(shù)f（x）=l gx的零點所在的大致區(qū)間是（9，10）。應(yīng)選D。

評析：判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的步驟：（1）將區(qū)間端點值代入求出函數(shù)值;（2）進行符號判斷;（3）若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點。

四、已知函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍

例4若函數(shù)f（x）=4x-2x-a，x∈有零點，則實數(shù)a的取值范圍是

解：因為函數(shù)f（x）=4x-2x-a，x∈

評析：已知函數(shù)的零點或方程的根求參數(shù)取值范圍的常用方法：（1）直接法，即直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)取值范圍;（2）分離參數(shù)法，即先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;（3）數(shù)形結(jié)合法，即先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，利用圖像求解。