帶交叉擴散與自擴散項的捕食-食餌模型正解的局部分歧

容躍堂

(西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710048)

1 引言

用建立微分方程模型的方法來研究生物數(shù)學(xué)中物種的動力學(xué)行為已經(jīng)非常普遍,并且學(xué)者們在這方面的研究也得到了許多不錯的成果[1-7].文獻 [1]中,作者提出并研究了如下的Variable-Territory捕食-食餌模型:

這里,關(guān)于模型(1)的生物學(xué)意義可參考文獻[2-3].

由于實際上物種在空間分布上是不均勻的,且這一因素很可能會影響系統(tǒng)的生態(tài)動力學(xué)行為,因此文獻[4]在上述模型基礎(chǔ)上考慮了擴散項,研究了模型:在Dirichlet邊值條件下的平衡正解的存在性及穩(wěn)定性.

考慮到種群間的相互影響在種群擴散中所起到的重要作用,文獻[8]在模型(2)的基礎(chǔ)上再研究帶有交叉擴散項的情形,即模型

在交叉擴散項影響下的局部分歧.模型中,?為有界開區(qū)域,??Rn,且邊界光滑,食餌和捕食者的種群密度分別是u,v,參數(shù)a,b,c,d,α,β均為正常數(shù).

本文討論在交叉擴散和自擴散項影響下的局部分歧.討論模型

對應(yīng)的平衡態(tài)方程為:

取

由于

因而(u,v)≥0與(U,V)≥0之間一一對應(yīng).下面主要研究模型(5)的等價半線性橢圓系統(tǒng):

那么X也為Banach空間,

那么由文獻[9]知,問題(7)的特征值λ1(p,q)是簡單函數(shù),且滿足

同時還有?1,?2,···是它們的對應(yīng)特征函數(shù).此外,λ1(p,q)隨p和q(x)的遞增而遞增,即λ1(p,q)是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù).這里取λi(1,q)為λi(q),且

討論邊值問題

2 解的估計

引理2.1[9]如果a≤λ1,則u=0是問題(8)的唯一非負(fù)解,若a>λ1,那么問題(8)有唯一正解為θa.即當(dāng)a>λ1時,問題(5)有半平凡解(θa,0);若a≤λ1,問題(5)不存在正解.若a>λ1,則問題(6)有半平凡解,此處

定理2.1假如a>λ1,問題(6)有任意正解(U,V),那么?x∈?,

證明若?x0∈?,滿足

且

故

同理可得,若?x1∈?,滿足

則得

因此,

又(u,v)與(U,V)一一對應(yīng),因此定理得證.

3 解的分歧

引理3.1[10]取

若a>λ1,則L(a)可逆.

引理3.2[11]假如d>λ1,同時m3d>c,那么就

對于d是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,

且?ψ?≥0滿足

下面,給出全局分歧解的存在性條件.

定理3.1假如a>λ1,d>λ1,m3d?c>0,那么問題(6)有分歧點,且在該點鄰域內(nèi)有正解

a?由

惟一確定,(a(s);Φ1(s),Ψ1(s))是C1連續(xù)函數(shù),

且有

證明取

其中

由

得

由于

可化為

當(dāng)ψ≡0時,由算子L(a?)可逆推出φ≡0,反證法得ψ不恒為零,由引理3.2知,

從而

算子L(a?;0,0)有核空間

且

取L(a?;0,0) 的自伴算子L?(a?;0,0),則

再根據(jù)Fredholm選擇公理得,

于是

取

下面證明

成立.用反證法假設(shè)?(h,k)∈X,滿足

可得

從而

上式兩邊同乘以ψ?并分部積分得

因為m3d?c>0,θa是嚴(yán)格單點遞增函數(shù),故上式左端大于0,與假設(shè)矛盾.故?δ>0和連續(xù)曲線

滿足

同時有 Φ1(s)Ψ1(s)∈Z滿足

最后因為

所以局部分歧正解Γ?存在.