n維模糊映射的s-預(yù)不變凸性及其優(yōu)化

白玉娟, 張 琛, 張麗麗

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

自從美國加州大學(xué)控制論專家Zadeh教授1965年提出模糊集的概念以來,模糊數(shù)學(xué)作為一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科得到了迅速的發(fā)展.經(jīng)典凸分析理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃等應(yīng)用模型的研究是息息相關(guān)的.然而，正如許多系統(tǒng)中含有參數(shù)的不確定性,在優(yōu)化理論中往往在目標(biāo)函數(shù)、約束條件、目標(biāo)函數(shù)與約束條件中同時帶有參數(shù)的不確定性，從而使模糊優(yōu)化問題已有很多的討論,并促使了模糊凸分析理論的研究.關(guān)于模糊映射的凸性、擬凸性及B-凸性,一些文獻(xiàn)已有討論.1994年,Noor[1]提出預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的概念,并討論了模糊數(shù)值函數(shù)的預(yù)不變凸性；2016年,Gong等[2]在定義n維模糊數(shù)空間偏序關(guān)系的基礎(chǔ)上,對n維模糊映射的凸性進(jìn)行了系統(tǒng)研究,但對n維模糊映射廣義凸性的本質(zhì)研究還需進(jìn)一步深入.本文利用n維凸模糊數(shù)值函數(shù)的一些研究，首先提出n維模糊數(shù)值函數(shù)的s-不變凸、嚴(yán)格s-不變凸、s-預(yù)不變凸和半嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的概念，其次利用n維模糊數(shù)值函數(shù)依支撐函數(shù)的可微性與梯度討論以上廣義凸性的關(guān)系，最后建立模糊優(yōu)化問題(FMP)的最優(yōu)化條件.

1 預(yù)備知識

定義1.1[3]設(shè)u∈F(Rn),若u滿足以下性質(zhì):

1)u是一個正規(guī)模糊集,即存在x0∈Rn使得u(x0)=1;

2)u是一個凸模糊集,即對?x,y∈Rn,λ∈[0,1],u(λx+(1-λ)y)≥min{u(x),u(y)};

3)u是上半連續(xù)函數(shù)，即[u]r={x∈Rn:u(x)≥r}是閉集，其中r∈(0,1];

4)u的支集suppu的閉包

是緊集，則稱u為n維模糊數(shù)構(gòu)成的n維模糊數(shù)空間記為En.

當(dāng)r=1時，稱[u]1={x∈Rn:u(x)=1}為模糊數(shù)u的核.

定理1.1[4](n維模糊數(shù)表示定理) 設(shè)u∈En,則:

1) 對任意r∈(0,1],[u]r均為Rn上的非空緊凸集;

2) 若0≤r1≤r2≤1,有[u]r2?[u]r1;

3) 若正數(shù)列rn非降收斂于r∈(0,1],有

反之，若對任意的r∈(0,1]，均存在Ar?Rn,滿足上述條件1)～3),則存在唯一的模糊數(shù)u∈En,使得對任意的r∈(0,1]，均有[u]r=Ar且

模糊數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算定義如下：設(shè)u，v∈En,k,k1,k2∈R,則

k(u+v)=ku+kv,

k1(k2u)=(k1k2)u,

(k1+k2)u=k1u+k2u,k1k2≥0,

[u+v]r=[u]r+[v]r=

{x+y:x∈[u]r,y∈[v]r},

[ku]r=k[u]r={kx:x∈[u]r}.

定義1.2[5]對模糊數(shù)u∈En,稱

為u的支撐函數(shù)，其中I=[0,1],x∈Sn-1是Rn上的單位球面，即

Sn-1={x∈Rn:‖x‖=1},

定理1.2設(shè)u∈En,r∈[0,1],x∈Sn-1,則

[u]r={y∈Rn:〈y,x〉≤u*(r,x),

x∈Sn-1,r∈[0,1]}.

定理1.3設(shè)u∈En,則:

1)u*(r,x+y)≤u*(r,x)+u*(r,y);

2)u*(r,x)在I×Sn-1上一致有界，且

3) 對任意的x∈Sn-1,u*(r,x)關(guān)于r非增左連續(xù)且在r=0處右連續(xù);

4) 對任意的r∈[0,1],u*(r,x)關(guān)于x一致Lipschitz連續(xù)，且

5) 對任意的r∈[0,1],u,v∈En,

6) (u+v)*(r,x)=u*(r,x)+v*(r,x);

7) (ku)*(r,x)=ku*(r,x),k≥0;

8) -u*(r,-x)≤u*(r,x);

9) (-u)*(r,x)=u*(r,-x).

則稱F在t0點(diǎn)處可微，稱模糊向量(u1,u2,…,um)為F在t0處的梯度，記作▽F(t0),即

▽F(t0)=(u1,u2,…,um).

注記1.1模糊映射F:M→En在t0點(diǎn)處的梯度▽F(t0)存在的充要條件是F(t)?gF(t0)存在且有

uj=

定義1.4[6]設(shè)u,v,ω∈En,若對任意的r∈[0,1],有

?gH[v]β),

其中?gH為非空緊凸集[u]β和[v]β的廣義H-差，則稱ω為模糊數(shù)u和v的廣義差，記為u?gv=ω.

若對任意的t,t′∈M,?λ∈[0,1],滿足t′+λη(t,t′)∈M,則稱M(?Rn)是關(guān)于η：Rn×Rn→Rn的不變凸集.

若對任意的t,t′∈M,?λ∈[0,1],滿足η(t,t′)+η(t′,t)=0,則稱η:Rn×Rn→Rn為非對稱映射.特別地,η(t,t′)=t-t′時,M退化為一般凸集.

條件K[7]設(shè)M(?Rn)是關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的非空不變凸集,稱η滿足條件K,是指η對任意的t,t′∈M,λ∈[0,1],都滿足以下條件:

(i)η(t′,t′+λη(t,t′))=-λη(t,t′);

(ii)η(t,t′+λη(t,t′))=(1-λ)η(t,t′).

2 n維模糊映射的s-預(yù)不變凸性及其優(yōu)化

定義2.1設(shè)u,v∈En,如果對任意的r∈[0,1],x∈Sn-1,u*(r,x)≤v*(r,x),則稱v依支撐函數(shù)優(yōu)于u,記為u?sv.如果u?sv且存在r0∈[0,1],使得u*(r0,x)

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立,則稱F在t0點(diǎn)處依支撐函數(shù)可微，稱模糊向量(u1,u2,…,um)為模糊映射F在t0點(diǎn)處依支撐函數(shù)的梯度，記作▽sF(t0),即▽sF(t0)=(u1,u2,…,um).

注2.1模糊映射F:M→En在t0點(diǎn)處依支撐函數(shù)可微的梯度▽sF(t0)存在的充要條件是存在uj∈En(j=1,2,…,m),使得

定義2.3設(shè)M?Rn關(guān)于η:Rn×Rn→Rn是不變凸集,F:M→En為M上的n維模糊映射,則:

1) 如果對?t,t′∈intM有

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x)≥

[▽sF(t′)]η(t,t′)

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立，則稱F在不變凸集M上關(guān)于η是依支撐函數(shù)不變凸模糊映射(簡稱為s-不變凸);

2) 如果對?t,t′∈intM,t≠t′有

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x)>[▽sF(t′)]η(t,t′)

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立，則稱F在不變凸集M上關(guān)于η是依支撐函數(shù)嚴(yán)格不變凸模糊映射(簡稱為嚴(yán)格s-不變凸);

3) 如果對?t,t′∈intM及?λ∈[0,1],有

F(t′+λη(t,t′))*(r,x)≤

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x)

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立，則稱F在不變凸集M上關(guān)于η是依支撐函數(shù)預(yù)不變凸模糊映射(簡稱為s-預(yù)不變凸);

4) 如果對?t,t′∈intM,F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x)及?λ∈(0,1),有

F(t′+λη(t,t′))*(r,x)<

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x)

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立，則稱F在不變凸集M上關(guān)于η是依支撐函數(shù)半嚴(yán)格預(yù)不變凸模糊映射(簡稱為半嚴(yán)格s-預(yù)不變凸).

定理2.1設(shè)F:M→En在不變凸集M上處處依支撐函數(shù)可微,且▽sF(t)=(u1,u2,…,um).如果F在M上關(guān)于η是s-不變凸的，且η滿足條件K,則F在M上關(guān)于相同η是s-預(yù)不變凸的.

證明當(dāng)λ=0時,定義2.3中的不等式顯然成立；

當(dāng)λ=1時,由F(t)*(r,x)關(guān)于η的s-不變凸性和條件K，有

F(t)*(r,x)-F(t′+η(t,t′))*(r,x)≥

[▽sF(t′+η(t,t′))]η(t,t′+η(t,t′))=0,

即

F(t′+η(t,t′))*(r,x)≤F(t)*(r,x)

滿足定義2.3中的不等式.

由于F(t)*(r,x)關(guān)于η的s-不變凸性，得到:

將上面2式分別乘以λ和(1-λ),然后相加得到

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x)-

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x),

即證明當(dāng)λ∈(0,1)時,定義中的不等式成立.綜上，F(xiàn)(t)*(r,x)在M上關(guān)于相同η是s-預(yù)不變凸的.

定理2.2設(shè)F:M→En在不變凸集M上處處依支撐函數(shù)可微,▽sF(t)=(u1,u2,…,um),▽sF(t′)=(v1,v2,…,vm),且η滿足條件K,F滿足F(t+η(t′,t))*(r,x)=F(t′)*(r,x),?t,t′∈intM,則F在M上關(guān)于η是半嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的充分必要條件是

F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x), ?t,t′∈intM,

有

[▽sF(t)-▽sF(t′)]η(t,t′)>0,

即

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立.

證明假設(shè)F在M上關(guān)于η是半嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的，則

F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x), ?t,t′∈intM,

于是有

F(t′)*(r,x)>F(t)*(r,x)+

[▽sF(t)]η(t′,t),F(t)*(r,x)>

F(t′)*(r,x)+[▽sF(t′)]η(t,t′),

易得

[▽sF(t)-▽sF(t′)]η(t,t′)>0.

反過來，假設(shè)

F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x), ?t,t′∈intM,

有

[▽sF(t)]η(t′,t)-[▽sF(t′)]η(t,t′)<0.

(1)

只需證

F(t′)*(r,x)>F(t)*(r,x)+

[▽sF(t)]η(t′,t).

反證法.設(shè)

F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x), ?t,t′∈intM,

使得

F(t′)*(r,x)≤F(t)*(r,x)+

[▽sF(t)]η(t′,t),

(2)

由已知條件

F(t+η(t′,t))*(r,x)=F(t′)*(r,x),

有

F(t+η(t′,t))*(r,x)=F(t′)*(r,x)≤

F(t)*(r,x)+[▽sF(t)]η(t′,t).

(3)

利用中值定理得到

F(t+η(t′,t))*(r,x)-F(t)*(r,x)=

(4)

由(3)和(4)式有

[▽sF(t)]η(t′,t).

(5)

下面分2種情況導(dǎo)出矛盾.

(i) 如果

由(1)式得

并利用條件K,可推出

[▽sF(t)]η(t′,t)<

而這與(5)式矛盾.

(ii) 如果

先證

若其不然，即

(6)

記

則由(6)式知φ(α)為常值函數(shù)，于是有

據(jù)上式和(4)式得

F(t)*(r,x)=F(t+η(t′,t))*(r,x).

同時注意到定理的假設(shè)條件

F(t′)*(r,x)=F(t+η(t′,t))*(r,x)，

則

F(t)*(r,x)=F(t′)*(r,x),

這與已知F(t)*(r,x)≠F(t′)*(r,x)矛盾.因此

(7)

由(1)和(7)式得到:

[▽sF(t+αη(t′,t))]η(t,t+αη(t′,t))+

[▽sF(t)]η(t+αη(t′,t),t)<0.

由條件K和上面2個不等式,可以推出:

由上面2個不等式并再次根據(jù)條件K,可以推出

由(4)式及上式得

F(t+η(t′,t))*(r,x)-F(t)*(r,x))>

[▽sF(t)]η(t′,t).

由已知條件

F(t+η(t′,t))*(r,x)=F(t′)*(r,x),

有

F(t′)*(r,x)>F(t)*(r,x)+

[▽sF(t)]η(t′,t),

這與(2)式矛盾.

引理2.1設(shè)M?Rn關(guān)于η:Rn×Rn→Rn是不變凸集,且η滿足條件K,n維模糊映射F:M→En在M上關(guān)于η是s-預(yù)不變凸的,任意固定t,t′∈intM,則

0<α<β≤1.

證明類似文獻(xiàn)[8]中引理5.3.1的證明.

定理2.3設(shè)M?Rn關(guān)于η:Rn×Rn→Rn是開不變凸集,且η滿足條件K,F:M→En在不變凸集M上處處依支撐函數(shù)可微,則F在M上關(guān)于η是嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的充分必要條件是F在M上關(guān)于相同η是嚴(yán)格s-不變凸的,即?t,t′∈intM,t≠t′，有

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x)>

[▽sF(t′)]η(t,t′)>0.

證明假設(shè)F在M上關(guān)于η是嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的,據(jù)定義?t,t′∈intM,t≠t′，有

F(t′+λη(t,t′))*(r,x)<

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x).

由此

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x), ?λ∈(0,1).

據(jù)此和引理2.1知

[▽sF(t′)]η(t,t′)=

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x),

因此有

F(t)*(r,x)-F(t′)*(r,x)>

[▽sF(t′)]η(t,t′).

反過來，假設(shè)?t,t′∈intM,t≠t′,λ∈(0,1),由F關(guān)于η是嚴(yán)格s-不變凸的,據(jù)定義有:

F(t)*(r,x)-F(t′+λη(t,t′))*(r,x)>

[▽sF(t′+λη(t,t′))]η(t,t′+λη(t,t′)),

F(t′)*(r,x)-F(t′+λη(t,t′))*(r,x)>

[▽sF(t′+λη(t,t′))]η(t′,t′+λη(t,t′)).

以上2個不等式的兩端分別乘以λ和(1-λ),相加得到

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x)-

F(t′+λη(t,t′))*(r,x)>

[▽sF(t′+λη(t,t′))][λη(t,t′+λη(t,t′))+

(1-λ)η(t′,t′+λη(t,t′))].

利用條件K,有

λη(t,t′+λη(t,t′))+

(1-λ)η(t′,t′+λη(t,t′))=0,

所以有

F(t′+λη(t,t′))*(r,x)<

λF(t)*(r,x)+(1-λ)F(t′)*(r,x),

即知F關(guān)于η是嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的.

設(shè)模糊映射F(t),G1(t),G2(t),…,Gl(t)在不變凸集M上依支撐函數(shù)可微,下面討論模糊優(yōu)化問題(FMP):

MinimizeF(t),

設(shè)t0∈intM,如果不存在t∈intM,使得F(t)sF(t0),則稱t0為模糊優(yōu)化問題的優(yōu)化解，F(xiàn)(t0)為目標(biāo)函數(shù)F的優(yōu)化值.

定理2.4設(shè)F(t),G1(t),G2(t),…,Gl(t)是不變凸集M上依支撐函數(shù)可微的s-不變凸模糊映射，如果存在

a=(a1,a2,…,al)T∈Rl,

使得:

1) ▽sF(t0)+aT((▽sG1(t0))T,(▽sG2(t0))T,…,(▽sGl(t0))T)T=(0,0,…,0);

4)ai≥0(i=1,2,…,l),

則t0是模糊優(yōu)化問題(FMP)的優(yōu)化解.

證明設(shè)▽sF(t0)=(u1,u2,…,um),▽sGi(t0)=(ui1,ui2,…,uim)(i=1,2,…,l),且F(t),G1(t),G2(t),…,Gl(t)是s-不變凸的,對任意的t=(t1,t2,…,tm)T∈intM,有

F(t)*(r,x)-F(t0)*(r,x)≥

[▽sF(t0)]η(t,t0)=

對r∈[0,1]和x∈Sn-1一致成立.由于

則根據(jù)依支撐函數(shù)可微的定義，有

(G1(t)*(r,x)-G1(t0)*(r,x)-o(d(t,t0)),

G2(t)*(r,x)-G2(t0)*(r,x)-o(d(t,t0)),…,

Gl(t)*(r,x)-Gl(t0)*(r,x)-o(d(t,t0))),

所以

F(t)*(r,x)-F(t0)*(r,x)≥

-aT(G1(t)*(r,x)-G1(t0)*(r,x)-o(d(t,t0)),

G2(t)*(r,x)-G2(t0)*(r,x)-o(d(t,t0)),…,

Gl(t)*(r,x)-Gl(t0)*(r,x)-o(d(t,t0)))T=

-aT(G1(t)*(r,x)+o(d(t,t0)),G2(t)*(r,x)+

o(d(t,t0)),…,Gl(t)*(r,x)+o(d(t,t0)))T=

aT(-G1(t)*(r,x),-G2(t)*(r,x),…,

-Gl(t)*(r,x))T≥0，

于是t0是模糊優(yōu)化問題(FMP)的優(yōu)化解.

致謝隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項目(XYZK1812)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.