鄧曉明

摘要：乒乓球作為我國(guó)的國(guó)球，是我國(guó)最為普及的運(yùn)動(dòng)之一。橡皮膠是一種高彈性聚合物材料，變形能力較強(qiáng)，將其運(yùn)用于球拍中能讓球拍有很好的彈性。乒乓球的反彈軌跡會(huì)受到球拍和乒乓球的材料、速度等物理因素的影響。文中主要運(yùn)用有限元模型法，通過研究乒乓球三個(gè)不同階段的速度，研究橡皮膠粘球拍縫隙對(duì)乒乓球的反彈軌跡影響。

關(guān)鍵詞：乒乓球;橡皮膠;反彈;有限元模型

中圖分類號(hào)：TQ339 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1001-5922（2019）12-0123-05

乒乓球球拍是復(fù)雜的分層混合材料，包括粘合在木制片上的兩個(gè)聚合物片：彈性體致密泡沫和結(jié)構(gòu)化橡膠（包括規(guī)則排列的小圓柱體），即所謂的緊湊型。橡皮膠是具有可逆形變的高彈性聚合物材料，在室溫下富有彈性，在很小的外力作用下能產(chǎn)生較大形變，除去外力后能恢復(fù)原狀[1]。對(duì)于球拍對(duì)乒乓球的影響研究，武秀根等人利用商用有限元軟件MSC.MARC，通過對(duì)乒乓球與球拍碰撞過程的數(shù)值模擬，著重研究由傳統(tǒng)木材和碳纖維復(fù)合材料板疊合而成的乒乓球拍的微結(jié)構(gòu)對(duì)碰撞乒乓球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，為優(yōu)化設(shè)計(jì)新型球拍提供理論依據(jù)[2]。習(xí)星等人認(rèn)為乒乓球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)學(xué)生習(xí)慣且熟悉的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其與物理學(xué)研究有著密切的聯(lián)系。以該運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為情境，分析了乒乓球運(yùn)動(dòng)過租中的受力特點(diǎn)，并結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律探索它的軌跡特征和落點(diǎn)規(guī)律[3]。將橡皮膠用于乒乓球拍的裂縫中能起到很好的作用，當(dāng)乒乓球撞擊在球拍上時(shí)其反彈效果會(huì)如何呢？文中將采用有限元方法系統(tǒng)地研究乒乓球?qū)ο鹌つz粘裂縫的球拍的自由影響，并揭示球的詳細(xì)動(dòng)態(tài)特征。

1 有限元模型

圖中1a和b分別為乒乓球的示意圖和有限元模型，該乒乓球自由地撞擊到具有初始速度VO的靜止球拍上，其中R和h分別表示乒乓球的平均半徑和壁厚。

在2000年悉尼奧運(yùn)會(huì)舉辦之前，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的外徑和質(zhì)量分別為D=38mm和m=2.5g，然后由ITTF正式監(jiān)管為D=40mm和m=2.7g，以減緩比賽期間乒乓球的速度，使游戲?qū)τ^眾更具吸引力。乒乓球通常由賽璐珞制成，這是一種輕質(zhì)且柔韌的塑料，具有高拉伸強(qiáng)度。據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道，賽璐珞材料的密度約為p=1400～1600kg/m3，因此，38mm或40mm乒乓球的平均壁厚約為h=0.4mm，對(duì)于38mm球，平均半徑約為R=18.6mm，對(duì)于40mm球，R=19.6mm[4]。

由于成分和制造工藝不一致，所出現(xiàn)的賽璐珞材料的機(jī)械性能因情況而異，尚未正式提供。為簡(jiǎn)單起見，在本研究中，乒乓球的賽璐珞假定為線性彈性且完全是塑性的，而材料的密度，彈性模量和屈服應(yīng)力取p=1400kg/m3，E=2.2GPa和Y=50MPa。因此，材料的屈服速度為VY=28.5m/s。

ABAQUS/Explicit用于在本研究中進(jìn)行模擬。對(duì)乒乓球的碰撞和回彈過程進(jìn)行了模擬，并且已經(jīng)證實(shí)半球模型的模擬結(jié)果與完整球的模型非常相似，只要從軸對(duì)稱變形模式到非軸對(duì)稱變形模式的過渡不是一個(gè)模型。因此，只有一半乒乓球在ABAQUS/CAE下建模以節(jié)省計(jì)算成本，同時(shí)施加適當(dāng)?shù)膶?duì)稱邊界條件[5]。使用殼體元件S4R（4節(jié)點(diǎn)通用殼體，有限膜應(yīng)變，減少積分和沙漏控制）和S3（3節(jié)點(diǎn)三角形通用殼體），通過墻壁有五個(gè)高斯積分點(diǎn)，球的殼體離散化一模擬彎曲變形的厚度。為了節(jié)省計(jì)算成本，球的表面在ABAQUS/CAE中被劃分，并根據(jù)變形梯度分配不同水平的網(wǎng)狀種子，如圖中1b所示，并且指定給接觸區(qū)域的最細(xì)網(wǎng)格尺寸是約為平均半徑R的1/50。球與球拍之間的相互作用被建模為具有正?！坝病苯佑|的表面對(duì)表面接觸對(duì)，并且切向力學(xué)性質(zhì)被認(rèn)為是無摩擦的，而效果是系數(shù)偏離的詳細(xì)研究。

在ABAQUS/Explicit中引入了兩種形式的體積粘度，線性體積粘度和二次體粘度，以提高高速事件的建模精度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乒乓球在碰撞過程中發(fā)生屈曲時(shí)，ABAQUS中提供的線性體積粘度0.06的缺陷值是不合適的，這意味著在模擬過程中“人為”消耗了相當(dāng)大量的粘性能量，導(dǎo)致能量不合適耗散和不準(zhǔn)確的恢復(fù)系數(shù)（COR）。因此，當(dāng)乒乓球彎曲時(shí)，線性體粘度參數(shù)調(diào)整為0.01-0.001。

COR在測(cè)量碰撞期間的全局能量損失中起著關(guān)鍵作用，如應(yīng)力波傳播，材料粘度和可能的塑性變形等結(jié)果。通常通過以下三種方式之一來定義COR：

其中e1，e2和e3分別表示牛頓（運(yùn)動(dòng)學(xué)）、泊松（動(dòng)能）和高能COR，Vr和Vi是碰撞前后碰撞體的相對(duì)速度，IC和IR是壓縮持續(xù)時(shí)間tC內(nèi)的脈沖。并且恢復(fù)時(shí)間tR、Er和Ei分別是碰撞前后碰撞體的動(dòng)能。在這些表達(dá)中，定義（1a）是最直接和最廣泛應(yīng)用的，因此在本文中使用。

ABAQUS中提出了Python腳本，一種面向?qū)ο蟮哪_本語言，用于在仿真模型復(fù)雜或重復(fù)時(shí)提高ABAQUS/CAE的預(yù)處理和后處理效率。因此，本研究開發(fā)了基于python的代碼，以有效的方式處理眾多的仿真案例。

2 結(jié)果

基于對(duì)問題的尺寸分析，很明顯，以下三個(gè)無量綱參數(shù)主導(dǎo)了球的碰撞和回彈軌跡行為：①壁厚與平均半徑之比，η=h/R;②球的初速度與材料的屈服速度之比，v0=V0/VY;③材料的屈服應(yīng)變，εY=Y/E;事實(shí)上，可以很容易地證明εY=VY/Ve其中Ve= 表示材料的彈性波速。

因此，在以下各節(jié)中將僅全面模擬和討論這三個(gè)參數(shù)的影響。首先在模擬中選擇前一節(jié)給出的球的幾何和材料屬性，然后逐漸增加球的初始速度。所產(chǎn)生的球的碰撞和回彈軌跡行為在很大程度上取決于初始沖擊速度，而不同的特征則與以下三個(gè)沖擊速度范圍有關(guān)。

2.1速度范圍I：彈性碰撞，無屈曲

圖2示出了當(dāng)球的初始速度為V0=0.5m/s時(shí)，在乒乓球的不同位置處與橡膠粘接裂縫的球拍的沖擊力（F）和位移（u）。這里，相互作用力F0=Kh和碰撞特征持續(xù)時(shí)間τ將在下面給出。

根據(jù)初步模擬結(jié)果，在壓縮球時(shí)可以合理地引入以下假設(shè)：①如圖3示意性所示，球的帽部分ACB通過碰撞到球拍上而變平，然后擱置在其上;②球的變形局限于沖擊端周圍（即，在帽ACB內(nèi)），這意味著如圖3所示，球的剩余部分ADB保持不變形并朝向剛性移動(dòng)目標(biāo)與初始速度;③相互作用力與扁平化引起的位移之間的關(guān)系與靜態(tài)壓縮下的相同。

從圖2c可以清楚地看出，在壓縮階段和恢復(fù)階段期間F/F0幾乎等于δ/h。即使初始速度非常低，沖擊力也會(huì)發(fā)生沖擊，壓縮階段和恢復(fù)階段的沖擊力非常大。不同的路徑，導(dǎo)致COR在理想的彈性碰撞下遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于1.0。

2.2速度范圍II：具有可恢復(fù)屈曲的動(dòng)態(tài)變形

隨著初始速度的增加，圖4和圖5分別顯示了當(dāng)初始速度為V0=3.4m/s和V0=3.6m/s時(shí)球的不同位置的沖擊力、位移和速度。可以看出沖擊端的中心在壓縮階段結(jié)束時(shí)，它開始向球的內(nèi)部移動(dòng)，如圖4和圖5所示。如圖4b和5b所示，然后在恢復(fù)階段期間振蕩，圖4c和5c表示帽的彎曲或向內(nèi)翻轉(zhuǎn)。此外，沖擊端的中心的振動(dòng)速度可以達(dá)到整個(gè)球的初始速度的三倍。它也可以從圖中找到。在圖4a和5a中，由于蓋子的振蕩和彎曲，當(dāng)初始速度從V0=3.4m/s增加到V0=3.6m/s時(shí)，在恢復(fù)階段期間在沖擊力中出現(xiàn)一些突刺。因此，使空心球彎曲的最小初始速度約為V0=3.5m/s。

當(dāng)球的位移到達(dá)臨界值δ=ah時(shí)，球的帽開始彎曲，其中因子α在2和3之間，主要取決于球的厚度比η=h/R和材料純彈性時(shí)的泊松比。通過球拍靜態(tài)壓縮球的模擬，發(fā)現(xiàn)具有上述給定性能的乒乓球的α接近α=2.2，而帽的屈曲幾乎是彈性的，因?yàn)樵谝瞥虞d板后它可以完全恢復(fù)。還應(yīng)該從圖1和圖2中注意到，在圖4b和5b中，在靜態(tài)壓縮下獲得的屈曲條件δ=αh對(duì)于速度低時(shí)的碰撞情況仍然有效。可以推出臨界速度幾乎與材料的彈性波速度成比例，并且與球的厚度比h/R的3/2冪成比例。

當(dāng)初始速度達(dá)到V0/VY=0.30（即V0=8.6m/s）時(shí)，如圖6所示，球的頂蓋在壓縮階段開始非?？斓貜澢⑶易矒裘黠@振蕩力可以在圖6a中找到。球從剛性目標(biāo)完全彈回后球的變形可以恢復(fù)，但是球的回彈速度遠(yuǎn)低于初始速度，如圖6c所示，這是球能量轉(zhuǎn)移到彈性振動(dòng)的結(jié)果（特別是蓋子的那個(gè)），以及蓋子向內(nèi)翻轉(zhuǎn)期間可能的塑性能量耗散。由于帽的振動(dòng)，球和球拍在它們第一次分離后不久可能相互接觸數(shù)次。這導(dǎo)致多次撞擊的發(fā)生，因此恢復(fù)持續(xù)時(shí)間將增加。

2.3速度范圍III：具有永久凹痕的軸對(duì)稱屈曲

當(dāng)初始速度達(dá)到V0/VY=0.46（即，V0= 13.1m/s）時(shí)，如圖7所示，乒乓球的屈曲將不可恢復(fù)并且由于塑性變形而將留下永久性凹痕，而恢復(fù)階段的多重影響消失。此外，發(fā)現(xiàn)球完全從目標(biāo)反彈后的永久性凹痕是軸對(duì)稱的。由于大量的初始動(dòng)能通過帽內(nèi)和帽周圍的塑性變形消散，因此發(fā)現(xiàn)球的回彈速度低于球的初始速度的1/4，導(dǎo)致COR小于1/4。

3 結(jié)語

綜上所示，對(duì)乒乓球在橡皮膠粘裂縫的球拍上碰撞時(shí)的反彈情景進(jìn)行研究，通過實(shí)驗(yàn)研究法和數(shù)學(xué)模型的方法，知道了乒乓球厚度與半徑比、材料屈服應(yīng)變和無量綱初始速度會(huì)對(duì)其與球拍碰撞的反彈軌跡產(chǎn)生影響，當(dāng)速度越快時(shí)，由于乒乓球向內(nèi)凹更多，其反彈軌跡的誤差會(huì)更小。而且橡皮膠粘接的球拍縫隙能夠有助于乒乓球的運(yùn)行。

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