吳慧蘭，胥 佳，曾朝元，代珍兵，段滿益

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都 610101)

紋影法是由Toepler. A于1864年基于用紋影儀系統(tǒng)對流場進(jìn)行顯示和測量而提出的光學(xué)方法[1]. 該方法是利用光在被測流場中的折射率梯度正比于流場的氣流密度的原理，將流場中密度梯度的變化轉(zhuǎn)變?yōu)槌上衿矫嫔舷鄬鈴?qiáng)的變化，使可壓縮流場中的激波、壓縮波等密度變化劇烈的區(qū)域成為可觀察、可分辨的圖像. 紋影系統(tǒng)的可視化功能廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，特別是在氣流的邊界層、燃燒、激波、氣體內(nèi)的冷熱對流以及風(fēng)洞或水洞流場的檢測[2-8]. 如1981年馮天值等人利用紋影技術(shù)對風(fēng)洞進(jìn)行檢測[2]；2004年Kashitani. M等人用聚焦紋影系統(tǒng)對雙楔翼型模型的流動進(jìn)行顯示[3]; 2006年Neumann. T等人利用紋影可視化超聲波場[4]，2018年胡斌等人也利用紋影技術(shù)直接觀察到聲光介質(zhì)內(nèi)部的超聲波圖像[5]；2010年房喜榮等人將紋影技術(shù)應(yīng)用到超燃流場中[6]. 隨著實(shí)驗(yàn)和工程上的需求發(fā)展，對紋影系統(tǒng)靈敏度檢測要求越來越精細(xì). 實(shí)際中紋影系統(tǒng)利用刀片成像，圖像背景亮度分布不均，而僅用圖像平面的光強(qiáng)變化來表示密度變化沒有考慮到背景亮度分布不均帶來的影響，因此，對背景亮度進(jìn)行有效修正就顯得尤為重要. 本文將對紋影系統(tǒng)理論進(jìn)行修正，并設(shè)計(jì)紋影系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)來對理論進(jìn)行驗(yàn)證.

1 理論分析

圖1(a)是紋影成像的原理圖，光源a發(fā)出錐形光投射至凹球面反射鏡，被反射鏡反射后聚焦于b點(diǎn)，調(diào)整光源與反射鏡距離為2倍焦距，反射光將聚焦在2倍焦距處，即接近光源a處的b點(diǎn). 使用刀片c在接近b點(diǎn)處遮擋部分反射光線， 使用相機(jī)作為像屏接收紋影像，當(dāng)光路中無擾動時紋影圖像呈現(xiàn)為背景. 當(dāng)在d區(qū)域有氣流密度變化時，背景中將呈現(xiàn)明顯可見的氣體流動圖樣，成像即紋影圖像，如圖1(b)所示.

(a) 實(shí)驗(yàn)原理圖

(b) 實(shí)驗(yàn)效果圖圖1 紋影成像原理及實(shí)驗(yàn)效果圖

平行光照射相位物體，光線通過區(qū)域無擾動時成像平面光波復(fù)振幅為F(x,y)=eiφ(x,y)，光強(qiáng)分布I(x,y)=c是常量；當(dāng)光線經(jīng)過區(qū)域出現(xiàn)擾動時，相位物體各點(diǎn)厚度不同或折射率不同，會引起隨空間位置變化的相位延遲使得成像平面光強(qiáng)分布不再是常量，構(gòu)成了相位物體的輪廓或細(xì)節(jié)以此可視化密度分布. 為方便定量計(jì)算將光線的空間位相延遲轉(zhuǎn)化為光線光程差的形式，則因?yàn)閿_動區(qū)域氣體密度分布不均勻，空間折射率不為常量，光線偏折角度不等，導(dǎo)致成像光強(qiáng)分布不均以顯示密度差異[9-10].

1.1 刀口位置對紋影成像的影響

1.1.1 光線經(jīng)擾動區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角

根據(jù)圖1(a)所建立的直角坐標(biāo)系, 光線經(jīng)過擾動區(qū)域后偏折角度為Δα[11]

(1)

加熱恒溫板以恒溫?zé)嵩磮鰜硖峁_動實(shí)現(xiàn)密度差異，擾動區(qū)域氣體近似為理想氣體，則利用理想氣體物態(tài)方程

pV=νRT,

(2)

得到恒溫?zé)嵩磮鯰(x)中密度梯度與溫度梯度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

(3)

根據(jù)洛倫茲-洛倫茨關(guān)系，氣體折射率趨近1，折射率和密度的關(guān)系簡化為格拉德斯通-戴爾公式

(4)

式中K是格拉德斯通-戴爾常量，與氣體種類和光波長有關(guān). 將(4)式代入(1)式中，用密度ρ代替折射率n得到密度表示的偏轉(zhuǎn)角

(5)

由(5)式知，若密度場分布已知便可以求得光線偏轉(zhuǎn)角. 將(2)和(3)式代入(5)式，得溫度表示的光線偏轉(zhuǎn)角

(6)

即可通過測量溫度場來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1.1.2 紋影圖像光強(qiáng)差分布

紋影系統(tǒng)使用刀口遮擋光線聚焦點(diǎn)b的部分光線，使得紋影像光強(qiáng)分布差異明顯. 但是由于刀口的遮擋使得紋影成像在無擾動時的背景光強(qiáng)減弱，且分布不均. 若用光強(qiáng)分布方法來分析有擾動情況，就必須考慮刀口遮擋對背景光強(qiáng)分布的影響，不能直接用觀察到的光強(qiáng)來描述密度，即用紋影圖像背景光強(qiáng)與紋影圖像光強(qiáng)之間的差值表示密度分布將會更加精確，簡稱光強(qiáng)差. 將恒溫?zé)嵩磮鰷囟确植己瘮?shù)代入(3)和(6)式，解出光線偏轉(zhuǎn)角隨密度的分布

(7)

若同一水平面溫度認(rèn)為近似相等，因此可忽略密度在yoz平面的差異，則被積分函數(shù)不含z，積分得通過z1-z0擾動厚度區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角為

(8)

由紋影圖像光強(qiáng)差分布關(guān)系[12]

(9)

式中ΔI為有擾動時的紋影圖像的光強(qiáng)與無擾動時的背景光強(qiáng)之差，I為背景光強(qiáng)，x0是光線經(jīng)折射后偏離原路徑的距離，s為光斑的直徑，x為刀口距光斑中心的距離，l為折射點(diǎn)到刀口的距離，如圖2所示.

(a)正視圖

(b)側(cè)視圖圖2 刀口擋光示意圖

將光線偏轉(zhuǎn)角表達(dá)式代入(9)式得紋影圖像光強(qiáng)分布與密度分布的關(guān)系為

(10)

1.2 刀口厚度對紋影成像的影響

(11)

即光強(qiáng)差與刀口厚度成正比，對紋影圖像的影響是非常顯著的.

圖3 刀口厚度實(shí)驗(yàn)的光路示意圖

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 紋影圖像測量

圖4為實(shí)驗(yàn)裝置圖，光源采用LED藍(lán)光燈，避免白光等強(qiáng)光作為背景造成的背景太亮的影響；使用美工刀片擋光，反射鏡半徑R=22 cm，焦距f=77 cm，相機(jī)作為成像屏.

(a)

(b)圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.2 恒溫?zé)嵩磮鰷y量

恒溫?zé)嵩磳?shí)驗(yàn)測量裝置如圖4(b)，在擾動區(qū)域外從恒溫板所在水平高度建立一維坐標(biāo)系，每間隔1 cm測量1個溫度值，恒溫板使用小支架懸空在鏡子底部，以防止與實(shí)驗(yàn)裝置的熱傳導(dǎo)，接通電源待恒溫?zé)嵩磮龇€(wěn)定后，使用電子測溫計(jì)測得熱源場的分布.

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程[13-14]

(12)

由于恒溫板熱源強(qiáng)度穩(wěn)定，因此Tt=0，(12)式簡化為

kTxx=-F(x).

(13)

而恒溫?zé)嵩磸?qiáng)度隨空間位置分布為[13-14]

(14)

結(jié)合(13)和(14)式解出恒溫板在豎直方向上提供的溫度分布為

(15)

以恒溫板為原點(diǎn)，1 cm為梯度測量豎直方向上溫度分布，多次測量并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，如圖5所示，擬合函數(shù)為

T(x)=86.4e-x+28.95.

(16)

圖5 恒溫?zé)嵩纯臻g溫度分布

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果所擬合公式將(15)式簡化為

T(x)=ae-x+b.

(17)

由圖5可知恒溫?zé)嵩磮龅臏囟仍谪Q直空間呈指數(shù)分布，且隨空間高度的增加而指數(shù)減小. 結(jié)合(2)和(10)式可得所對應(yīng)的紋影圖像亮度差為

(18)

即得出紋影系統(tǒng)對于測量密度差異的靈敏度[15].

2.3 紋影圖像亮度差空間分布

建立與溫度場測量時相同的坐標(biāo)系，每間隔1 cm使用Tracker測量1次背景光亮度和圖像亮度，并計(jì)算差值ΔL. 圖6為實(shí)驗(yàn)紋影圖像的亮度差值空間分布曲線，由圖6可知以亮度差表示的對應(yīng)空間光強(qiáng)差分布與理論曲線趨勢相一致，即使用亮度差分析紋影圖像的方法是可行的.

圖6 紋影圖像亮度差空間分布曲線

3 結(jié)果討論

3.1 刀口位置

根據(jù)刀口位置與紋影圖像光強(qiáng)差分布關(guān)系[2]

(19)

依次改變刀口位置，得到紋影圖像光強(qiáng)差所對應(yīng)的亮度差與刀口位置關(guān)系，如圖7所示.

圖7 刀口位置對紋影圖像亮度差的影響

由以上數(shù)據(jù)可以看出，紋影像亮度差分布與刀口位置的關(guān)系是正相關(guān)，即隨著刀口遮擋越多，紋影圖像越明顯. 但刀口遮擋越多，會導(dǎo)致紋影像亮度分布越不均勻和不完整，不利于圖像分析，因此，本紋影系統(tǒng)的刀口位置在0.01 cm處觀察效果最佳.

3.2 刀口厚度

設(shè)置刀口厚度d,R=11.5 cm,l=154 cm，測量相對應(yīng)紋影圖像亮度差變化圖如8所示，隨著刀口厚度的增加，紋影圖像的亮度差逐漸增加，且增加越來越快，可以看到圖8中最后的數(shù)據(jù)與理論曲線稍有偏差，主要是因?yàn)楫?dāng)?shù)犊谠黾右欢ê穸群?，由于其厚度所帶來的立體角和衍射的影響不可忽略. 理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在一定條件下增加刀口厚度對紋影系統(tǒng)靈敏度的影響與增加刀口遮擋的面積的影響可以互相轉(zhuǎn)換，但考慮到刀口邊緣衍射等對于紋影圖像的影響等，一般不采用增加刀口厚度的方法.

圖8 紋影圖像亮度差與增加刀口厚度關(guān)系圖

圖9是在上述恒溫?zé)嵩磮鰲l件下選取刀片遮擋60%光點(diǎn)測量出的紋影系統(tǒng)圖像亮度差分布結(jié)果. 該結(jié)果是紋影系統(tǒng)亮度差值隨密度變化趨勢，這一結(jié)果與理論上的式(10)相吻合，可以看出理論圖9(a)在很小一段密度變化內(nèi)趨于線性變化，與實(shí)驗(yàn)值變化趨勢相同，而理論值與實(shí)驗(yàn)值在數(shù)值上有很大差異，主要是因?yàn)槔碚撝凳羌y影系統(tǒng)的光強(qiáng)差，而實(shí)驗(yàn)處理結(jié)果是由Tracker測得紋影圖像的亮度值之差，圖像亮度與實(shí)際光強(qiáng)之間有轉(zhuǎn)換關(guān)系所導(dǎo)致的. 雖然無法直接測得光強(qiáng)值，但可以根據(jù)密度每改變1個單位所帶來的亮度差值之差來表示紋影系統(tǒng)的靈敏度. 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出圖像亮度差隨密度變化趨于線性，因此可以對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行線性擬合以表示紋影系統(tǒng)靈敏度. 擬合結(jié)果為ΔL=361.35-301.94ρ，即可認(rèn)為本次實(shí)驗(yàn)中搭建的紋影系統(tǒng)靈敏度為301.94 m3/kg.

(a) 理論計(jì)算結(jié)果

(b) 實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果圖9 紋影圖像亮度差隨密度分布曲線

4 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)紋影實(shí)驗(yàn)裝置和采用分析圖像亮度差的方法直觀描述紋影系統(tǒng)靈敏度，主要研究紋影系統(tǒng)的刀口位置和刀口厚度對系統(tǒng)靈敏度的影響. 紋影圖像亮度差分布與刀口位置和刀口厚度都是正相關(guān)，且隨著刀口遮擋越多，紋影像越明顯. 實(shí)驗(yàn)趨勢和理論結(jié)果吻合，并且采用1個單位密度變化所對應(yīng)的紋影像的亮度差的變化來量度紋影系統(tǒng)呈現(xiàn)密度差異的能力，該方法不僅消除了紋影系統(tǒng)成像背景亮度分布不均帶來的影響，還使得紋影系統(tǒng)的邊界效應(yīng)得到了一定的消除，測量結(jié)果更精確可靠.