張西金,方宗德,郭芳,楊濤

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院,710072,西安)

斜齒輪具有重合度大、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn),因而在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。齒輪修形可以改善齒輪的傳動(dòng)性能[1-2],其不僅應(yīng)提高齒輪的承載能力、減小傳動(dòng)誤差及振動(dòng),而且應(yīng)具有較小的齒面摩擦力,以便齒輪達(dá)到最好的綜合性能。因此,研究修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗具有重要意義。

近年來(lái),斜齒輪修形研究取得了一定進(jìn)展。Litvin等提出了一種新的拓?fù)湫扌锡X面,采用齒輪接觸分析(TCA)技術(shù)進(jìn)行了接觸路徑和傳動(dòng)誤差分析,并應(yīng)用有限元接觸分析方法研究了輪齒彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力[3]。Velex等研究了高重合度錐齒輪的齒廓修形公式,可基于傳動(dòng)誤差波動(dòng)量設(shè)計(jì)最優(yōu)的修形量[4]。Eritenel等研究了包含齒廓和齒向修形的齒輪非線性振動(dòng)特性[5]。方宗德推導(dǎo)了修形斜齒輪的齒面接觸與邊緣接觸的全部計(jì)算,探討了齒面修形對(duì)改善齒輪傳動(dòng)性能的作用,并在TCA的基礎(chǔ)上提出了一種結(jié)合有限元方法和非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的齒輪承載接觸分析(LTCA)技術(shù),應(yīng)用該技術(shù)對(duì)修形斜齒輪進(jìn)行了計(jì)算,探討了刀具修形及數(shù)字控制機(jī)床修形2種方法[2,6]。蔣進(jìn)科等通過(guò)理論齒面疊加修形齒面,基于TCA和LTCA技術(shù),建立動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)三維修形完成了寬斜齒輪多目標(biāo)齒面優(yōu)化[7]。Baglioni等采用Niemann公式及完全彈流潤(rùn)滑公式分析了錐齒輪的齒頂修形效率[8]。Diez-Ibarbia等采用Niemann和混合彈流潤(rùn)滑2種摩擦系數(shù)公式研究了修緣錐齒輪的效率[9]。

綜上所述,目前國(guó)內(nèi)外的齒輪修形技術(shù)研究主要集中在傳動(dòng)性能、承載能力等方面,由于修形齒輪的潤(rùn)滑問(wèn)題較復(fù)雜,對(duì)修形齒輪的效率研究較少,尤其是混合彈流潤(rùn)滑情況下各種修形齒輪的效率研究。本文在混合彈流潤(rùn)滑情況下,研究了修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗計(jì)算方法、修形參數(shù)對(duì)功率耗損的影響,可為斜齒輪修形設(shè)計(jì)提供一定的參考。

1 斜齒輪修形

斜齒輪修形包括齒廓修形、齒向修形和拓?fù)湫扌?種形式。齒廓修形通過(guò)改變齒輪刀具切削刃的形狀實(shí)現(xiàn)。通常情況下,齒輪刀具常規(guī)的直線形切削刃改變?yōu)閳A弧形、拋物線形等形式。本文研究的圓弧形齒廓修形,即為齒輪刀具切削刃在法平面內(nèi)為圓弧形,而且只針對(duì)小輪修形。建立如圖1所示的動(dòng)坐標(biāo)系,可以看出:2個(gè)坐標(biāo)系建立在固定于小輪的加工刀具齒條上;xc10-oc10-yc10為齒條齒寬中心處的法平面,采用圓弧形切削刃;R為圓弧半徑,R越小則修形量越大;圓弧與原來(lái)的直線形切削刃相切,切點(diǎn)和節(jié)線與直線形切削刃的交點(diǎn)的距離為c;a為節(jié)線上的法向半齒厚;θ1為圓弧切削刃上的點(diǎn)半徑方向與yc10軸的夾角。節(jié)線上下工作齒面的修形量應(yīng)不同,一般要求齒根部位齒面的修形量小于齒頂部位齒面的修形量,以確保修形不會(huì)明顯減小齒根彎曲疲勞強(qiáng)度。

圖1 修形刀具齒形

齒向采用鼓形修形,中間段采用直線,兩側(cè)采用曲線,本文采用四階修形曲線。齒向修形如圖2所示,其中:δ為齒向各點(diǎn)修形量;δmax齒向最大修形量;L為齒向各點(diǎn)修形長(zhǎng)度;Lmax為齒向最大修形長(zhǎng)度;b為齒寬。

圖2 齒向鼓形修形

在圓弧形齒廓刀具展成加工齒輪的基礎(chǔ)上,齒向采用鼓形修形,形成拓?fù)湫扌巍?種修形的示意圖見(jiàn)圖3。

(a)齒廓修形

(b)齒向修形

(c)拓?fù)湫扌螆D3 斜齒輪修形示意圖

在xc10-oc10-yc10平面中,刀具齒面的四元位矢rc10表示為

(1)

式中:u1為xc10坐標(biāo)值;v1為zc10坐標(biāo)值。

采用對(duì)稱(chēng)的齒向修形方式,即齒向兩側(cè)的最大修形量和最大修形長(zhǎng)度分別相同。齒向修形公式為

(2)

2 齒面摩擦功率損耗模型

2.1 齒面摩擦功率損耗

齒面摩擦功率損耗主要由齒輪嚙合點(diǎn)間存在的相對(duì)滑動(dòng)造成。不考慮其他功率損耗,混合彈流潤(rùn)滑條件下,1對(duì)齒輪嚙合時(shí)齒面摩擦功率損耗的計(jì)算公式為

Wf=μML,ψ(ψ)Fn,ψ(ψ)vs,ψ(ψ)

(3)

式中:ψ為小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度,對(duì)應(yīng)齒面上某個(gè)嚙合點(diǎn);μML,ψ(ψ)是混合彈流潤(rùn)滑條件下對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)處的摩擦系數(shù);Fn,ψ(ψ)為對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)處的法向力;vs,ψ(ψ)為對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)處的滑動(dòng)速度。

式(3)僅考慮了1對(duì)齒輪的嚙合情況,實(shí)際上斜齒輪重合度都大于1,在某一瞬時(shí)可能會(huì)有幾對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合,而且各齒輪的摩擦情況不同。若某一瞬時(shí)有m對(duì)齒輪同時(shí)嚙合,則齒輪的瞬時(shí)齒面摩擦功率損耗可以定義為

(4)

2.2 摩擦系數(shù)

摩擦系數(shù)是影響功率損耗的一個(gè)重要因素,不同潤(rùn)滑狀態(tài)下的摩擦系數(shù)不同。齒輪工作過(guò)程中一般處于混合彈流潤(rùn)滑狀態(tài),混合彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)可以通過(guò)邊界潤(rùn)滑摩擦系數(shù)和彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)加權(quán)和的形式表示。小輪不同轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)不同的齒面嚙合點(diǎn),在第i個(gè)嚙合點(diǎn)混合彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)μML(i)[9-10]定義為

μML(i)=μFL(i)fλ(i)+μBDR[1-fλ(i)]

(5)

fλ(i)=1.21λ(i)0.64/[1+0.37λ(i)1.26]

(6)

λ(i)=hc(i)/Ra

(7)

式中:μFL(i)為彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù);fλ(i)為摩擦系數(shù)分配系數(shù);μBDR為邊界潤(rùn)滑摩擦系數(shù),取0.227 098[9,11];hc(i)為中心油膜厚度;Ra為齒面等效平均粗糙度。

修形齒輪為點(diǎn)接觸嚙合,接觸印痕為橢圓,因此中心油膜厚度[12]計(jì)算公式為

hc(i)=2.69Rx(i)U0.67(i)G0.53Q-0.67(i)·

(1-0.61e-0.73κ)φt(i)

(8)

(9)

vr(i)=|vp(i)+vg(i)|/2

(10)

G≈αE′

(11)

(12)

式中:μ0為環(huán)境黏度;vr(i)為滾動(dòng)速度;νp(i)和νg(i)分別為嚙合點(diǎn)處小輪和大輪的速度;α為壓力黏度系數(shù);W(i)為法向載荷;κ為橢圓率;φt(i)為考慮溫度影響的修正系數(shù),計(jì)算公式見(jiàn)文獻(xiàn)[13];Rx(i)為嚙合點(diǎn)處等效半徑,可由嚙合點(diǎn)處小輪和大輪的曲率半徑ρp(i)和ρg(i)計(jì)算得到;E′為等效彈性模量,可由小輪和大輪的彈性模量E1、E2,泊松比ν1、ν2計(jì)算得到。Rx(i)和E′的計(jì)算公式為

(13)

(14)

彈流潤(rùn)滑狀態(tài)是兩齒面完全被油膜分開(kāi)的理想狀態(tài),此時(shí)摩擦系數(shù)最小,功率損耗最小。Xu對(duì)彈流潤(rùn)滑狀態(tài)進(jìn)行了大量研究工作,獲得的彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)計(jì)算公式[14]為

(15)

f(Rs,r(i),Ph(i),η,Ra)=b1+b4|Rs,r(i)|·

Ph(i)log(η)+b5e-|Rs,r(i)|Ph(i)log(η)+b9eRa

(16)

(17)

vs(i)=|vp(i)-vg(i)|

(18)

式中:Rs,r(i)為齒面速度滑滾比;Ph(i)為齒面嚙合點(diǎn)接觸應(yīng)力;η為潤(rùn)滑油的動(dòng)態(tài)黏度;b1=-8.916 465,b2=1.033 03,b3=1.036 077,b4=-0.354 068,b5=2.812 084,b6=-0.100 601,b7=0.752 755,b8=-0.390958,b9=0.620 305;ve(i)為卷吸速度,ve(i)=|vp,t(i)+vg,t(i)|/2,其中vp,t(i)和vg,t(i)分別為嚙合點(diǎn)小輪速率和大輪速度在切面上的投影分量;vs(i)為齒面相對(duì)滑動(dòng)速度。

3 齒面摩擦功率損耗模型參數(shù)

齒面摩擦功率損耗模型的主要參數(shù)通過(guò)TCA及LTCA獲得。通過(guò)TCA可以得到的參數(shù)包括:小輪接觸橢圓短軸方向曲率半徑ρp、大輪接觸橢圓短軸方向曲率半徑ρg、小輪嚙合點(diǎn)速度vp、大輪嚙合點(diǎn)速度vg、橢圓率κ等。通過(guò)LTCA可以得到的參數(shù)包括齒面嚙合點(diǎn)的赫茲應(yīng)力Ph、法向力Fn(θ)等。

小輪轉(zhuǎn)速取為5 000 r/min,力矩取為450 N·m,等效彈性模量取為219 700 MPa,小輪和大輪齒面粗糙度取為0.35 μm,壓力黏度系數(shù)取為9.68 GPa-1,環(huán)境黏度取為0.135 Pa·s,黏溫系數(shù)取為0.021 7 K-1,潤(rùn)滑油熱導(dǎo)率取為0.117 6 W/(m·K)。

齒輪基本參數(shù)為:小輪齒數(shù)30,大輪齒數(shù)45,法面模數(shù)6,壓力角20°,螺旋角15°。該對(duì)齒輪副理論上有3對(duì)齒同時(shí)嚙合,假設(shè)小輪和大輪的每個(gè)齒面上有15個(gè)瞬時(shí)嚙合位置。圖4表示小輪齒面上的嚙合位置,編號(hào)1～15表示嚙合順序,小輪沿嚙合線從齒根到齒頂依次有15個(gè)瞬時(shí)嚙合位置,大輪齒面上對(duì)應(yīng)的各嚙合位置編號(hào)與小輪嚙合位置編號(hào)相同。

圖4 小輪各瞬時(shí)嚙合位置

假設(shè)φT為小輪在一個(gè)嚙合周期內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度,將φT等分為5份,若用φ表示小輪轉(zhuǎn)角,則該對(duì)齒輪副理論上各瞬時(shí)嚙合情況如表1所示。

4 修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

4.1 齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

設(shè)計(jì)圓弧半徑R=K1mn,式中K1為齒廓修形

表1 輪齒副理論上各瞬時(shí)嚙合情況

參數(shù),mn為法向模數(shù),為了不影響接觸強(qiáng)度,圓弧半徑不應(yīng)太小。在R為150mn和250mn兩種條件下,對(duì)齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦情況進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖5所示。為使齒根部位修形量小于齒頂部位修形量,c取為0.5 mm。若第i個(gè)嚙合位置處接觸橢圓長(zhǎng)軸上的離散載荷pi,j(j=1,…,k)由LTCA計(jì)算得出,P為法向總載荷,則該嚙合位置處的載荷分配系數(shù)計(jì)算公式為

(a)齒廓修形量

(b)載荷分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(d)摩擦系數(shù)

(e)摩擦功率損耗圖5 齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦情況

(19)

從圖5a可以看出,齒頂修形量比齒根修形量大,這樣的修形對(duì)齒根彎曲強(qiáng)度影響小。從圖5b可以看出,嚙合點(diǎn)1、2、3、14和15實(shí)際沒(méi)有進(jìn)入嚙合狀態(tài),結(jié)合表1可以知道小輪轉(zhuǎn)角各位置實(shí)際只有2對(duì)齒嚙合。從圖5c可以看出,兩側(cè)未實(shí)際嚙合的點(diǎn)完全被潤(rùn)滑油膜隔開(kāi),摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1;中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)在0.71～0.81之間,處于混合摩擦狀態(tài),且以彈流潤(rùn)滑占為主。從圖5d可以看出:由于兩側(cè)未實(shí)際嚙合的點(diǎn)完全被潤(rùn)滑油膜隔開(kāi),所以接觸應(yīng)力為0,彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)為0,摩擦系數(shù)也為0;在實(shí)際嚙合點(diǎn)中,最中間位置摩擦系數(shù)稍小,修形量對(duì)摩擦系數(shù)影響較小。從圖5e可以看出,在載荷、摩擦系數(shù)、滑動(dòng)速度和嚙合狀態(tài)共同作用下,小輪轉(zhuǎn)角在0.4φT和0.6φT時(shí)功率耗損較小。綜上所述,修形量變化對(duì)功率耗損影響較小,齒廓修形引起的功率損耗波動(dòng)較小,對(duì)傳動(dòng)有利。

4.2 齒向修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

齒向修形參數(shù)包括最大修形量和最大修形長(zhǎng)度。對(duì)于高精度齒輪,ISO推薦的齒向鼓形最大修形量為10～25 μm[15]。在相同的修形長(zhǎng)度下,由于修形量很小,對(duì)功率損耗的影響也很小,所以本文僅研究修形長(zhǎng)度對(duì)功率損耗的影響。取最大修形量為25 μm,在最大修形長(zhǎng)度為0.1b和0.5b兩種條件下,對(duì)齒向修形斜齒輪的齒面摩擦情況進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖6所示。

(a)齒向修形量

(b)載荷分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(d)摩擦系數(shù)

(e)摩擦功率損耗圖6 齒向修形斜齒輪的齒面摩擦情況

從圖6a可以看出,齒向采用對(duì)稱(chēng)鼓形修形,兩側(cè)修形情況相同。從圖6b可以看出,最大修形長(zhǎng)度增大后,實(shí)際嚙合點(diǎn)減少,中間嚙合點(diǎn)載荷增大,而兩側(cè)嚙合點(diǎn)載荷減小。從圖6c可以看出,兩側(cè)摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1,中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)在0.74～0.87之間,以彈流潤(rùn)滑為主。從圖6d可以看出,齒寬方向中心區(qū)域載荷大,摩擦系數(shù)較大。從圖6e可以看出:當(dāng)小輪轉(zhuǎn)角為0、0.2φT、0.6φT和0.8φT時(shí),最大修形長(zhǎng)度大則功率損耗大;當(dāng)小輪轉(zhuǎn)角為0.4φT時(shí),最大修形長(zhǎng)度大則耗損功率小。這是因?yàn)楫?dāng)小輪轉(zhuǎn)角為0.4φT時(shí):在最大修形長(zhǎng)度為0.1b情況下,嚙合點(diǎn)3和13載荷較大,功率損耗較大;在最大修形長(zhǎng)度為0.5b情況下,只有嚙合點(diǎn)8實(shí)際嚙合,雖然該點(diǎn)載荷大,但滑動(dòng)速度很小,所以該位置功率耗損很小。綜上所述,修形長(zhǎng)度變化對(duì)功率損耗影響較大,齒向修形長(zhǎng)度增大引起功率損耗波動(dòng)較大,對(duì)傳動(dòng)不利。

4.3 拓?fù)湫扌涡饼X輪的齒面摩擦功率損耗

取齒廓修形參數(shù)c=0.5 mm、R=250mn,齒向最大修形量25 μm,在最大修形長(zhǎng)度為0.1b和0.5b2種條件下,對(duì)拓?fù)湫扌涡饼X輪的齒面摩擦情況進(jìn)行研究,結(jié)果如圖7所示。

(a)拓?fù)湫扌瘟?/p>

(b)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)

(d)嚙合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的摩擦功率損耗

(e)小輪轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的摩擦功率損耗圖7 拓?fù)湫扌涡饼X輪的齒面摩擦情況

從圖7a可以看出,齒頂修形量比齒根修形量大,對(duì)齒根彎曲強(qiáng)度影響小。從圖7b可以看出,由于兩側(cè)未實(shí)際嚙合的點(diǎn)摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1,中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)為在0.75～0.85之間,以彈流潤(rùn)滑為主。從圖7c可以看出,兩側(cè)未實(shí)際嚙合的點(diǎn)摩擦系數(shù)為0,齒寬方向中心區(qū)域載荷較大,因而摩擦系數(shù)較大。從圖7d可以看出,由于齒寬中心區(qū)域載荷較大,齒面摩擦功率損耗也較大。當(dāng)最大修形長(zhǎng)度為0.5b時(shí),在嚙合點(diǎn)7出現(xiàn)波谷。這是由該處滑動(dòng)速度很小造成的。結(jié)合圖6e和圖7e可以看出,當(dāng)最大修形長(zhǎng)度為0.5b時(shí),與單純齒向修形相比,拓?fù)湫扌我鸬墓β蕮p耗波動(dòng)較小,對(duì)傳動(dòng)有利。

5 結(jié) 論

(1)研究了斜齒輪的齒廓修形、齒向修形和拓?fù)湫扌畏椒?基于TCA和LTCA提出了修形斜齒輪齒面摩擦功率損耗及混合彈流潤(rùn)滑條件下修形斜齒輪摩擦系數(shù)計(jì)算方法,為修形斜齒輪齒面摩擦功率損耗分析奠定了基礎(chǔ)。

(2)對(duì)斜齒輪的齒廓修形、齒向修形和拓?fù)湫扌蔚男扌螀?shù)與摩擦損耗功率之間的關(guān)系進(jìn)行了仿真。對(duì)于齒廓修形,修形量變化對(duì)功率損耗的影響較小,而且齒廓修形損耗功率波動(dòng)較小,對(duì)傳動(dòng)有利。對(duì)于齒向修形,最大修形長(zhǎng)度變化對(duì)功率損耗影響較大,而且最大齒向修形長(zhǎng)度增大后損耗功率波動(dòng)增大,對(duì)傳動(dòng)不利。與齒向修形相比,修形長(zhǎng)度較大時(shí),拓?fù)湫扌蜗鹿β蕮p耗波動(dòng)量減小,對(duì)傳動(dòng)有利。

(3)通過(guò)修形改變了嚙合點(diǎn)的等效曲率半徑,從而接觸應(yīng)力、嚙合點(diǎn)速度、接觸橢圓率等發(fā)生了變化,因此彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)、摩擦系數(shù)分配系數(shù)、摩擦功率損耗也隨之發(fā)生了變化。下一步將深入研究齒向修形曲線及參數(shù),以便減少摩擦功率損耗波動(dòng)。