位 巍 ， 付世曉 ， 宋春輝

（1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

0 引 言

近三十年來，超大型浮體在海上資源開發(fā)、海洋空間利用以及海上軍事基地建設(shè)等方面發(fā)揮了重大的作用。最早進(jìn)行超大型浮體研究的是日本和美國，日本在90年代提出了箱式超大型浮體，主要用于海上機場、離岸集裝箱碼頭等作用[1]；美國為了滿足其軍事需求，建造了移動式海上基地[2]；挪威正在發(fā)展水下浮橋，用于連接和跨越該國的多個海灣[3]；我國在島礁附近布置超大型浮體作為物流基地和保障[4-5]。與常規(guī)的海洋浮式結(jié)構(gòu)物或海洋船舶相比，超大型浮體由于其尺寸巨大，相對剛度較低，因此在其動力響應(yīng)和結(jié)構(gòu)分析時必須采用水彈性的方法。

目前，對于其響應(yīng)和受力的分析主要基于水彈性理論[6-8]。吳有生和杜雙興[9]采用三維線性水彈性理論對彈性連接的多剛體系統(tǒng)的模型的結(jié)構(gòu)運動和連接件的應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析，為此類結(jié)構(gòu)連接器的設(shè)計提供參考。Fu和Moan[10]采用三維水彈性方法求解了帶有復(fù)雜連接的結(jié)構(gòu)的水彈性響應(yīng)，并對連接件的位移響應(yīng)進(jìn)行了研究。宋晧和崔維成[11]采用多重尺度法和常規(guī)的有限水深格林函數(shù)法對置于非均勻海底上的超大型浮體的響應(yīng)進(jìn)行了分析，并與試驗結(jié)果進(jìn)行了對比，證明非均勻海底對超大型浮體有一定影響。雖然基于模態(tài)疊加的水彈性方法已經(jīng)經(jīng)過了長足的發(fā)展并且已被廣泛地應(yīng)用于超大型浮體的水彈性響應(yīng)的計算中[8，12]，但是對于工程中關(guān)心的連接器的受力，該方法研究較少；另一方面，超大型浮體面臨的非均勻海洋環(huán)境問題并沒有得到很好的解決。

本文基于多體動力學(xué)和有限元方法，建立了一種求解浮體水彈性響應(yīng)的數(shù)值方法[13-14]。此方法中，將連續(xù)的浮體離散為若干個剛體子模塊，基于三維勢流理論并考慮各模塊之間的水動力干擾，求得作用在各模塊上的波浪激勵力以及附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)；各模塊之間通過等效梁的剛度陣連接，從而保證浮體變形的連續(xù)性；將各模塊的水動力系數(shù)以及波浪激勵力和子模塊之間的剛度陣耦合，從而建立了多模塊系統(tǒng)的運動方程。進(jìn)一步，通過模態(tài)疊加方法，將本文提出的數(shù)值計算方法與傳統(tǒng)的水彈性方法建立聯(lián)系。本文的方法不僅可以求解位移響應(yīng)和結(jié)構(gòu)內(nèi)力，也可以求得主坐標(biāo)響應(yīng)和廣義波浪激勵力，而后兩者原先只能通過傳統(tǒng)的水彈性方法得到。通過兩種方法的對比，驗證了本文的數(shù)值方法在求解水彈性響應(yīng)中的正確性。本文的方法基于多模塊的思想，有利于對非均勻海洋環(huán)境和連接件的受力進(jìn)行分析。

1 理論背景

1.1 坐標(biāo)系的定義

為了描述N個浮體組成的多浮體系統(tǒng)在波浪作用下的運動響應(yīng)，采用三套右手坐標(biāo)系，分別為大地坐標(biāo)系OXYZ、隨體坐標(biāo)系omxmymzm以及參考坐標(biāo)規(guī)定波浪入射角方向與X軸平行且指向X軸正向時，θ=0°，逆時針方向為正。

圖1 多體系統(tǒng)的坐標(biāo)系定義Fig.1 Coordinate system of multiple floating body system

1.2 波浪激勵力以及附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)

基于多體動力學(xué)理論和線性化的伯努利方程，可以得到作用在各浮體上的波浪激勵力，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)：

其中：S（）m為浮體m靜置于靜水中時的濕表面積；μ和c分別表示附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)，當(dāng)m=n時，表示由于浮體m本身的運動引起的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)；m≠n時表示由于浮體n的運動引起的浮體m的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)。

1.3 頻域內(nèi)運動方程

對于連續(xù)的超大型浮體，將其離散為有限個剛體模塊后，單獨的剛體模塊不僅受相鄰模塊的水動力干擾，而且還受到相鄰模塊運動位移的限制，即必須要保證整個浮體的變形是連續(xù)的。相鄰的模塊之間通過在其等效中心設(shè)置伯努利——歐拉梁進(jìn)行連接。因此，基于多體動力學(xué)以及有限元的思想，可以建立浮體在波浪作用下的浮體的動力學(xué)方程：

其中：[M]，[A]，[C]分別為各子模塊組成的質(zhì)量矩陣、附加質(zhì)量矩陣以及阻尼矩陣；[c]為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；[K]為子模塊靜水恢復(fù)力矩陣；[k]為模塊之間連接處的總剛度陣；｛x｝為各模塊的位移值；｛Fw｝為各子模塊受到的波浪激勵力。

1.4 與傳統(tǒng)水彈性方程的關(guān)系

方程（3）也可以看作是有N個節(jié)點的結(jié)構(gòu)的有限元方程，每個節(jié)點有六個自由度。解此運動方程一般有兩種方法，一類是直接積分法，就是按時間歷程對上述微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分，常用的方法有Newmark法、Wilson-θ法；另一類是模態(tài)疊加法（Mode Superposition Method），這里介紹模態(tài)疊加法。

對于連續(xù)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，在外力的作用下通常只被激起較低一部分的振型，而大部分高階振型被激起的分量很小，一般可忽略不計，因此假若對運動方程（3）起主要作用的是其前m階振型，則浮體的位移響應(yīng)可以由m階振型線性疊加得到，可以表示為

其中：pr（t）為系統(tǒng)的第r階主坐標(biāo)響應(yīng)，｛p｝為主坐標(biāo)響應(yīng)列陣，為m×1的列陣；｛Dr｝為第r階振型向量，[D]為振型矩陣，[D]= [｛D1｝，｛D2｝，…，｛Dm｝]，為 6N×m的矩陣；當(dāng)r=1，…，6 時，｛Dr｝表示結(jié)構(gòu)的前6階剛體運動模態(tài)列向量，可以寫為：

其中： （xG，yG，zG）為連續(xù)浮體的重心的位置， （xj，yj，zj）為連續(xù)浮體上第j個節(jié)點在隨體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

將（5）式代入到方程（3）中，得

將上述方程左右兩邊同時乘以[D]T，得到

由振型關(guān)于質(zhì)量陣和剛度陣的正交性可知，

其中：[m]，[b]，]分別為浮體的廣義質(zhì)量陣、廣義阻尼和廣義剛度陣；[a]，[B]，]分別為流體的廣義附加質(zhì)量、廣義阻尼和廣義流體恢復(fù)力系數(shù)矩陣；｝為廣義波浪激勵力列陣，這些參數(shù)的表達(dá)式為：

上式即為廣義線性水彈性運動方程式，本文的數(shù)值計算方法最后可以回歸到傳統(tǒng)的水彈性方程中。

方程（9）中的各個變量，既與空間坐標(biāo)有關(guān)又與時間變化有關(guān)，對于以穩(wěn)定頻率作周期變化的變量可以寫為：，以便于分離空間和時間。 將方程（9）中的時間變量從其方程中分離出去，方程（9）的頻域表達(dá)式為：

其中：｛u｝為連續(xù)浮體的主坐標(biāo)響應(yīng)。

上式即為連續(xù)浮體的三維水彈性時域方程，根據(jù)上述推導(dǎo)，可以根據(jù)本文的數(shù)值計算方法求解作用在連續(xù)浮體上的廣義波浪激勵力、廣義附加質(zhì)量、廣義阻尼以及主坐標(biāo)響應(yīng)。

2 數(shù)值計算結(jié)果

2.1 模型介紹

為了驗證本文數(shù)值計算方法的正確性，選取Fu論文中的超大型浮體作為本文的數(shù)值計算模型，并將其吃水改為5 m，其參數(shù)見表1。

表1 超大型浮體的主尺度Tab.1 Main particulars of VLFS and substructures

2.2 垂向位移、彎矩、剪力和扭矩驗證

由于本文的數(shù)值模型采用了新的吃水和新的彎曲剛度，為了驗證其可靠性和與傳統(tǒng)的三維水彈性的關(guān)系，首先對此模型在頻域內(nèi)的垂向位移和彎矩與三維水彈性程序的結(jié)果進(jìn)行對比驗證，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出浮體在各個彈性模態(tài)下的主坐標(biāo)響應(yīng)以及廣義力。本文仍將整個模型離散為8個模塊，對其垂向位移、垂向彎矩以及剪力進(jìn)行求解，如圖2所示。

圖2 模型的水動力網(wǎng)格的俯視圖以及等效梁模型Fig.2 Schematic plane view of grid model of VLFS and equivalent beam model

圖3給出了在45°浪向角時采用本文的數(shù)值計算方法和三維水彈性方法得到的垂向位移、彎矩、剪力和扭矩的對比結(jié)果圖，可以看出兩種數(shù)值方法的結(jié)果吻合良好，證明本文在頻域內(nèi)建立的數(shù)值方法對于此模型有同樣的適用性。

圖3 浮體的垂向位移、垂向彎矩、剪力以及扭矩在45°浪向下的兩種數(shù)值方法的對比Fig.3 Comparison of the vertical displacement，vertical bending moment，vertical shear force and torsional moment between the 3D hydroelasticity and the present method in wave heading of 45°

2.3 主坐標(biāo)響應(yīng)驗證

基于本文的數(shù)值方法得到的上述的水彈性的結(jié)果，垂向位移、彎矩等參數(shù)都是與劃分的模塊個數(shù)相等的離散點，為了得到浮體的變形的連續(xù)結(jié)果，可以根據(jù)第二章提到的逆模態(tài)疊加的方法，根據(jù)已知點上的垂向位移、扭轉(zhuǎn)角等信息求取浮體各模態(tài)上的主坐標(biāo)響應(yīng)。在模態(tài)疊加法中，根據(jù)浮體的垂蕩、縱搖以及各階垂向彎曲模態(tài)的主坐標(biāo)響應(yīng)求取浮體的垂向位移。因此，在已知8點的垂向位移時，可以求得浮體的垂蕩響應(yīng)、縱搖響應(yīng)以及前6階垂向彎曲模態(tài)的主坐標(biāo)響應(yīng)幅值。

圖4 兩種數(shù)值方法下浮體的垂蕩響應(yīng)幅值、縱搖響應(yīng)幅值以及第7、8階主坐標(biāo)響應(yīng)幅值的對比Fig.4 Comparison of the heave，pitch RAO and the principal coordinate of the vertical bending modes between the 3D hydroelasticity and the present method

圖5 兩種數(shù)值方法下浮體的橫搖響應(yīng)幅值以及第11階主坐標(biāo)響應(yīng)幅值（扭轉(zhuǎn)模態(tài)）的對比Fig.5 Comparison of the roll RAO and the principle coordinate of the torsional modes between the 3D hydroelasticity and the present method

圖4給出了反推得到的結(jié)構(gòu)的垂蕩、縱搖以及前兩階垂向彎曲模態(tài)的主坐標(biāo)響應(yīng)隨入射波浪頻率的變化趨勢，并與三維水彈性的結(jié)果進(jìn)行對比。從圖中可以看出，本文得到的結(jié)果與三維水彈性的結(jié)果吻合良好，證明了本文的方法在求解結(jié)構(gòu)的水彈性主坐標(biāo)響應(yīng)的正確性。進(jìn)一步，根據(jù)得到的浮體的主坐標(biāo)響應(yīng)，可以采用模態(tài)疊加的方法，得到結(jié)構(gòu)連續(xù)的垂向位移、垂向彎矩和剪力。

與垂向位移的求解相似，對結(jié)構(gòu)模態(tài)分析后，得到浮體的扭轉(zhuǎn)模態(tài)。同樣根據(jù)離散點上的扭轉(zhuǎn)角，利用逆模態(tài)疊加的思想，可以得到浮體的橫搖角以及各扭轉(zhuǎn)模態(tài)下的主坐標(biāo)響應(yīng)。圖5給出了使用本文的方法計算得到的橫搖RAO以及第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的主坐標(biāo)響應(yīng)與水彈性方法的對比結(jié)果。從圖中可以看出，本文方法得到的扭轉(zhuǎn)模態(tài)的主坐標(biāo)響應(yīng)與水彈性方法得到的結(jié)果吻合良好。根據(jù)得到的主坐標(biāo)響應(yīng)可以進(jìn)一步通過模態(tài)疊加的方法，得到作用在浮體上的連續(xù)的扭矩。

2.4 波浪激勵力驗證

根據(jù)第二章的理論，各個子模塊上的波浪激勵力乘以振型的轉(zhuǎn)置即為浮體受到的波浪激勵力，將其與三維水彈性方法得到的廣義波浪激勵力進(jìn)行對比，圖6主要給出了與垂向彎矩和扭轉(zhuǎn)相關(guān)的模態(tài)上的波浪激勵力。從圖中可以看出，本文數(shù)值計算方法得到的廣義波浪激勵力與三維水彈性的結(jié)果吻合較好，但在某些較高的頻率下（波長較小時），在其位置不會出現(xiàn)峰值，這可能是因為劃分的子模塊個數(shù)的限制，不能體現(xiàn)高頻特性。因此，如果要對浮體高頻下的響應(yīng)特性進(jìn)行研究，可以將浮體劃分更多的模塊。

圖6 兩種數(shù)值方法下浮體的波浪激勵力的對比Fig.6 Comparison of the wave exciting forces between the 3D hydroelasticity and the present method

3 結(jié) 論

本文基于傳統(tǒng)的水動力學(xué)和有限元法，通過將連續(xù)的模型離散，提出了一種新的水彈性響應(yīng)的分析方法。采用提出的方法對一超大型浮體的水彈性響應(yīng)進(jìn)行研究，將得到的垂向位移、彎矩、剪力、扭矩、主坐標(biāo)響應(yīng)以及波浪激勵力與傳統(tǒng)的水彈性得到的結(jié)果進(jìn)行對比，吻合良好，證明了本文提出方法的正確性和可靠性。此外，本文的數(shù)值方法是基于離散模塊的思想，可以為以后連接件受力分析以及非均勻海洋環(huán)境的分析提供依據(jù)。