，，

(1.山東科技大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 交通學(xué)院，山東 青島 266590；3.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

城市交通網(wǎng)絡(luò)是城市活動的載體，是城市經(jīng)濟運行的重要保障，其承擔的運輸任務(wù)種類繁多。其中也包含危險品運輸，而一旦危險品在運輸過程中出現(xiàn)事故，造成的影響往往是范圍性的，對城市交通網(wǎng)絡(luò)功能的影響具有破壞性。城市交通網(wǎng)絡(luò)主要由運輸節(jié)點和運輸路徑構(gòu)成的，各個節(jié)點之間存在負載交換，一個節(jié)點失效(喪失正常運輸功能)可能導(dǎo)致周圍節(jié)點也失效，通過節(jié)點間的耦合關(guān)系，失效可能傳播至整個網(wǎng)絡(luò)，造成網(wǎng)絡(luò)崩潰，這種現(xiàn)象被稱為級聯(lián)失效。為防止網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)級聯(lián)失效現(xiàn)象，降低級聯(lián)失效對網(wǎng)絡(luò)功能的破壞程度，需要識別網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點和邊，提前做好預(yù)防措施，提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

目前在網(wǎng)絡(luò)失效方面的研究，Dobson等[1]構(gòu)建了cascade模型來解釋級聯(lián)失效現(xiàn)象；Zhong等[2]考慮3種鏈路連接方式，建立級聯(lián)失效模型，通過在自由無標度網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、ER隨機網(wǎng)絡(luò)中進行仿真實驗，研究單向鏈路對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效魯棒性的影響；Liu等[3]根據(jù)節(jié)點的度和介數(shù)確定節(jié)點負載，建立級聯(lián)失效模型；Wang等[4]考慮到節(jié)點權(quán)重異質(zhì)性，提出一種基于邊的級聯(lián)失效模型，研究了去除最大負載的邊的級聯(lián)動力學(xué)模型；Hon等[5]主要研究異質(zhì)負載在級聯(lián)失效情況下的分配規(guī)則，利用參數(shù)θ控制負載的異質(zhì)程度，研究節(jié)點容量系數(shù)與失效節(jié)點總數(shù)的關(guān)系；Fu等[6]提出基于耦合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的級聯(lián)失效修復(fù)模型。在交通網(wǎng)絡(luò)的研究中，Qian等[7]從傳統(tǒng)的道路交通網(wǎng)絡(luò)入手，構(gòu)建道路交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，通過分析和比較，提出了復(fù)雜交通網(wǎng)絡(luò)的時延、恢復(fù)性等特征；種鵬云等[8]構(gòu)建危險品運輸關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型，研究了危險品運輸關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效機理及耦合特性；何祥等[9]采用“負荷-容量”模型從網(wǎng)絡(luò)的整體效率、連通程度和路段的擁堵程度等多個角度，研究了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點遭受破壞后的級聯(lián)失效后果；沈犁等[10]在構(gòu)建多方式、多層次拓撲網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，對以成都市為例的地鐵-公交復(fù)合網(wǎng)絡(luò)在襲擊與擁堵下的有效性進行了分析。

目前對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的研究主要集中在針對不同現(xiàn)實問題對模型進行改進。在對交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究中，主要考慮單一節(jié)點或邊失效，未曾考慮范圍失效，然而在實際城市交通網(wǎng)絡(luò)承擔了各種運輸任務(wù)，包括危險品運輸，如果危險品在運輸過程中出現(xiàn)事故，通常會導(dǎo)致一片區(qū)域失效，這種情況對路網(wǎng)的影響與單一節(jié)點失效對路網(wǎng)的影響不同。直觀上看，一片區(qū)域失效要比單一節(jié)點失效破壞力強，因此危險品網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效不能使用普通的級聯(lián)失效模型?；诖?，根據(jù)城市交通網(wǎng)絡(luò)的現(xiàn)實情況，分析城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效機制，建立城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型，構(gòu)建抗毀性測度指標，辨識網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點和邊，研究危險品事故背景下城市交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性，為城市交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化和管理提供理論依據(jù)。

1 城市交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性測度

城市交通網(wǎng)絡(luò)主要由各種運輸樞紐及運輸線路構(gòu)成，為方便研究城市交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性，需要去除它們的異質(zhì)性，將其抽象為網(wǎng)絡(luò)的點和邊，從而將城市交通網(wǎng)絡(luò)簡化為網(wǎng)絡(luò)模型。設(shè)G=(V,E)為城市交通網(wǎng)絡(luò)拓撲圖，其中V={v1,v2,…,vn}為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點集合，E={e1,e2,…,em}為網(wǎng)絡(luò)邊集合。為簡化問題，特做如下假設(shè)：①城市交通網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò)；②僅考慮節(jié)點攻擊，暫不考慮邊攻擊；③城市交通網(wǎng)絡(luò)不具備自我恢復(fù)性能。

危險品事故之所以造成城市交通網(wǎng)絡(luò)的運輸節(jié)點失效，主要有兩個原因：①危險品事故客觀上摧毀了運輸節(jié)點(比如爆炸等)，即節(jié)點被動失效；②危險品事故發(fā)生后(如有毒氣體擴散)，不會摧毀運輸節(jié)點，但危險品的擴散造成有關(guān)當局實施交通管制，從而使一些運輸節(jié)點不能發(fā)揮作用，即主動失效。這兩種情況都會造成一片區(qū)域內(nèi)的節(jié)點同時失效。如圖1所示，危險品事故造成一定區(qū)域內(nèi)節(jié)點失效。

因此，城市交通網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生危險品事故后，造成一片區(qū)域內(nèi)的節(jié)點喪失正常運輸功能，導(dǎo)致一些運輸任務(wù)的運輸路徑必須做出改變，甚至運輸任務(wù)被迫中止。因此，危險品事故發(fā)生后，城市交通網(wǎng)絡(luò)的運輸能力備受關(guān)注。危險品事故對城市交通網(wǎng)絡(luò)運輸能力的影響主要表現(xiàn)在兩方面：一方面，受危險品事故影響失效區(qū)域內(nèi)的節(jié)點需要將負載疏散給剩余節(jié)點，因此可能導(dǎo)致更多節(jié)點因負載過大而失效，在這個過程中可能發(fā)生多次負載重分配，致使更多節(jié)點失效，進而影響網(wǎng)絡(luò)運輸效率；另一方面，失效在網(wǎng)絡(luò)中傳播結(jié)束后，網(wǎng)絡(luò)剩余正常部分的連通情況與網(wǎng)絡(luò)運輸能力密切相關(guān)?；谏鲜龇治觯捎镁W(wǎng)絡(luò)連通率和迭代次數(shù)兩個指標從級聯(lián)失效的過程和結(jié)果兩方面度量城市交通網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

圖1 城市交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點失效示意圖Fig.1 Schematic diagram of node failure in urban traffic network

2 城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性模型

2.1 城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效過程描述

在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，負載分配具有如下特點：網(wǎng)絡(luò)中某處發(fā)生危險品事故，影響到一片區(qū)域，導(dǎo)致多個節(jié)點同時失效，如圖2中A所示；為了安全及完成運輸任務(wù)，失效節(jié)點的負載會疏散到鄰居節(jié)點，如圖2中A→B所示；若鄰居節(jié)點所承受的負載超過其最大容量，則鄰居節(jié)點失效，繼續(xù)將多余負載疏散到其余未失效節(jié)點，如圖2中B→C所示。

圖2 城市交通網(wǎng)絡(luò)交通負載重新分配示意圖Fig.2 Schematic diagram of load redistribution in urban traffic network

根據(jù)上述分析，危險品事故發(fā)生后影響城市交通網(wǎng)絡(luò)的過程大致可以分為4個階段：

1) 網(wǎng)絡(luò)正常運行，在未受到攻擊前，各個節(jié)點的負載均未超過最大容量限制，某一時刻，網(wǎng)絡(luò)某處受到攻擊，發(fā)生危險品事故，造成一定范圍內(nèi)節(jié)點失效。由于不考慮邊上的負載，所以此階段相當于同時攻擊了多個節(jié)點。

2) 失效范圍內(nèi)的節(jié)點將自身負載疏散到鄰居節(jié)點，此時有兩種情況：鄰居節(jié)點由于負載過大而失效；鄰居節(jié)點可以承受外來負載，繼續(xù)正常運行。

3) 階段2)中的失效節(jié)點繼續(xù)將負載疏散到其鄰居節(jié)點，若其鄰居節(jié)點剩余節(jié)點容量足夠承擔外來負載，則不失效；或鄰居節(jié)點因負載過大而失效。

4) 負載重分配持續(xù)進行，失效繼續(xù)在網(wǎng)絡(luò)中傳播，直到整個網(wǎng)絡(luò)崩潰或遇到負載承擔能力很大的節(jié)點使網(wǎng)絡(luò)重新正常運行，級聯(lián)失效結(jié)束。

2.2 城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

根據(jù)上述分析，建立如下級聯(lián)失效抗毀機理模型：

2) 某時刻城市交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)生危險品事故，產(chǎn)生一片失效區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)的節(jié)點失去運輸功能，將自身原有負載分配到未失效鄰居節(jié)點上。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，有許多負載分配規(guī)則，包括均勻分配、隨機分配、優(yōu)化分配和最近鄰分配等。根據(jù)路網(wǎng)實際負載分配情況，綜合考慮節(jié)點的剩余負載容量及負載來定義模型負載重新分配比率：

(1)

(2)

3)設(shè)集合M是未失效節(jié)點的集合，N是為失效節(jié)點集合。節(jié)點負載更新后，失效判斷規(guī)則為：

(3)

對集合N中的節(jié)點，需再次進行負載重分配，將多余的負載分配到未失效的鄰居節(jié)點上，分配公式為：

(4)

其中：k表示節(jié)點j的一個鄰居節(jié)點；Γk表示節(jié)點k的鄰居節(jié)點集合。

4) 網(wǎng)絡(luò)中不屬于原集合N的節(jié)點，判斷其負載是否超過最大容量，若超過，則歸屬于集合N，且轉(zhuǎn)至第3)步；若未超過，則歸屬于集合M。

圖3 城市交通網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Urban traffic network

5) 當集合M、N不再變動時，級聯(lián)失效結(jié)束；采用網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性進行評價。

3 算例及仿真分析

城市交通網(wǎng)絡(luò)中，一些節(jié)點在承擔普通運輸任務(wù)的同時，還承擔著危險品運輸任務(wù)。當某處發(fā)生危險品事故時，也許會直接影響到普通運輸節(jié)點，使得在負載疏散過程中，普通運輸節(jié)點的負載疏散到未受損的危險品運輸節(jié)點致使其失效，所以在研究城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性時不能單純考慮危險品運輸節(jié)點。根據(jù)上述特點，構(gòu)建了仿真網(wǎng)絡(luò)，如圖3所示。

為方便表述，根據(jù)節(jié)點度的大小將節(jié)點劃分為大節(jié)點和小節(jié)點，節(jié)點度較大的節(jié)點簡稱為大節(jié)點，節(jié)點度較小的節(jié)點簡稱為小節(jié)點。

3.1 大-大節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響分析

圖4是節(jié)點8、12兩個大節(jié)點同時處在危險品事故造成的失效范圍內(nèi)時，網(wǎng)絡(luò)連通率以及迭代次數(shù)隨著節(jié)點容量系數(shù)變化所呈現(xiàn)的變化規(guī)律。從圖4可以看出，隨著節(jié)點容量系數(shù)的增長，網(wǎng)絡(luò)連通率、迭代次數(shù)并不呈正比例變化。節(jié)點容量系數(shù)在區(qū)間(1,1.31)內(nèi)時，網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)皆呈上下起伏不穩(wěn)定變化，節(jié)點容量系數(shù)在區(qū)間(1.31,1.65)時，網(wǎng)絡(luò)連通率呈現(xiàn)階梯式穩(wěn)步增長趨勢，迭代次數(shù)穩(wěn)步下降趨勢。

以上現(xiàn)象說明，節(jié)點容量系數(shù)較小時，網(wǎng)絡(luò)抗毀性較低且呈現(xiàn)不穩(wěn)定變化，這可能是由于在該區(qū)間內(nèi)，隨著節(jié)點容量系數(shù)的增長，節(jié)點最大容量逐漸增大，但仍然無法承受大部分的疏散負載；當節(jié)點容量系數(shù)達到一定值時，網(wǎng)絡(luò)抗毀性會陡然增加，這說明，當節(jié)點容量系數(shù)增大到能夠提供給周圍鄰居節(jié)點周轉(zhuǎn)負載所需的節(jié)點容量時，兩相鄰大節(jié)點失效后，網(wǎng)絡(luò)能夠較快恢復(fù)正常功能。

圖4 大-大節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響Fig.4 The effect of big-big node failure on network invulnerability

3.2 大-小節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響分析

圖5是兩相鄰的大小節(jié)點同時失效時，網(wǎng)絡(luò)抗毀性的變化。從圖中可以看出，當節(jié)點容量系數(shù)在(0,1.12)區(qū)間變化時，b的網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)均在a的上方，說明在此區(qū)間內(nèi)，b的抗毀性高于a。這是因為，在容量系數(shù)較小時，大節(jié)點的最大容量與初始負載的差值較小，也就是剩余負載容量較小，對疏散來的負載的承擔能力較弱，相較于小節(jié)點，由于初始負載不高，所以剩余負載容量反而相對較大，對疏散來的負載承擔能力較強；節(jié)點容量系數(shù)在區(qū)間(1.12,1.9)變化時，a的網(wǎng)絡(luò)連通率高于b，而迭代次數(shù)小于b，反映出a的網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高。這是因為，當節(jié)點容量系數(shù)較大時，大節(jié)點的最大容量提高，剩余負載容量增加，對負載的承擔能力強于小節(jié)點。

a—相鄰大小節(jié)點，有大鄰居節(jié)點；b—相鄰大小節(jié)點，無大鄰居節(jié)點

根據(jù)上述分析可以得出，當節(jié)點容量系數(shù)較小時，失效范圍內(nèi)無較大鄰居節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高；當節(jié)點容量系數(shù)較大時，失效范圍有較大鄰居節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)抗毀性高。

3.3 小節(jié)點同時失效對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響分析

圖6和圖7分別是兩兩相鄰和不相鄰小節(jié)點同時失效時網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨節(jié)點容量系數(shù)的變化?？梢钥闯?，當兩兩相鄰小節(jié)點同時失效時，網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)在節(jié)點容量系數(shù)達到1.46時就趨于穩(wěn)定，不再變動，而不相鄰的兩個小節(jié)點在節(jié)點容量系數(shù)達到1.56時才能達到穩(wěn)定，說明相鄰小節(jié)點同時失效，節(jié)點容量系數(shù)較低時可令網(wǎng)絡(luò)具有較高抗毀性。這是因為相鄰節(jié)點失效后，造成網(wǎng)絡(luò)失效的傳播方向一致，而不相鄰的節(jié)點失效后，可能造成失效在網(wǎng)絡(luò)中傳播的方向不一致，導(dǎo)致更大范圍的失效，從而網(wǎng)絡(luò)抗毀性較低。

另外，圖6可以看出，節(jié)點容量系數(shù)在區(qū)間(1,1.07)間變化時，b曲線呈現(xiàn)出不穩(wěn)定變化，說明相鄰小節(jié)點同時失效，在節(jié)點容量系數(shù)較小時網(wǎng)絡(luò)抗毀性會呈現(xiàn)不穩(wěn)定變化。當節(jié)點容量系數(shù)在(1,1.06)間變化時，b曲線的網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)都在a曲線的上方，說明此時b的網(wǎng)絡(luò)抗毀性強于a；節(jié)點容量系數(shù)在(1.06,1.6)間變化時，a的網(wǎng)絡(luò)連通率在b的上方，迭代次數(shù)在b的下方，此時a的網(wǎng)絡(luò)抗毀性強于b。這說明無大鄰居節(jié)點的倆相鄰小節(jié)點同時失效，當節(jié)點容量系數(shù)較低時，網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高；當節(jié)點容量系數(shù)增大到一定值時，有大鄰居節(jié)點的倆相鄰小節(jié)點同時失效，網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高。

a—相鄰小節(jié)點，有大鄰居節(jié)點；b—相鄰小節(jié)點，均無大鄰居節(jié)點

a—不相鄰小節(jié)點，均有大鄰居節(jié)點；b—不相鄰小節(jié)點，均無大鄰居節(jié)點圖7 小節(jié)點同時失效對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

由上述分析可以得出，達到相同的網(wǎng)絡(luò)抗毀性，相比于不相鄰小節(jié)點失效，相鄰小節(jié)點失效后所需達到的節(jié)點容量系數(shù)更低；當節(jié)點容量系數(shù)較低時，無大鄰居節(jié)點的兩個小節(jié)點同時失效網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高；相比于相鄰小節(jié)點失效，不相鄰小節(jié)點失效后，網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)變化曲線較為規(guī)律，無大幅波動。

3.4 失效節(jié)點的鄰居節(jié)點度對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響分析

圖8是失效范圍內(nèi)的節(jié)點有較大鄰居節(jié)點時，網(wǎng)絡(luò)連通率以及迭代次數(shù)隨著節(jié)點容量系數(shù)變化所呈現(xiàn)的變化規(guī)律，圖9是沒有較大鄰居節(jié)點時的變化規(guī)律?？梢钥闯?，相較于兩個大節(jié)點同時失效，其他連接情況的節(jié)點在總體走勢上隨著節(jié)點容量系數(shù)規(guī)律變化，網(wǎng)絡(luò)連通率呈階梯式上升，迭代次數(shù)呈階梯式下降。說明除了大節(jié)點同時失效，其他連接方式的網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨節(jié)點容量系數(shù)的增大而增大。

在圖8中，當容量系數(shù)達到1.62時，網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)達到穩(wěn)定，不再變化；但在圖9中，節(jié)點容量系數(shù)為1.93時網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)才穩(wěn)定，說明失效范圍內(nèi)的節(jié)點有較大鄰居節(jié)點時，節(jié)點容量系數(shù)取較低值就令網(wǎng)絡(luò)具有較高抗毀性。

圖8～9中皆可看出，城市交通網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)連通率及迭代次數(shù)隨著節(jié)點容量系數(shù)的增大呈現(xiàn)階梯狀增長趨勢，這種躍變特性說明，并不是節(jié)點容量系數(shù)越大，網(wǎng)絡(luò)抗毀性就越高，節(jié)點容量系數(shù)達到最佳值后，繼續(xù)增大，網(wǎng)絡(luò)抗毀性不會提高。為了使管理資源得到充分利用，應(yīng)使節(jié)點容量系數(shù)略微超過最佳值。

a—攻擊大-大節(jié)點；b—攻擊大-小節(jié)點，其中大節(jié)點具有大鄰居節(jié)點；c—攻擊小-小節(jié)點，其中一個小節(jié)點有大鄰居節(jié)點；d—攻擊不相鄰小節(jié)點，都有大鄰居節(jié)點

a—攻擊大-大節(jié)點；b—攻擊大-小節(jié)點，均無大鄰居節(jié)點；c—攻擊小-小節(jié)點，均無大鄰居節(jié)點；d—攻擊不相鄰小節(jié)點，均無大鄰居節(jié)點

4 結(jié)論

探討了危險品事故對城市交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，通過仿真分析研究了不同節(jié)點的連接方式及節(jié)點周圍情況對城市交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性的影響。結(jié)果表明：①相鄰大節(jié)點同時失效后，網(wǎng)絡(luò)要恢復(fù)正常功能所需達到的節(jié)點容量系數(shù)較大，且容量系數(shù)不夠大時，網(wǎng)絡(luò)抗毀性很低；②大-小節(jié)點失效后，若節(jié)點容量系數(shù)較小，失效節(jié)點無大鄰居節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)抗毀性較高；反之，當節(jié)點容量系數(shù)較大時，失效節(jié)點有大鄰居節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)抗毀性高；③小節(jié)點同時失效后，若要達到相同的網(wǎng)絡(luò)抗毀性，相鄰小節(jié)點失效比不相鄰小節(jié)點失效所需達到的節(jié)點容量系數(shù)更低；④除大節(jié)點同時失效，其他連接方式的網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨節(jié)點容量系數(shù)的增大而增大；失效范圍內(nèi)的節(jié)點有較大鄰居節(jié)點時，節(jié)點容量系數(shù)取較低值就可令網(wǎng)絡(luò)具有較高抗毀性；城市交通網(wǎng)絡(luò)抗毀性具有與節(jié)點容量系數(shù)相關(guān)的躍變特性。

為提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，可采取以下措施：①設(shè)計城市交通網(wǎng)絡(luò)時應(yīng)盡量避免大節(jié)點相鄰，若無法避免，則應(yīng)盡可能提高節(jié)點容量系數(shù)；②大節(jié)點與小節(jié)點相連時，當沒有大鄰居節(jié)點時，應(yīng)使節(jié)點容量系數(shù)保持較低水平；有大鄰居節(jié)點時，應(yīng)提高節(jié)點容量系數(shù)；③使不相鄰的小節(jié)點保持較大距離；④在對城市交通網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進行管理時，為了避免不必要的資源浪費，需預(yù)先判斷最佳容量系數(shù)的大小，使節(jié)點容量系數(shù)略超過最佳值。