構(gòu)造基本圖形巧解題

周林超

問題 如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED。

探究猜想：

①若∠A=30°，∠D=60°，則∠AED等于 °；

②猜想圖1中∠AED，∠BAE，∠EDC的關(guān)系，并說明你的理由。

本題是由2018年隨州市中考題改編而來，是一道從特殊角的計算，到一般結(jié)論的猜想與說理題。周老師就問題②猜想的結(jié)論∠AED=∠BAE+∠EDC的說理過程的四種解法，與同學(xué)們談?wù)剰?fù)雜問題中基本圖形的構(gòu)造。

一、從“E”點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造平行線基本圖形

【解法1】如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以CD∥EF，得∠BAE=∠AEF，∠EDC=∠FED，所以∠AED=∠AEF+∠FED=∠BAE+∠EDC。

【解法反思】通過作平行線，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩角分別轉(zhuǎn)化，角的關(guān)系清楚呈現(xiàn)。

二、從“E”點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造三角形基本圖形

【解法2】如圖3，過E作EH⊥CD，垂足為H，并反向延長EH，交AB于G，由平行線性質(zhì)得∠AGH=90°，所以∠BAE+∠AEG=90°，∠EDC+∠DEH=90°，所以（∠BAE+∠EDC）+（∠AEG +∠DEH）=180°。又因?yàn)椤螦ED+（∠AEG +∠DEH）=180°，所以∠AED=∠BAE+∠EDC。（過點(diǎn)E直接作直線與AB、CD相交也可以。）

【解法反思】從“E”出發(fā)，把∠BAE，∠EDC放入兩個三角形中，利用三角形內(nèi)角和和平角的定義，結(jié)合等式的性質(zhì)，代換出三角關(guān)系。

三、從“AE”出發(fā)構(gòu)造平行線基本圖形

【解法3】如圖4，延長AE交CD于點(diǎn)F，由∠AED是△DEF的外角，得∠AED=∠EDC +∠AFD，由AB∥CD，∠BAE=∠AFD，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】延長AE，既構(gòu)造了三角形的外角，又轉(zhuǎn)化了∠BAE，可見構(gòu)造平行模型十分重要。

四、從“AD”出發(fā)構(gòu)造平行線、三角形基本圖形

【解法4】如圖5，連接AD，由AB∥CD得∠BAD+∠ADC=180°，即（∠BAE+∠EDC）+（∠1+∠2）=180°。由△ADE內(nèi)角和為180°，得（∠1+∠2）+∠AED=180°，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】連接AD，既構(gòu)造了平行模型，又得到三角形。事實(shí)說明：解題中，只要有思路，就會有出路。只要大膽嘗試，就可能找到解決問題的途徑。

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)）