黃小琴，陳 力*

(1. 福州大學(xué)，機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350116； 2. 福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116)

1 引言

空間機(jī)器人能夠輔助航天員完成太空任務(wù)，可大幅度提高人類探索太空的工作效率[1-2]?？臻g機(jī)器人的臂桿因具有長臂，重載等的特點(diǎn)，往往都存在柔性；而空間機(jī)器人沿著由桁架組裝的導(dǎo)軌移動，在這工作操作過程中會激發(fā)導(dǎo)軌的振動，帶動基座產(chǎn)生彈性振動，由于基座與臂桿存在耦合關(guān)系，造成跟蹤軌跡偏差[3-4]。因此對空間機(jī)器人控制的研究須考慮臂桿柔性與基座彈性振動的抑制問題。于瀟雁等[5]采用自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)了多柔桿空間機(jī)器人的軌跡跟蹤的同時，應(yīng)用最優(yōu)控制進(jìn)行柔性抑振。梁捷等[6]針對基座彈性影響，采用級聯(lián)控制法抑制了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的基座與關(guān)節(jié)振動，但未考慮臂桿的柔性振動。Park等[7]應(yīng)用反演法，設(shè)計(jì)了機(jī)械手的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。以往的研究將臂桿柔性和基座彈性均考慮在內(nèi)的空間機(jī)器人研究較少。

動態(tài)面是Swaroop等提出的一種空間機(jī)器人動力學(xué)控制的有效方法[8]，通過設(shè)計(jì)一階低通濾波器估計(jì)虛擬控制部分，解決了反演法中在后退過程中，虛擬控制部分重復(fù)求導(dǎo)出現(xiàn)的“微分爆炸”問題。Cheong等[9]結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了剛性機(jī)器人的狀態(tài)觀測器、參數(shù)估計(jì)器及動態(tài)面滑?？刂品椒ā?/p>

本文綜合考慮空間機(jī)器人兩臂桿的柔性和基座的彈性，基于奇異攝動理論，將系統(tǒng)分解為快、慢變子系統(tǒng)：針對慢變子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種動態(tài)面控制器，以避免反演法的計(jì)算膨脹；以RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近包含外部干擾在內(nèi)的動力學(xué)不確定項(xiàng)，從而使基座與兩關(guān)節(jié)鉸跟蹤期望軌跡。對于快變子系統(tǒng)，采用線性二次型最優(yōu)控制抑制彈性基座與兩柔桿的振動。

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

以基座、臂桿全彈性空間機(jī)器人為被控對象，系統(tǒng)可簡化為如圖1所示的由自由飄浮的基座B0加柔性臂桿B1、B2。將導(dǎo)軌彈性簡化為一個輕質(zhì)彈簧，以表示基座的彈性，χ為彈性位移，并可以假定：

1) 彈簧為無質(zhì)量彈簧；

2) 彈簧只做沿著軸線的拉縮運(yùn)動；

3) 彈簧的彈性系數(shù)kχ為常量；

4) 彈簧初始位移為零。

圖1 基座、臂桿全彈性空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Space robot system with flexible links and elastic base

建立各分體Bi(i=0,1,2)的聯(lián)體坐標(biāo)Oixiyi，其中O0與B0的質(zhì)心Oc0重合，Oi(i=1,2)分別為相應(yīng)的轉(zhuǎn)動鉸中心。B1桿的轉(zhuǎn)動鉸O1與B0之間用輕質(zhì)彈簧連接，x0軸通過O0與O1的連線，x1軸與O1O2在同一直線上，x2軸與B2始終相切于O2。在初始狀態(tài)下，O1在x0軸上與O0的距離為l0，Bi(i=1,2)沿xi軸的長度為li；載體的質(zhì)量與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量分別為m0、J0。C為系統(tǒng)的總質(zhì)心。以空間任意點(diǎn)O為原點(diǎn)，設(shè)立平動慣性坐標(biāo)系(O-xy)。

考慮兩臂桿均為細(xì)長勻質(zhì)桿件，可只考慮其彎曲變形，忽略其軸線與剪切變形，同時兩臂桿在平面內(nèi)作橫向振動。柔性臂Bi(i=1,2)的線密度為ρi，截面抗彎剛度為(EI)i。根據(jù)振動力學(xué)理論[10]，這兩柔性臂可視為伯努利-歐拉梁，那么其彈性變形記作式(1)：

(1)

其中，σi(xi,t)為Bi在截面xi(0≤xi≤li)處的橫向彈性變形，ωij(xi)為Bi的第j階的模態(tài)函數(shù)，ξij(t)為與ωij(xi)對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)，ni為截斷項(xiàng)數(shù)，大幅值的振動主要由前幾階模態(tài)構(gòu)成，取ni=2。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可查詢到相對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)。利用拉格朗日第二類方程，可得基座彈性的雙柔桿空間機(jī)器人的動力學(xué)方程如式(2):

(2)

3 快、慢變子系統(tǒng)分解

運(yùn)用奇異攝動方法，將動力學(xué)系統(tǒng)分解為快、慢變子系統(tǒng)，為此，將式(2)表示成式(3)所示分塊矩陣形式：

(3)

(4)

(5)

設(shè)計(jì)如式(6)所示組合控制律：

τ=τs+τf

(6)

(7)

其中，矩陣或變量上加上劃線“-”意為與之對應(yīng)的慢變分量。將上式代入式(6)，得到慢變子系統(tǒng)如式(8)：

(8)

(9)

4 慢變子系統(tǒng)控制器

4.1 控制器設(shè)計(jì)

考慮外部干擾τd，慢變子系統(tǒng)可寫為式(10)：

(10)

(11)

采用動態(tài)面控制方法設(shè)計(jì)虛擬控制量和控制輸入信號，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)τs。動態(tài)面控制的設(shè)計(jì)步驟如下：

1)定義第一個誤差面如式(12)：

s1=e=υ1-qd

(12)

(13)

(14)

其中，時間η2>0。定義慢變子系統(tǒng)邊界層誤差如式(15)：

(15)

求υ2d的一階導(dǎo)數(shù)，得到式(16)：

(16)

(17)

2)提出第二個動態(tài)面s2如式(18)，進(jìn)而設(shè)計(jì)τs：

s2=υ2-υ2d

(18)

(19)

(20)

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近Θ(X)=TΔ。記Θ(X|W)為Θ(X)的一個逼近，如式(21)

Θ(X|W)=WTO(X)

(21)

其中，W為權(quán)值矩陣，O(X)=[O1,…,Oh]T為基向量，h為基函數(shù)列向量。輸入X=[X1,…,Xm]T，m為基函數(shù)中心點(diǎn)個數(shù)；O(X)的元素為式(22)所示高斯基函數(shù)：

(22)

其中，aj、bj分別為曲線的中心、寬度。W的最優(yōu)值W*是一個常數(shù)矩陣且滿足式(23)：

(23)

其中：ΩW={W|‖W‖≤ρW}，ρW為有界正常數(shù)。則Θ(X)可表示為如式(24)所示：

Θ(X)=W*TO(X)+μ*

(24)

其中，μ*為最優(yōu)逼近誤差。設(shè)計(jì)慢變子系統(tǒng)的控制規(guī)律為式(25)：

(25)

(26)

(27)

其中，β1∈h×h，β2∈3×3。λ1>0，λ2>0。由控制規(guī)律式(25)，求出如式(28)：

(28)

4.2 穩(wěn)定性分析

定理：對于空間機(jī)器人慢變子系統(tǒng)，控制規(guī)律式(25)將使系統(tǒng)半全局最終一致有界，即e收斂到零的一個任意小鄰域內(nèi)。

證明：構(gòu)造如式(29)所示的李雅普諾夫函數(shù)V：

(29)

其中，V滿足初始條件V(0)≤ρV(ρV為正實(shí)數(shù))。求V關(guān)于時間t的一階導(dǎo)數(shù)如式(30)：

(30)

(31)

(32)

0≤V≤ψ/α+[V(0)-ψ/α]e-αt

(33)

上式表明V最終以ψ/α為界。因此系統(tǒng)半全局最終一致有界，即e收斂到零的一個任意小鄰域。

5 快變子系統(tǒng)的線性二次控制器

本文采用線性二次型調(diào)節(jié)器來控制系統(tǒng)的快變子系統(tǒng)，以抑制彈性基座與兩柔桿的振動。

(34)

利用最優(yōu)控制方法可將系統(tǒng)狀態(tài)變量P調(diào)節(jié)到零，從而實(shí)現(xiàn)基座彈性與兩桿柔性振動的抑制。引入如式(35)所示形式的線性二次最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)：

(35)

其中，Q∈10×10為半正定加權(quán)對稱陣，R∈3×3為正定加權(quán)對稱陣。

為了最小化Υ，控制量應(yīng)設(shè)計(jì)如式(36)：

τf=-R-1BTΞP

(36)

其中，Ξ滿足式(37)所示的Riccati代數(shù)方程：

ΞA+ATΞ-ΞBR-1BTΞ+Q=O

(37)

6 仿真驗(yàn)證

以圖1所示的模型為例，在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。系統(tǒng)慣性與結(jié)構(gòu)參數(shù)取值為：l0=l1=1.5 m,l2=1.0 m,m0=40 kg，J0=34.17 kg·m2，ρ1=3.5 kg/m，ρ2=1.1 kg/m，(EI)1=50 N·m2,(EI)2=50 N·m2。彈簧剛度系數(shù)kχ=500 N/m。τd(t)取值為:τ0 d=2.5[cos(πt/6)-sin(πt/6)]，τ1 d=2.5cos(πt/6)，τ2 d=2.5sin (πt/6)。設(shè)qd分別為：q0d=π/6 rad，q1d=-π/2 rad，q2d=-π/6 rad。初始位形分別取為：q0(0)=0.1 rad，q1(0)=(π/3-0.2) rad,q2(0)=(-π/6-0.15) rad?；鶑椈沙跏嘉灰茷棣?0)=0。設(shè)定軌跡追蹤過程仿真時間為t=30 s。

圖2為基座彈性的雙柔桿空間機(jī)器人采用文中控制方案時q的實(shí)際軌跡與期望軌跡。約12 s之后，基座，關(guān)節(jié)1和2的穩(wěn)態(tài)誤差分別在2×10-4rad、1×10-3rad、8×10-4rad以內(nèi)。圖3為該控制方案下基座彈性振動情況。彈性位移在0.05 s時從最大的0.0678 m到15 s后衰減為零。圖4、圖5為兩柔性臂桿一、二階模態(tài)情況。B1桿一階模態(tài)從2.0 s時最大的0.0643 m衰減到零，二階模態(tài)從0.2 s的0.0075 m衰減到零；B2桿一階模態(tài)從0.8 s的0.0337 m衰減到零，二階模態(tài)從0.02 s的0.0085 m衰減到零。從仿真結(jié)果可以看出：q能很好地跟蹤上期望軌跡，同時抑制了基座彈性與兩柔桿的振動。

圖2 基座與兩關(guān)節(jié)鉸姿態(tài)角的軌跡圖Fig.2 Trajectory tracking of the base‘s attitude and the two links’ joints

圖3 基座彈性位移圖Fig.3 Elastic displacement of the base

圖4 柔性桿B1的模態(tài)Fig.4 The mode of flexible linkB1

圖5 柔性桿B2的模態(tài)Fig.5 The mode of flexible linkB2

7 結(jié)論

針對基座彈性的雙柔桿空間機(jī)器人系統(tǒng)，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制方案的有效性和可行性?？刂破髂苡行У难a(bǔ)償外部干擾和模型不確定性，具有良好的軌跡跟蹤和振動抑制性能。

空間機(jī)器人是多自由度的三維臂桿結(jié)構(gòu)，本研究探討的對象雖為二維空間機(jī)械臂系統(tǒng)，但本文所提控制方案經(jīng)適當(dāng)擴(kuò)充，可以推廣并應(yīng)用于太空中從事空間活動的一般三維空間機(jī)器人系統(tǒng)。