李寶麟, 劉靜芳

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

當(dāng)常微分方程

所描述的系統(tǒng)受到擾動時,對受擾動系統(tǒng)導(dǎo)出的常微分方程的形式為

如果擾動項是連續(xù)可積的,那么擾動后的系統(tǒng)仍然為常微分方程系統(tǒng),它的解為連續(xù)的.若擾動為脈沖型的,則擾動后系統(tǒng)的狀態(tài)就不隨時間連續(xù)變化,而是呈現(xiàn)一種瞬時性態(tài).對這種數(shù)學(xué)模型的研究導(dǎo)出另一類方程即測度微分方程,其一般形式為

Dx=f(x,t)+g(x,t)Du.

(1)

Dy=f(yt,t)Dg

(2)

和它所描述的系統(tǒng)受到擾動后的滯后型測度泛函微分方程

Dy=f(yt,t)Dg+p(t)Du,

(3)

并定義了滯后型測度泛函微分方程的積分穩(wěn)定性與廣義常微分方程的正則穩(wěn)定性,證明了滯后型測度泛函微分方程的積分穩(wěn)定性等價于廣義常微分方程的正則穩(wěn)定性.在(2)和(3)式中,Dy、Dg、Du分別是y、g、u的分布導(dǎo)數(shù),f:S×[t0,+∞)→Rn,g,u:[t0,+∞)→R,y:[t0-r,+∞)→Rn,yt(θ)=y(t+θ),θ∈[-r,0],r>0,p:[t0,+∞)→Rn,且

S={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)}?G*([-r,0],Rn),

O?G*([t0-r,+∞),Rn), r>0.

上述的O為開集,G*([t0-r,+∞),Rn)表示[t0-r,+∞)到Rn所有的有界正則函數(shù)全體.由文獻(xiàn)[9]知,方程(2)等價于積分方程

t∈[t0,+∞);

(4)

方程(3)等價于積分方程

(5)

(H2) 對任意的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞),存在常數(shù)M>0,使得

(H3) 對任意的y,z∈O,s1,s2∈[t0,+∞),存在常數(shù)N>0,使得

(H5) 對任意的t∈[t0,+∞),s1,s2∈[t0,+∞),存在常數(shù)K>0,使得

受到以上工作的啟示,本文利用廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論研究滯后型測度泛函微分方程(2)和(3)的變差穩(wěn)定性和變差漸近穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識

下面主要介紹廣義常微分方程與滯后型測度泛函微分方程的相關(guān)概念及其引理.

定義1.1[3]給定一個函數(shù)δ(t):[a,b]→(0,+∞),對區(qū)間[a,b]上的一個分劃

D:a=α0<α1<<αk=b,

如果有

[αi-1,αi]?[τ-α(τi),τ+α(τi)], i=1,2,,k,

稱分劃D為[a,b]上的δ-精細(xì)分劃.

定義1.2[3]設(shè)函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn,如果存在I∈Rn,使得對任意的ε>0,存在正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),且對[a,b]上的任何的δ-精細(xì)分劃

D={(τj,[αi-1,αi]),j=1,2,,k},

其中

τj∈[αi-1,αi]?[τj-δ(τj),τj+δ(τj)],

有

稱函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上為Henstock-Kurzweil可積的.此時記作

設(shè)G:Ω→Rn,Ω=O×[t0,+∞).

定義1.3[3]設(shè)函數(shù)G:Ω→Rn,如果對所有的t∈[α,β],(x(t),t)∈Ω,任意的s1,s2∈[α,β],有等式

成立,則稱x:[α,β]→Rn是廣義常微分方程

在區(qū)間[α,β]?[t0,+∞)上的解.

定義1.4[9]設(shè)不減函數(shù)h:[t0,+∞)→R,如果函數(shù)G:Ω→Rn滿足:對任意的(x,s1),(x,s2)∈Ω,有

‖G(x,s2)-G(x,s1)‖∞≤|h(s2)-h(s1)|;

對任意的(x,s1),(x,s2),(y,s1),(y,s2)∈Ω,有

‖G(x,s2)-G(x,s1)-G(y,s2)+G(y,s1)‖∞≤

‖y-z‖∞|h(s2)-h(s1)|,

則函數(shù)G屬于函數(shù)族F(Ω,h).

引理1.1[9]設(shè)f:S×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)～(H3),函數(shù)g:[t0,+∞)→R為不減的,對于y∈O,t∈[t0,+∞),定義如下函數(shù)

F(y,t)(?)=

(6)

則F∈F(Ω,h),其中

F:O×[t0,+∞)→G*([t0-r,+∞),Rn).

引理1.2[9]考慮廣義常微分方程

(7)

其中F由(6)式給定,函數(shù)h:[t0,+∞)→R定義如下

h(t)=(M+N)[g(t)-g(t0)],

t∈[t0,+∞),

(8)

則由h定義可知h為[t0,+∞)上不減的左連續(xù)函數(shù).

引理1.3[9]設(shè)O是G*([t0-r,+∞),Rn)的開子集,且t∈[t0,+∞)時,具有延拓性質(zhì),S={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈S,g:[t0,+∞)→R是不減函數(shù),f:S×[t0,+∞)→Rn滿足條件(H1)～(H3).

(i) 假設(shè)對于任意的y∈O,t∈[t0,+∞).如果y:[t0-r,+∞)→O是滯后型測度泛函微分方程

的解.

對任意的t∈[t0-r,+∞),有

則函數(shù)x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

在初值條件

下的解,其中F由(6)式給定.

(ii) 相反地,F由(6)式給定,如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

的解,且滿足初值條件

則函數(shù)y:[t0-r,+∞)→O是滯后型測度泛函微分方程

在初值條件

下的解.

引理1.4[9]設(shè)f:S×[t0,+∞)→Rn滿足(H1)～(H3),且p:[t0,+∞)→Rn滿足(H4)和(H5),函數(shù)g,u:[t0,+∞)→R為不減的,對于y∈O,t∈[t0,+∞),定義如下函數(shù)

F(y,t)(?)=

則有

G(y,t)=F(y,t)+P(t),

(9)

且G∈F(Ω,h),其中

G:O×[t0,+∞)→G*([t0-r,+∞),Rn).

引理1.5[9]考慮廣義常微分方程

(10)

其中G由(9)式給定,函數(shù)h1,h2:[t0,+∞)→R,有如下定義

h1(t)=(M+N)[g(t)-g(t0)],

h2(t)=K[u(t)-u(t0)],

t∈[t0,+∞).

(11)

定義h:[t0,+∞)→R如下

h(t)=h1(t)+h2(t),t∈[t0,+∞),

則由定義可知h1、h2、h為[t0,+∞)上不減的左連續(xù)函數(shù).

引理1.6[9]設(shè)O是G*([t0-r,+∞),Rn)的開子集,且t≥t0時,具有延拓性質(zhì),S={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈S,u,g:[t0,+∞)→R是不減函數(shù),f:S×[t0,+∞)→Rn滿足條件(H1)～(H3),且p:[t0,+∞)→Rn滿足(H4)和(H5).

(i) 假設(shè)對于任意的y∈O,t∈[t0,+∞),如果y:[t0-r,+∞)→O是滯后型測度泛函微分方程

的解.

對任意的t∈[t0-r,+∞)有

則函數(shù)x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

在初值條件

下的解,G由(9)式給定.

(ii)相反地,G由(9)式給定,如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程

的解,且滿足初值條件

則函數(shù)y:[t0-r,+∞)→O是滯后型測度泛函微分方程

在初值條件

下的解.

引理1.7[3]設(shè)V:Rn×[0,+∞)→R,對于任意的y∈Rn,函數(shù)V(y,·):[0,+∞)→R在區(qū)間(0,+∞)上是左連續(xù)的,假設(shè)以下條件成立:

(i) 對于任意的(x,t),(y,t)∈Rn×[0,+∞),常數(shù)L>0,有

|V(x,t)-V(y,t)|≤L‖x-y‖∞;

(ii) 存在一個實函數(shù)Φ:Rn→R,使得對于滯后型測度泛函微分方程(2)在區(qū)間[t0,+∞)?[0,+∞)上的每一個解y:[t0,+∞)→Rn,對t∈[t0,+∞)有

Φ(y(t));

(12)

如果

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),則不等式

V(y(t1),t1)≤V(y(t0),t0)+

(13)

成立,其中

F由(6)式給定.

引理1.8[3]設(shè)V:Rn×[0,+∞)→R,對于任意的y∈Rn,函數(shù)V(y,·):[0,+∞)→R在區(qū)間(0,+∞)上是左連續(xù)的,假設(shè)以下條件成立：

(i) 對于任意的(x,t),(y,t)∈Rn×[0,+∞),常數(shù)L>0,有

|V(x,t)-V(y,t)|≤L‖x-y‖∞;

(ii) 存在一個實函數(shù)Φ:Rn→R,使得對于滯后型測度泛函微分方程(3)在區(qū)間[t0,+∞)?[0,+∞)上的每一個解y:(t0,+∞)→Rn,對t∈(t0,+∞)有

Φ(y(t));

(14)

如果

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),則不等式

V(y(t1),t1)≤V(y(t0),t0)+

(15)

成立,其中

G由(9)式給定.

2 主要結(jié)果

下面主要討論滯后型測度泛函微分方程(2)與受到擾動后的滯后型測度泛函微分方程(3)的變差穩(wěn)定性與變差漸近穩(wěn)定性,利用廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論給出滯后型測度泛函微分方程的變差穩(wěn)定性定理及其證明.

定義2.1如果對于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得若

y:[t0,t1]→O, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),當(dāng)‖y(t0)‖∞<δ和

(16)

其中F由(6)式給定.對于任意的t∈[t0,t1],有‖y(t)‖∞<ε,則稱滯后型測度泛函微分方程(2)的解y≡0是變差穩(wěn)定的.

定義2.2如果存在δ0>0,對于任意的ε>0,有T=T(ε)≥0和γ=γ(ε)>0,使得若

y:[t0,t1]→O, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),當(dāng)‖y(t0)‖∞<δ0和

(17)

其中F由(6)式給定.對于任意的t∈[t0,t1]∩[t0+T(ε),+∞),且t0≥0時,有‖y(t)‖∞<ε,則稱滯后型測度泛函微分方程(2)的解y≡0是變差吸引的.

定義2.3如果滯后型測度泛函微分方程(2)的解既是變差穩(wěn)定的,又是變差吸引的,則稱滯后型測度泛函微分方程(2)的解是y≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

定義2.4如果對于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得若

y:[t0,t1]→O, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),當(dāng)‖y(t0)‖∞<δ和

(18)

其中G由(9)式給定.對于任意的t∈[t0,t1],有‖y(t)‖∞<ε,則稱滯后型測度泛函微分方程(3)的解y≡0是變差穩(wěn)定的.

定義2.5如果存在δ0>0,對于任意的ε>0,有T=T(ε)≥0和γ=γ(ε)>0,使得若

y:[t0,t1]→O, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),當(dāng)‖y(t0)‖∞<δ0和

(19)

其中G由(9)式給定.對于任意的t∈[t0,t1]∩[t0+T(ε),+∞),且t0≥0時,有‖y(t)‖∞<ε,則稱滯后型測度泛函微分方程(3)的解y≡0是變差吸引的.

定義2.6如果滯后型測度泛函微分方程(3)的解既是變差穩(wěn)定的,又是變差吸引的,則稱滯后型測度泛函微分方程(3)的解是y≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

定理2.1設(shè)V:O×[0,+∞)→R,使得對于任意的y∈O?G*([t0-r,+∞),Rn),r>0,函數(shù)V(y,·):[0,+∞)→R在區(qū)間(0,+∞)上是左連續(xù)的.假設(shè)V(y,·)是正定的,即存在一個連續(xù)遞增實函數(shù)b:[0,+∞)→R,使得b(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0,對所有的(y,t)∈O×[0,+∞),任意的x∈O,常數(shù)L>0,有:

V(y,t)≥b(‖y‖∞),

(20)

V(0,t)=0,

(21)

和

|V(x,t)-V(y,t)|≤L‖x-y‖∞.

(22)

如果函數(shù)V(y(t),t)對滯后型測度泛函微分方程(2)的任何一個解y(t)是不增函數(shù),則方程(2)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的.

證明由引理1.1,驗證F∈F(Ω,h),Ω=O×[t0,+∞).由假設(shè)存在常數(shù)M、N,對于任意的y,z∈O,條件(H1)暗示了在F的定義下積分存在,給定y∈O,且0≤t0

F(y,s2)(?)-F(y,s1)(?)=

則由條件(H2)有

‖F(xiàn)(y,s2)(?)-F(y,s1)(?)‖∞=

M[g(s2)-g(s1)]≤h(s2)-h(s1),

由條件(H3)有

‖F(xiàn)(y,s2)(?)-F(y,s1)(?)-

F(z,s2)(?)+F(z,s1)(?)‖∞=

‖y-z‖∞[h(s2)-h(s1)].

由引理1.3知,滯后型測度泛函微分方程(2)與廣義常微分方程(7)在一定條件下等價,故它們的解均為有界變差函數(shù)且可以相互表示.以下證明滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0為變差穩(wěn)定的.由假設(shè)V(y(t),t)對方程(2)的任何一解y:[t0,+∞)→Rn是不增函數(shù),對任意的t∈[t0,+∞)有

以下證明在這種假設(shè)下滿足定義2.1的條件.

給定ε>0,令

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù).由于V滿足引理1.7的(12)式,其中Φ≡0.由(13)、(21)和(22)式,對于任意的r∈[t0,t1]可得

因為

|V(y(t0),t0)-V(0,t0)|≤L‖y(t0)‖∞,

且Φ≡0,所以

‖y(t0)‖∞<δ(ε).

由(16)式得

由(23)式有

V(y(r),r)≤L‖y(t0)‖∞+Lδ(ε)≤

Lδ(ε)+Lδ(ε),

所以當(dāng)r∈[t0,t1]時,有以下不等式成立

V(y(r),r)≤2Lδ(ε).

(24)

如果存在ξ∈[t0,t1],使得‖y(ξ)‖∞≥ε,根據(jù)(20)式有

這與(24)式矛盾,故對于所有的t∈[t0,t1]有‖y(t)‖∞<ε,滿足定義2.1,即滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的.

定理2.2設(shè)V:O×[0,+∞)→R滿足定理2.1中的條件,如果對于滯后型測度泛函微分方程(2)的任何一個解y:[t0,t1]→O,當(dāng)t∈[t0,t1]時有

-Φ(y(t))

(25)

成立,其中Φ:Rn→R為連續(xù)函數(shù)且Φ(0)=0.當(dāng)y≠0時,Φ(y)>0,則滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0為變差漸近穩(wěn)定的.

證明由(25)式知,V(y(t),t)對滯后型測度泛函微分方程(2)的任何一個解y:[t0,t1]→Rn是不增函數(shù).由定理2.1可知,滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的,由定義2.3可知以下只需證明滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差吸引的.

由定理2.1,滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解是變差穩(wěn)定的,存在一個δ0>0,對任意的

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),使得‖y(t0)‖∞<δ0,且有

則對任意的t∈[t0,t1],有‖y(t)‖∞<δ0.對任意的ε>0,由滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的可知,存在δ(ε)>0,使得對于每一個

y:[t2,t3]→Rn, 0≤t2

是區(qū)間[t2,t3]上的有界變差函數(shù),并且在(t2,t3]上左連續(xù),使得

‖y(t0)‖∞<δ(ε)

(26)

和

則對于t∈[t2,t3]有

‖y(t)‖∞<ε.

(28)

定義

γ(ε)=min(δ0,δ(ε)),δ0>0,

其中

A=sup{-Φ(y);γ(ε)≤‖y‖∞<ε}=

-inf{Φ(y);γ(ε)≤‖y‖∞<ε}<0,

且假設(shè)

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),使得‖y(t0)‖∞<δ0,且有

假設(shè)T(ε)

下面證明存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得有‖y(t*)‖∞<γ(ε).

運用反證法.假設(shè)上述結(jié)論不成立,即對于任意的s∈[t0,t0+T(ε)]有

‖y(s)‖∞≥γ(ε).

由引理1.7得

因此

V(y(t0+T(ε)),t0+T(ε))≤

V(y(t0),t0)-Lδ0≤

L‖y(t0)‖∞-Lδ0

這與不等式

V(y(t0+T(ε),t0+T(ε))≥

b(‖y(t0+T(ε))‖∞)≥b(γ(ε))>0

矛盾,所以必然存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得

‖y(t*)‖∞<γ(ε).

對于t1=t*,t3=t1這種情況,考慮到γ(ε)的選取,由于(26)、(27)式成立,因而(28)式也滿足.因此對于t>t0+T(ε),有‖y(t)‖∞<ε.由于t*∈[t0,t0+T(ε)],則滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差吸引的.由定義2.3知滯后型測度泛函微分方程(2)的平凡解y≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

接下來討論受到擾動后的滯后型測度泛函微分方程(3)的變差穩(wěn)定性與變差漸近穩(wěn)定性.

定理2.3設(shè)V:O×[0,+∞)→R,使得對于任意的y∈O?G*([t0-r,+∞),Rn),r>0,函數(shù)V(y,·):[0,+∞)→R在區(qū)間(0,+∞)上是左連續(xù)的,假設(shè)V(y,·)是正定的,即存在一個連續(xù)遞增實函數(shù)b:[0,+∞)→R,使得b(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0,對所有的(y,t)∈O×[0,+∞),任意的x∈O,常數(shù)L>0有:

V(y,t)≥b(‖y‖∞),

(29)

V(0,t)=0,

(30)

和

|V(x,t)-V(y,t)|≤L‖x-y‖∞.

(31)

如果函數(shù)V(y(t),t)對滯后型測度泛函微分方程(3)的任何一個解y(t)是不增函數(shù),則方程(3)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的.

證明由引理1.4,驗證G∈F(Ω,h),Ω=O×[t0,+∞).根據(jù)假設(shè)存在常數(shù)M、N、K,對于任意的y,z∈O.條件(H1)和(H4)暗示了在G的定義下積分存在,給定y∈O,若0≤t0

F(y,s2)(?)-F(y,s1)(?)=

P(s2)(?)-P(s1)(?)=

則由條件(H2)和(H5)有

‖F(xiàn)(y,s2)(?)-F(y,s1)(?)‖∞=

h1(s2)-h1(s1),

‖P(s2)(?)-P(s1)(?)‖∞=

h2(s2)-h2(s1),

即

‖G(y,s2)(?)-G(y,s1)(?)‖∞≤h1(s2)-

h1(s1)+h2(s2)-h2(s1)≤h(s2)-h(s1).

由條件(H3)有

‖G(y,s2)(?)-G(y,s1)(?)-

G(z,s2)(?)+G(z,s1)(?)‖∞=

‖y-z‖∞[h(s2)-h(s1)].

存在.因此,G∈F(Ω,h),其中h:[t0,+∞)→R為左連續(xù)不減函數(shù),h1(t)、h2(t)由(11)式給出且

h(t)=h1(t)+h2(t).

由引理1.6知,滯后型測度泛函微分方程(3)與廣義常微分方程(10)在一定條件下等價,故它們的解均為有界變差函數(shù)且可以相互表示,以下證明滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0為變差穩(wěn)定的.由假設(shè)V(y(t),t)對方程(3)的任何一解y:[t0,+∞)→Rn是不增函數(shù),對任意的t∈[t0,+∞)有

以下證明在這種假設(shè)下滿足定義2.4的條件.

給定ε>0,令

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù).由于V滿足引理1.8的(14)式,其中Φ≡0.由(15)、(30)和(31)式,對于任意的r∈[t0,t1],可得

(32)

因為

|V(y(t0),t0)-V(0,t0)|≤L‖y(t0)‖∞,

且Φ≡0,所以

‖y(t0)‖∞<δ(ε).

由(18)式得

由(32)式有

V(y(r),r)≤L‖y(t0)‖∞+

Lδ(ε)≤Lδ(ε)+Lδ(ε),

所以當(dāng)r∈[t0,t1]時,有以下不等式成立

V(y(r),r)≤2Lδ(ε).

(33)

如果存在ξ∈[t0,t1],使得

‖y(ξ)‖∞≥ε,

根據(jù)(29)式有

V(y(ξ),ξ)≥b(‖y(ξ)‖∞)≥

這與(33)式矛盾,故對于所有的t∈[t0,t1]有

‖y(t)‖∞<ε

滿足定義2.4,即滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的.

定理2.4設(shè)V:O×[0,+∞)→R滿足定理2.3中的條件,如果對于滯后型測度泛函微分方程(3)的任何一個解y:[t0,t1]→Rn,當(dāng)t∈[t0,t1]時有

-Φ(y(t))

(34)

成立,其中Φ:Rn→R為連續(xù)函數(shù)且Φ(0)=0.當(dāng)y≠0時,Φ(y)>0,則滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0為變差漸近穩(wěn)定的.

證明由(34)式知,V(y(t),t)對滯后型測度泛函微分方程(3)的任何一個解y:[t0,t1]→Rn是不增函數(shù).由定理2.3可知,滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的,由定義2.6可知以下只需證明滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差吸引的.

由定理2.3,滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解是變差穩(wěn)定的,存在一個δ0>0,對任意的

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),使得‖y(t0)‖∞<δ0,且有

則對任意的t∈[t0,t1],有‖y(t)‖∞<δ0.對任意的ε>0,由滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的可知,存在δ(ε)>0,使得對于每一個

y:[t2,t3]→Rn, 0≤t2

是區(qū)間[t2,t3]上的有界變差函數(shù),并且在(t2,t3]上左連續(xù),使得

‖y(t0)‖∞<δ(ε)

(35)

和

(36)

則對于t∈[t2,t3]有

‖y(t)‖∞<ε.

(37)

令

γ(ε)=min(δ0,δ(ε)),

其中

A=sup{-Φ(y);γ(ε)≤‖y‖∞<ε}=

-inf{Φ(y);γ(ε)≤‖y‖∞<ε}<0,

且假設(shè)

y:[t0,t1]→Rn, 0≤t0

是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù),使得‖y(t0)‖∞<δ0,且有

(38)

假設(shè)T(ε)

以下證明存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得‖y(t*)‖∞<γ(ε).

運用反證法.假設(shè)上述結(jié)論不成立,即對于任意的s∈[t0,t0+T(ε)],有‖y(s)‖∞≥γ(ε).由引理1.7得

因此

V(y(t0+T(ε)),t0+T(ε))≤

V(y(t0),t0)-Lδ0≤

L‖y(t0)‖∞-Lδ0

這與不等式

V(y(t0+T(ε),t0+T(ε))≥

b(‖y(t0+T(ε))‖∞)≥b(γ(ε))>0

矛盾,所以必然存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得

‖y(t*)‖∞<γ(ε).

對于t1=t*,t3=t1這種情況,考慮到γ(ε)的選取,由于(35)和(36)式成立,因而(37)式也滿足.對于t>t0+T(ε),有‖y(t)‖∞<ε.由于t*∈[t0,t0+T(ε)],則滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差吸引的.由定義2.6知滯后型測度泛函微分方程(3)的平凡解y≡0是變差漸近穩(wěn)定的.